（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 冪函數(shù)講義 文

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1、（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.7 冪函數(shù)講義 文 一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn) 1．冪函數(shù)的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)． 冪函數(shù)的特征 (1)自變量x處在冪底數(shù)的位置，冪指數(shù)α為常數(shù)； (2)xα的系數(shù)為1； (3)只有一項(xiàng)． 2．五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)特征性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇

2、 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (－∞，0)減， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)減 公共點(diǎn) (1,1) 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn) 對(duì)于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m與n互質(zhì))的冪函數(shù)： (1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； (2)當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； (3)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處)． 三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化——功底牢一點(diǎn) (1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　　) (2)當(dāng)n>0時(shí)，冪函

3、數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(　　) (3)冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ (二)選一選 1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)，則k＋α＝(　　) A.　　　　　　　　 　B．1 C. D．2 解析：選C　因?yàn)閒(x)＝k·xα是冪函數(shù)，所以k＝1. 又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝. 2．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(2)＝(　　) A.　　　　　　　　　 　B．4 C. D. 解析：選C　設(shè)f(x)＝xα， ∵圖象過(guò)點(diǎn)， ∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，

4、 ∴f(2)＝2＝. 3．函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是(　　) 解析：選B　函數(shù)y＝x的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝x－1的圖象可看作由函數(shù)y＝x的圖象向下平移一個(gè)單位得到的(如選項(xiàng)A中的圖所示)，將函數(shù)y＝x－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后即為選項(xiàng)B. (三)填一填 4．若y＝ax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是________． 解析：由已知y＝ax是冪函數(shù)，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故該函數(shù)的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 5．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_

5、______． 解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)， ∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2. 又f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴m＝2. 答案：2 [典例]　(1)(2019·贛州階段測(cè)試)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)是(　　) A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) (2)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　)

6、 A．－3　　　　　　　 　B．1 C．2 D．1或2 [解析]　(1)設(shè)f(x)＝xα，將點(diǎn)(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選C. (2)∵冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴∴n＝1， 又n＝1時(shí)，f(x)＝x－2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故n＝1. [答案]　(1)C　(2)B [解題技法]　冪函數(shù)y＝xα的主要性質(zhì)及解題策略 (1)冪函數(shù)在(0，＋∞)內(nèi)都有定義，冪函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,1)． (2)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(

7、0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減． (3)當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)． (4)冪函數(shù)的性質(zhì)因冪指數(shù)大于零、等于零或小于零而不同，解題中要善于根據(jù)冪指數(shù)的符號(hào)和其他性質(zhì)確定冪函數(shù)的解析式、參數(shù)取值等． 冪函數(shù)，啥模樣，冪指坐在肩膀上； 圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,1)，單調(diào)牢記一象限； 正冪遞增負(fù)冪減，奇偶性質(zhì)看指數(shù)． [題組訓(xùn)練] 1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的為(　　) A．y＝x－4 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝x 解析：選A　函數(shù)y＝x

8、－4為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x－1為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；函數(shù)y＝x為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 2.已知當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，函數(shù)y＝xp的圖象在直線y＝x的上方，則p的取值范圍是________． 解析：當(dāng)p>0時(shí)，根據(jù)題意知p<1，所以0

9、＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)b＝，因?yàn)閥＝x是減函數(shù)，所以a＝

10、a>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：選B　因?yàn)閥＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，所以a＝>c＝，因?yàn)閥＝x是減函數(shù)，所以c＝>b＝，所以a>c>b. 2．若(a＋1)<(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以解得－1≤a<. 答案： 1．若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則f(8)的值為(　　) A．4　　　　　　　　　　 　B. C．2 D．1 解析：選C　設(shè)f(x)＝xn，由條件知f(4)＝2，所以2＝4n，n＝， 所以f(x)＝x，f(

11、8)＝8＝2. 2．若冪函數(shù)f(x)＝xk在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則k可能是(　　) A．1 B．2 C. D．－1 解析：選D　由冪函數(shù)的性質(zhì)得k<0，故選D. 3．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數(shù)，則m＝(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．3 解析：選A　∵函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.當(dāng)m＝1時(shí)，冪函數(shù)f(x)＝x2為偶函數(shù)，滿足條件；當(dāng)m＝2時(shí)，冪函數(shù)f(x)＝x3為奇函數(shù)，不滿足條件．故選A. 4．(2018·邢臺(tái)期末)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)g(x)＝

12、f(x)＋的最小值為(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 解析：選A　設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα. ∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴2α＝，解得α＝－2. ∴函數(shù)f(x)＝x－2，其中x≠0. ∴函數(shù)g(x)＝f(x)＋＝x－2＋ ＝＋≥2＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝±時(shí)，g(x)取得最小值1. 5．(2019·安徽名校聯(lián)考)冪函數(shù)y＝x|m－1|與y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為(　　) A．0 B．1和2 C．2 D．0和3 解析：選C　由題意可得解得m＝2. 6．已知a＝3，b＝4，c＝12，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)

13、 A．bb>c，故選C. 7．設(shè)x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，則x，y，z的大小關(guān)系為(　　) A．xz.由函數(shù)y＝x0.3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得x

14、時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 解析：選D　∵f(x)是冪函數(shù)，∴(m－1)2＝1，解得m＝2或m＝0.若m＝2，則f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不滿足條件．若m＝0，則f(x)＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，滿足條件，即f(x)＝x2.當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)；當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，g(x)∈[2－k,4－k)，即B＝[2－k,4－k)．∵A∪B＝A，∴B?A，∴2－k≥1且4－k≤4，解得0≤k≤1. 9．若

15、f(x)是冪函數(shù)，且滿足＝2，則f＝________. 解析：設(shè)f(x)＝xα，∵＝＝3α＝2，∴f＝α＝2α＝＝＝. 答案： 10．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是________． 解析：由f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數(shù)?m2－m－5＝1?m＝－2或m＝3.又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以m＝3. 答案：3 11．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，則f(x)，g(x)，h(x)的大小關(guān)系是________________． 解析：分別作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝

16、h(x)的圖象如圖所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)． 答案：h(x)＞g(x)＞f(x) 12．(2019·銀川模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)∵冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)， ∴＝2，即2＝2. ∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. (2)由(1)知f(x)＝x， 則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)． 由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<. ∴a的取值范圍為.