（新課標）2022高考數學大一輪復習 坐標系與參數方程 題組層級快練76 參數方程 文（含解析）（選修4-4）

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1、（新課標）2022高考數學大一輪復習 坐標系與參數方程 題組層級快練76 參數方程 文（含解析）（選修4-4） 1．直線(t為參數)的傾斜角為(　　) A．70°　　　　　　　　 B．20° C．160° D．110° 答案　B 解析　方法一：將直線參數方程化為標準形式： (t為參數)，則傾斜角為20°，故選B. 方法二：tanα＝＝＝tan20°，∴α＝20°. 另外，本題中直線方程若改為，則傾斜角為160°. 2．若直線的參數方程為(t為參數)，則直線的斜率為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 3．參數方程(θ為參數)表示的曲線上的點到坐標

2、軸的最近距離為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　參數方程(θ為參數)表示的曲線的普通方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，這是圓心為(－3，4)，半徑為2的圓，故圓上的點到坐標軸的最近距離為1. 4．(2019·皖南八校聯(lián)考)若直線l：(t為參數)與曲線C：(θ為參數)相切，則實數m為(　　) A．－4或6 B．－6或4 C．－1或9 D．－9或1 答案　A 解析　由(t為參數)，得直線l：2x＋y－1＝0，由(θ為參數)，得曲線C：x2＋(y－m)2＝5，因為直線與曲線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即＝，解得m＝－4或m＝6.

3、 5．(2019·北京朝陽二模)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin(θ＋)，則直線l和曲線C的公共點有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．無數個 答案　B 解析　直線l：(t為參數)化為普通方程得x－y＋4＝0； 曲線C：ρ＝4sin(θ＋)化成普通方程得(x－2)2＋(y－2)2＝8， ∴圓心C(2，2)到直線l的距離為d＝＝2＝r. ∴直線l與圓C只有一個公共點，故選B. 6．在直角坐標系中，已知直線l：(s為參數)與曲線C：(t為參數)相交于A，B兩點，則

4、|AB|＝________． 答案　 解析　曲線C可化為y＝(x－3)2，將代入y＝(x－3)2，化簡解得s1＝1，s2＝2，所以|AB|＝|s1－s2|＝. 7．(2019·人大附中模擬)已知直線l的參數方程為(t為參數)，圓C的極坐標方程為ρ＋2sinθ＝0，若在圓C上存在一點P，使得點P到直線l的距離最小，則點P的直角坐標為________． 答案　(，－) 解析　由已知得，直線l的普通方程為y＝－x＋1＋2，圓C的直角坐標方程為x2＋(y＋1)2＝1，在圓C上任取一點P(cosα，－1＋sinα)(α∈[0，2π))，則點P到直線l的距離為d＝＝＝.∴當α＝時，dmin＝，此

5、時P(，－)． 8．(2018·天津，理)已知圓x2＋y2－2x＝0的圓心為C，直線(t為參數)與該圓相交于A，B兩點，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　直線的普通方程為x＋y－2＝0，圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心為C(1，0)，半徑為1，點C到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝，所以S△ABC＝××＝. 9．(2019·衡水中學調研)已知直線l的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ－2cosθ. (1)求曲線C的參數方程； (2)當α＝時，求直線l與曲線C交點的

6、極坐標． 答案　(1)(φ為參數) (2)(2，)，(2，π) 解析　(1)由ρ＝2sinθ－2cosθ， 可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ. 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y－2x， 化為標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2. 曲線C的參數方程為(φ為參數)． (2)當α＝時，直線l的方程為化為普通方程為y＝x＋2. 由解得或 所以直線l與曲線C交點的極坐標分別為(2，)，(2，π)． 10．(2016·課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；

7、 (2)直線l的參數方程是(t為參數)，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 答案　(1)ρ2＋12ρcosθ＋11＝0 (2)或－ 解析　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±. 所以l的斜率為或－. 1

8、1．已知曲線C1：(α為參數)，C2：(θ為參數)． (1)分別求出曲線C1，C2的普通方程； (2)若C1上的點P對應的參數為α＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數)距離的最小值及此時Q點坐標． 答案　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1　C2：＋＝1 (2)，(，－) 解析　(1)由曲線C1：(α為參數)，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1， 它表示一個以(－4，3)為圓心，以1為半徑的圓； 由C2：(θ為參數)，得＋＝1， 它表示一個中心為坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長為8，短半軸長為3的橢圓． (2)當α＝時，P點的坐標為(－4，4)，設Q點

9、坐標為(8cosθ，3sinθ)，PQ的中點M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)． ∵C3：∴C3的普通方程為x－2y－7＝0， ∴d＝ ＝＝， ∴當sinθ＝－，cosθ＝時，d的最小值為， ∴Q點坐標為(，－)． 12．(2019·南昌模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(φ為參數)．以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ－kρcosθ＋k＝0(k∈R)． (1)請寫出曲線C的普通方程與直線l的一個參數方程； (2)若直線l與曲線C交于點A，B，且點M(1，0)為線段AB的一個三等分點，求|AB|. 答案　(1)

10、＋＝1　(t為參數)． (2) 解析　(1)由題意知，曲線C的普通方程為＋＝1. 直線l的直角坐標方程為y＝k(x－1)，其一個參數方程為(t為參數)． (2)聯(lián)立(1)中直線l的參數方程與曲線C的普通方程并化簡得(3＋sin2α)t2＋6tcosα－9＝0， 設點A，B對應的參數分別為t1，t2， ∴① 不妨設t1>0，t2<0，t1＝－2t2，代入①中得cos2α＝，sin2α＝. |AB|＝|t1－t2|＝＝＝. 13．(2019·天星大聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2c

11、os(θ＋)，若直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|； (2)若點M是曲線C上不同于A，B的動點，求△MAB的面積的最大值． 答案　(1)　(2) 解析　(1)ρ＝2cos(θ＋)可化為ρ＝2cosθ－2sinθ，將代入，得曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.將直線l的參數方程化為(t為參數)，代入(x－1)2＋(y＋1)2＝2，得t2－t－1＝0，設方程的解為t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝－1， 因而|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝＝. (2)將直線l的參數方程化為普通方程為2x－y－1

12、＝0，設M(1＋cosθ，－1＋sinθ)， 由點到直線的距離公式，得M到直線AB的距離為 d＝ ＝， 最大值為，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝，因而△MAB面積的最大值為××＝. 14．(2018·課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率． 答案　(1)＋＝1　x＝1或y＝xtanα＋2－tanα　(2)－2 解析　(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1. 當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y＝tanα·x＋2

13、－tanα， 當cosα＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2. (第二次作業(yè)) 1．(2019·石家莊質量檢測)在平面直角坐標系中，直線l的參數方程是(t為參數 )，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ2＋2ρsinθ－3＝0.

14、(1)求直線l的極坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|. 答案　(1)sinθ＝2cosθ　(2) 解析　(1)由消去t得y＝2x， 把代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ， ∴直線l的極坐標方程為sinθ＝2cosθ. (2)∵ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ， ∴曲線C的方程可化為x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 圓C的圓心C(0，－1)到直線l的距離d＝， ∴|AB|＝2＝. 2．(2019·鄭州質量預測)在平面直角坐標系xOy中，直線l過點(1，0)，傾斜角為α，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線

15、C的極坐標方程是ρ＝. (1)寫出直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若α＝，設直線l與曲線C交于A，B兩點，求△AOB的面積． 答案　(1)(t為參數)　y2＝8x (2)2 解析　(1)由題知直線l的參數方程為(t為參數)． ∵ρ＝，∴ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，即y2＝8x. (2)方法一：當α＝時，直線l的參數方程為(t為參數 )， 代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0， 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝8，t1·t2＝－16， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8. 又點O到直線AB的距離d＝1×

16、sin＝， ∴S△AOB＝|AB|×d＝×8×＝2. 方法二：當α＝時，直線l的方程為y＝x－1， 設M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0， 由根與系數的關系，得 S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2. 3．(2019·廣州綜合測試)已知過點P(m，0)的直線l的參數方程是(t為參數)，以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l和曲線C交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝2

17、，求實數m的值． 答案　(1)x－y－m＝0　x2－2x＋y2＝0 (2)1± 解析　(1)直線l的普通方程為x－y－m＝0，曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0. (2)方法一：把x－y－m＝0代入x2－2x＋y2＝0，消去y，得4x2－2(3＋m)x＋m2＝0. 由Δ>0，得－1

18、消去x，得4y2＋2(m－1)y＋m2－2m＝0. 由Δ>0，得－10，得－1

19、在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)，直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)求|AB|的值； (2)若F為曲線C的左焦點，求·的值． 思路　(1)把曲線C和直線l的參數方程化為普通方程，再聯(lián)立，消元后利用根與系數的關系和弦長公式計算|AB|；(2)利用向量數量積的計算公式、根與系數的關系得結論． 答案　(1)　(2)44 解析　(1)由(θ為參數)，消去參數θ得＋＝1. 由消去參數t得y＝2x－4. 將y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以|AB|＝

20、|x1－x2|＝×＝，所以|AB|的值為. (2)·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋x2)＋12] ＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60 ＝5×－6×＋60 ＝44， 所以·的值為44. 5．(2019·福建質檢)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，α∈[0，π))．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程為ρcos2θ＝4sinθ. (1)設M(x，y)為曲線C上任意一點，求x＋y的取值范圍； (2

21、)若直線l與曲線C交于不同的兩點A，B，求|AB|的最小值． 審題　對于(1)，利用極坐標與直角坐標的互化公式，將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，再通過代換及二次函數的性質，確定目標函數的取值范圍；對于(2)，將直線的參數方程代入到曲線C的直角坐標方程，通過消元，借助根與系數的關系及參數的幾何意義，將|AB|表示出來，再借助三角函數的性質確定其最值． 答案　(1)[－1，＋∞)　(2)4 解析　(1)將曲線C的極坐標方程ρcos2θ＝4sinθ，化為直角坐標方程，得x2＝4y. ∵M(x，y)為曲線C上任意一點，∴x＋y＝x＋x2＝(x＋2)2－1， ∴x＋y的取值范圍是[－1，

22、＋∞)． (2)將代入x2＝4y，得t2cos2α－4tsinα－4＝0. ∴Δ＝16sin2α＋16cos2α＝16>0， 設方程t2cos2α－4tsinα－4＝0的兩個根為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，當且僅當α＝0時，取等號． 故當α＝0時，|AB|取得最小值4. 6．(2019·南昌NCS二模)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρsin(θ＋)＝2. (1)求曲線C1，C2的直角坐標方程； (2)設曲線C1，C2交于點A，

23、B，曲線C2與x軸交于點E，求線段AB的中點到點E的距離． 思路　(1)根據x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2即可求得曲線C1和曲線C2的直角坐標方程；(2)首先求得曲線C2的參數方程，然后代入曲線C1的直角坐標方程，最后利用參數的幾何意義求解即可． 答案　(1)x2＋y2－4y＝0　x＋y－4＝0 (2)2＋1 解析　(1)曲線C1的極坐標方程可以化為ρ2－4ρsinθ＝0， 所以曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0. 曲線C2的極坐標方程可以化為ρsinθ·＋ρcosθ·＝2， 所以曲線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意及(1)得點E的坐標為(4，0)，C2的傾斜角為， 所以C2的參數方程為(t為參數)， 將C2的參數方程代入曲線C1的直角坐標方程得到(4－t)2＋－2t＝0， 整理得t2－(4＋2)t＋16＝0，判別式Δ>0， 則線段AB的中點對應的參數為2＋1， 所以線段AB的中點到點E的距離為2＋1.