（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前沖刺三 第四類 概率問題重在“辨”——辨析、辨型學(xué)案 文

（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前沖刺三 第四類 概率問題重在“辨”——辨析、辨型學(xué)案 文 概率與統(tǒng)計(jì)問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要找到模型，問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計(jì)模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，同時(shí)，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別，合理分劃復(fù)雜事件. 【例4】 (2018·合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x，得到如下的頻率分布表： x [11，13) [13，15) [15，17) [17，19) [19，21) [21，23] 頻數(shù) 2 12 34 38 10 4 (1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)； (2)若x<13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率. 解　(1)頻率分布直方圖為(辨析1) 估計(jì)平均數(shù)為＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.(辨型1) 由頻率分布直方圖，x∈[17，19)時(shí)，矩形面積最大，因此估計(jì)眾數(shù)為18. (2)記技術(shù)指標(biāo)值x<13的2件不合格產(chǎn)品為a1，a2，技術(shù)指標(biāo)值x≥21的4件不合格產(chǎn)品為b1，b2，b3，b4，(辨析2) 則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15個(gè)基本事件. 記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M，則事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8個(gè)基本事件. 故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P＝.(辨型2) 探究提高　1.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù)，如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)據(jù)分析清楚，然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 2.求解該類問題要注意兩點(diǎn)： (1)明確頻率與概率的關(guān)系，頻率可近似替代概率. (2)此類問題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成. 【訓(xùn)練4】 (2018·日照一模)共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這50人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題： 頻率分布表 組別 分組 頻數(shù) 頻率 第1組 [50，60) 8 0.16 第2組 [60，70) a ■ 第3組 [70，80) 20 0.40 第4組 [80，90) ■ 0.08 第5組 [90，100] 2 b 合計(jì) ■ ■ 頻率分布直方圖 (1)求出a，b，x，y的值； (2)若在滿意度評(píng)分值為[80，100]的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人中至少一人來自第5組的概率. 解　(1)由題意可知，＝，解得b＝0.04； ∴樣本容量n＝＝50， ∴[80，90)內(nèi)的頻數(shù)為50×0.08＝4， a＝50－8－20－4－2＝16； ∴[60，70)內(nèi)的頻率為＝0.32，∴x＝＝0.032； 又[90，100]內(nèi)的頻率為0.04，∴y＝＝0.004. (2)由題意可知，第4組共有4人，第5組共有2人， 設(shè)第4組的4人分別為a1，a2，a3，a4；第5組的2人分別為b1，b2； 則從中任取2人，所有基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15個(gè). 又至少一人來自第5組的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a2，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共9個(gè)， 所以p＝＝， 故所抽取2人中至少一人來自第5組的概率為.