2022度高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.3.2 球的體積和表面積課時(shí)作業(yè) 新人教A版必修2

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1、2022度高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.3.2 球的體積和表面積課時(shí)作業(yè) 新人教A版必修2 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 球的表面積、體積 1,4,6,7,10 與球有關(guān)的三視圖 3,11 與球有關(guān)的“切”“接”問題 2,5,8,9 基礎(chǔ)鞏固 1.兩個球的表面積之差為48π,它們的大圓周長之和為12π,這兩個球的半徑之差為(　C　) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2, 由題可知4πR2-4πr2=48π, ① 又2πR+2πr=12π,

2、 ② 得R-r=2. 2.長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)落在球O的表面上,已知AB=3, AD=4,BB1=5,那么球O的表面積為(　D　) (A)25π (B)200π (C)100π (D)50π 解析:由長方體的體對角線為外接球的直徑, 設(shè)球半徑為r,則2r==5, 則r=,4πr2=4×()2π=50π. 3.(2018·湖南師大附中高一測試)某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為(　C　) (A)72π (B)48π (C)30π (D)24π 解析:由三視圖可知,該幾何體的上方是一個以3為半徑的半球,下方是以3為底面半徑,以5為母線長的圓錐,

3、 所以其體積V=×π×33+×π×32×=18π+12π=30π. 4.若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等,圓柱、球的表面積分別記為S1、S2,則S1∶S2等于(　C　) (A)1∶1 (B)2∶1 (C)3∶2 (D)4∶1 解析:由題意可得圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等,設(shè)球的半徑為1,則S1=6π,S2=4π.所以S1∶S2=3∶2,故選C. 5.將一鋼球放入底面半徑為3 cm的圓柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,則鋼球的半徑是　　　　.? 解析:圓柱形玻璃容器中水面升高了4 cm, 則鋼球的體積為V=π×32×4=36π,即有πR3=36π, 所以R=3. 答案

4、:3 cm 6.(2018·黑龍江伊春高一測試)邊長為4的正方形ABCD的四個頂點(diǎn)在半徑為5的球O的表面上,則四棱錐O-ABCD的體積是　　　　.? 解析:因?yàn)锳BCD外接圓的半徑r==4, 又因?yàn)榍虻陌霃綖?, 所以球心O到平面ABCD的距離d==3, 所以=×(4)2×3=32. 答案:32 7.如圖所示(單位:cm)四邊形ABCD是直角梯形,求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積. 解:S球=×4π×22=8π(cm2), S圓臺側(cè)=π(2+5)=35π(cm2), S圓臺下底=π×52=25π(cm2), 即該幾何體的表面積為8π+35π+25π

5、=68π(cm2). 又V圓臺=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3), V半球=××23=(cm3). 所以該幾何體的體積為V圓臺-V半球=52π-=(cm3). 能力提升 8.如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍,則圓錐的側(cè)面面積和球的表面積之比為(　C　) (A)4∶3 (B)3∶1 (C)3∶2 (D)9∶4 解析:作軸截面如圖, 則PO=2OD,∠CPB=30°, CB=PC=r,PB=2r, 圓錐側(cè)面積S1=6πr2, 球的面積S2=4πr2,S1∶S2=3∶2. 故選C. 9.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水,若放入三個相同的球(球

6、的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖),則球的半徑是(　D　) (A) cm (B)2 cm (C)3 cm (D)4 cm 解析:設(shè)球的半徑為r, 則V水=8πr2,V球=4πr3, 加入小球后,液面高度為6r, 所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故選D. 10.(2018·陜西咸陽二模)已知一個三棱錐的所有棱長均為,求該三棱錐的內(nèi)切球的體積. 解:如圖,AE⊥平面BCD,設(shè)O為正四面體A-BCD內(nèi)切球的球心, 則OE為內(nèi)切球的半徑,設(shè)OA=OB=R,又正四面體ABCD的棱長為, 在等邊△BCD中,BE=, 所以AE==

7、. 由OB2=OE2+BE2, 得R2=(-R)2+,解得R=, 所以O(shè)E=AE-R=,即內(nèi)切球的半徑是, 所以內(nèi)切球的體積為π×()3=π. 探究創(chuàng)新 11.將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體(四面體的每個面都是正三角形)的容器里,求這個正四面體的高的最小值. 名師點(diǎn)撥:四個小球在正四面體內(nèi)一定是兩兩相切的,球心連起來構(gòu)成一個正四面體. 解:由題意,如圖所示,在正四面體S-ABC的底面上放三個鋼球,上面再放一個鋼球時(shí),正四面體的高最小.且連接小鋼球的球心又得到一個棱長為2的小正四面體M-NEF,且兩個正四面體的中心重合于點(diǎn)O,取△NEF的中心O1,連接NO1,則NO1=,MO1==.由正四面體的性質(zhì)知其中心O與O1的距離OO1=MO1=.從而OO2=OO1+1=+1.故正四面體的高的最小值為4OO2=+4.