（濰坊專版）2022中考數學復習 第1部分 第三章 函數 第七節(jié) 二次函數的綜合應用檢測

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1、（濰坊專版）2022中考數學復習 第1部分 第三章 函數 第七節(jié) 二次函數的綜合應用檢測 1．(xx·衡陽中考)如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸于點A，B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D. (1)若拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N. ①求點M，N的坐標； ②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由； (2)當點P的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的表達式；若不存在，請說明理由．

2、 2．(xx·棗莊中考)如圖1，已知二次函數y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0)，連接AB，AC. (1)請直接寫出二次函數y＝ax2＋x＋c的表達式； (2)判斷△ABC的形狀，并說明理由； (3)若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標； (4)如圖2，若點N在線段BC上運動(不與點B，C重合)，過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標． 圖1 圖2 3．(xx·隨州中考)如圖1

3、，拋物線C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C.已知點A的坐標為(－1，0)，點O為坐標原點，OC＝3OA，拋物線C1的頂點為G. (1)求出拋物線C1的表達式，并寫出點G的坐標； (2)如圖2，將拋物線C1向下平移k(k＞0)個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′，B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值； (3)在(2)的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于P，Q兩點，試探究在直線y＝－1上是否存在點N，使得以P，Q，N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點

4、M，N的坐標：若不存在，請說明理由． 參考答案 1．解：(1)①如圖， ∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋， ∴頂點M的坐標為(，)． 當x＝時，y＝－2×＋4＝3， 則點N的坐標為(，3)． ②不存在．理由如下： MN＝－3＝. 設P點坐標為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m. ∵PD∥MN， 當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形， 即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝， 此時P點坐標為(，1)． ∵PN＝＝，∴PN≠MN

5、， ∴平行四邊形MNPD不為菱形， ∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形． (2)存在． 如圖， OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2. 當x＝1時，y＝－2x＋4＝2，則P(1，2)， ∴PB＝＝. 設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋4， 把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2， ∴拋物線的表達式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4. 當x＝1時，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，則D(1，2－a)， ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA， ∴當＝時，△PDB∽△BOA，即＝， 解得a＝－2，

6、 此時拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4； 當＝時，△PDB∽△BAO，即＝， 解得a＝－， 此時拋物線的表達式為y＝－x2＋3x＋4. 綜上所述，滿足條件的拋物線的表達式為y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4. 2．解：(1)y＝－x2＋x＋4. 提示：∵二次函數y＝ax2＋x＋c的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，C，點C坐標為(8，0)， ∴解得 ∴拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋4. (2)△ABC是直角三角形．理由如下： 令y＝0，則－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝8，x2＝－2， ∴點B的坐標為(－2，0)． 在Rt△ABO中，AB

7、2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20， 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80. 又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10， ∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． (3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝＝4. ①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N，此時N的坐標為(－8，0)； ②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N，此時N的坐標為(8－4，0)或(8＋4，0)； ③作AC的垂直平分線，交x軸于點N，此時N的坐標為(3，0)． 綜上所述，若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等

8、腰三角形時，點N的坐標分別為(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)． (4)設點N的坐標為(n，0)，則BN＝n＋2. 如圖，過點M作MD⊥x軸于點D， ∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO， ∴＝. ∵MN∥AC，∴＝，∴＝. ∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)． ∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD ＝(n＋2)×4－×(n＋2)2 ＝－(n－3)2＋5， 當n＝3時，S△AMN最大， ∴當△AMN面積最大時，N點坐標為(3，0)． 3．解：(1)∵點A的坐標為(－1，0)，∴OA＝1. ∵OC＝3

9、OA，∴點C的坐標為(0，3)． 將A，C點坐標代入y＝ax2－2ax＋c得 解得 ∴拋物線C1的表達式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴點G的坐標為(1，4)． (2)設拋物線C2的表達式為y＝－x2＋2x＋3－k， 即y＝－(x－1)2＋4－k. 如圖，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設B′D＝m. ∵△A′B′G′為等邊三角形， ∴G′D＝B′D＝m， 則點B′的坐標為(m＋1，0)，點G′的坐標為(1，m)． 將點B′，G′的坐標代入y＝－(x－1)2＋4－k得 解得(舍)或 ∴k＝1. (3)存在． M1(，0)，N1(，－1)；M2(，0)，N2(1，－1)；M3(4，0)，N3(10，－1)；M4(4，0)，N4(－2，－1)．