（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列學(xué)案 理

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1、 第六章 數(shù)　列 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示 本節(jié)主要包括2個知識點(diǎn)：　1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；　2.數(shù)列的性質(zhì). 突破點(diǎn)(一)　數(shù)列的通項(xiàng)公式　 1．?dāng)?shù)列的定義 按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式． 3．?dāng)?shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用

2、一個式子來表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么這個式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式． 4．Sn與an的關(guān)系 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝這個關(guān)系式對任意數(shù)列均成立． 1．判斷題 (1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．(　　) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個．(　　) (3)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項(xiàng)．(　　) (4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(

3、4)× 2．填空題 (1)已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15，則數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式為________． 答案：an＝2n－1(n∈N*) (2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，則a2＝________. 答案： (3)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________________． 答案：an＝ 利用數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng) 給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時，需要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號之間的關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中，先看看哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號間的關(guān)系． [例

4、1]　(1)(2018·江西鷹潭一中期中)數(shù)列1，－4,9，－16,25，…的一個通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝(－1)nn2 C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1n2 D．a(chǎn)n＝(－1)n(n＋1)2 (2)(2018·山西太原五中調(diào)考)把1,3,6,10,15，…，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的圓點(diǎn)可以排成一個正三角形(如圖所示)． 則第7個三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 [解析]　(1)法一：該數(shù)列中第n項(xiàng)的絕對值是n2，正負(fù)交替的符號是(－1)n＋1，故選C. 法二：將n＝2代入各選項(xiàng)，排除A，B，D，故選C. (2)觀察三

5、角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是該項(xiàng)的序號，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以根據(jù)這個規(guī)律計(jì)算可知，第7個三角形數(shù)是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故選B. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的思路方法 (1)分式形式的數(shù)列，分別求分子、分母的通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系． (2)若第n項(xiàng)和第n＋1項(xiàng)正負(fù)交錯，那么符號用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1來調(diào)控． (3)對于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，這就需要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形，可使用添項(xiàng)、通分、

6、分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個常見數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納． [提醒]　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式利用了不完全歸納法，其蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)．　 　 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng) 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為an＝通過紐帶：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根據(jù)題目已知條件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通過構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解． [例2]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若

7、Sn＝3n＋2n＋1，求an. [解]　(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時，a1＝S1＝6； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2， 由于a1不適合此式，所以an＝ [方法技巧] 已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1＝S

8、1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式． (3)對n＝1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．　　 利用遞推關(guān)系求通項(xiàng) [例3]　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (3)在數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (4)

9、已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)因?yàn)閍n＋1－an＝3n＋2， 所以an－an－1＝3n－1(n≥2)， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式， 所以an＝n2＋. (2)因?yàn)閍n＝an－1(n≥2)， 所以an－1＝an－2，…，a2＝a1. 由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝. (3)因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以數(shù)列{an＋1}為

10、等比數(shù)列，公比q＝3.又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1. (4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0， ∴＝＋，即－＝， 又a1＝1，則＝1， ∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)×＝＋， ∴an＝(n∈N*)． [方法技巧]　　　典型的遞推數(shù)列及處理方法 遞推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 疊加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 疊乘法 a1＝1，＝2n an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0) 化為等比數(shù)列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝ (

11、A，B，C為常數(shù)) 化為等差數(shù)列 a1＝1，an＋1＝ 1.(2018·湖南衡陽二十六中期中)在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值為(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：選C　觀察所給數(shù)列的項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它相鄰的前兩項(xiàng)的和，所以x＝5＋8＝13，故選C. 2.數(shù)列1，－，，－，…的一個通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(－1)n－1(n∈N*) 解析：選D　所給數(shù)列各項(xiàng)可寫成：，－，，－

12、，…，通過對比各選項(xiàng)，可知選D. 3.(2018·黑龍江雙鴨山一中期末)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an＝(　　) A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2 解析：選A　因?yàn)镾n＝2an－4，所以n≥2時，有Sn－1＝2an－1－4, 兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即 ＝2(n≥2)．因?yàn)镾1＝a1＝2a1－4，所以a1＝4，所以an＝2n＋1. 4.(2018·山東濰坊期中)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an＝(　　) A．2＋ln n B．

13、2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 解析：選A　法一：由已知得an＋1－an＝ln＝ln，而an＝(an－an－1)＋(an－1＋an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，n≥2，所以an＝ln＋ln＋…＋ln＋2＝ ln＋2＝ln n＋2，n≥2.當(dāng)n＝1時，a1＝2＝ln 1＋2.故選A. 法二：由an＝an－1＋ln＝an－1＋ln＝an－1＋ln n－ln(n－1)(n≥2)，可知an－ln n＝an－1－ln(n－1)(n≥2)．令bn＝an－ln n，則數(shù)列{bn}是以b1＝a1－ln 1＝2為首項(xiàng)的常數(shù)列，故bn＝2，所以2＝an－ln n，所以

14、an＝2＋ln n．故選A. 突破點(diǎn)(二)　數(shù)列的性質(zhì)　 數(shù)列的分類 分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動數(shù)列 從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng) (1)已知函數(shù)f(x)＝，設(shè)an＝f(n)(n∈N*)，則{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)． 答案：遞增 (2)數(shù)列

15、{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋9n，則該數(shù)列第________項(xiàng)最大． 答案：4或5 (3)現(xiàn)定義an＝5n＋n，其中n∈N*，則{an}是_______數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)． 答案：遞增 (4)對于數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的____________條件． 答案：充分不必要 數(shù)列的單調(diào)性 (1)數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同，其自變量的取值是不連續(xù)的，只能取正整數(shù)，所以在求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)時，應(yīng)注意數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的，故不應(yīng)漏掉等號． (2)數(shù)列是自變量不連續(xù)的函數(shù)，不能對數(shù)列直接

16、求導(dǎo)判斷單調(diào)性．要先寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去． [例1]　(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝nn，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B． C. D． (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n2＋tn＋1，若{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6) C．(－∞，－3) D． [解析]　(1)法一(作差比較法)： an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n， 當(dāng)n<2時，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當(dāng)n＝2

17、時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當(dāng)n>2時，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an， 所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故選A. 法二(作商比較法)： ＝＝， 令>1，解得n<2； 令＝1，解得n＝2； 令<1，解得n>2. 又an>0，故a1a4>a5>…>an， 所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故選A. (2)法一：因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增數(shù)列， 所以對于任意的n∈N*，都有an＋1>an， 即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋

18、1>2n2＋tn＋1， 化簡得t>－4n－2， 所以t>－4n－2對于任意的n∈N*都成立， 因?yàn)椋?n－2≤－6，所以t>－6.故選A. 法二：設(shè)f(n)＝2n2＋tn＋1，其圖象的對稱軸為n＝－，要使{an}是遞增數(shù)列，則－<，即t>－6.故選A. [答案]　(1)A　(2)A [方法技巧] 1．判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法 (1)作差比較法 an＋1－an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列． (2)作商比較法 an>0時 ①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列； ②<1?數(shù)列{an}

19、是單調(diào)遞減數(shù)列； ③＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 an<0時 ①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列； ②<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列； ③＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 2.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法 (1)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)； (2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)． 數(shù)列的周期性 數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性相類似．求解數(shù)列的周期問題時，通常是求出數(shù)列的前n項(xiàng)觀察規(guī)律．確定出數(shù)列的一個周期，然后再解決相應(yīng)的問題． [例2]　(1)(2018·黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列{xn}滿足xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a

20、≠0)，且xn＋3＝xn對于任意的正整數(shù)n均成立，則數(shù)列{xn}的前2 017項(xiàng)和S2 017＝(　　) A．672 B．673 C．1 342 D．1 345 (2)(2018·廣東四校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a2 018＝(　　) A．－2 B．－1 C．2 D． [解析]　(1)∵x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，∴x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋(1－a)＝2，又xn＋3＝xn對于任意的正整數(shù)n均成立，∴數(shù)列{xn}的周期為3，所以數(shù)列{xn}的前2 017項(xiàng)和S2 017＝S672×3＋1

21、＝672×2＋1＝1 345.故選D. (2)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此數(shù)列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，則a2 018＝a672×3＋2＝a2＝－1.故選B. [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 周期數(shù)列的常見形式與解題方法 (1)周期數(shù)列的常見形式 ①利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)； ②相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差； ③相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列． (2)解決此類題目的一般方法 根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若

22、干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和．　　 1.(2018·安徽名校聯(lián)盟考前模擬)在數(shù)列{an}中，若對任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100＝(　　) A．132 B．299 C．68 D．99 解析：選B　因?yàn)閷θ我獾膎∈N*均有an＋an＋1＋an＋2為定值，所以an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋3＝an，所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列，且周期為3.故a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，a100＝a1＝2，所以S100＝33(a1＋a2＋

23、a3)＋a100＝299.故選B. 2.(2018·山東棗莊第八中學(xué)階段性檢測)已知數(shù)列，欲使它的前n項(xiàng)的乘積大于36，則n的最小值為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：選B　由數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積···…·＝>36，得n2＋3n－70>0，解得n<－10或n>7.又因?yàn)閚∈N*，所以n的最小值為8，故選B. 3.已知函數(shù)f(x)＝(a>0，且a≠1)，若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,1) B． C．(2,3) D．(1,3) 解析：選C　因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以解得2

24、a的取值范圍是(2,3)． 4.(2018·遼寧重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 018＝(　　) A．0 B．2 018 C．1 010 D．1 009 解析：選C　由a1＝1及an＋1－an＝sin，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，a7＝a6＋sin＝0，a8＝a7＋sin＝0，…，可見數(shù)列{an}為周期數(shù)列，周期T＝4，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝

25、1 010. 　[全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 　　　　　　　　　　　　 1．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 答案：－ 2．(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列 {an}滿足 an＋1＝ , a8＝2，則a1 ＝________. 解析：將a8＝2代入

26、an＋1＝，可求得a7＝；再將a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝. 答案： 3．(2013·全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式是an＝________. 解析：當(dāng)n＝1時，由已知Sn＝an＋， 得a1＝a1＋，即a1＝1； 當(dāng)n≥2時，由已知得到Sn－1＝an－1＋， 所以an＝Sn－Sn－1＝－ ＝an－an－1， 所以an＝－2an－1，所以數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng)，以－2為公比的等比數(shù)列，所以an＝(－2)n－1. 答

27、案：(－2)n－1 4．(2016·全國卷Ⅲ)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)由題意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因此{(lán)an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. [課時達(dá)標(biāo)檢測] [小題對點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)] 對點(diǎn)練(

28、一)　數(shù)列的通項(xiàng)公式 1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則是這個數(shù)列的(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng) 解析：選B　由an＋1＝可得＝＋，即數(shù)列是以＝1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故＝1＋(n－1)×＝n＋，即an＝，由＝，解得n＝7，故選B. 2．(2018·南昌模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是(　　) A. B． C. D． 解析：選C　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，

29、a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝. 3．(2018·河南鄭州一中考前沖刺)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋＝(　　) A. B． C. D． 解析：選D　∵a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，用累加法可得an＝a1＋＝，∴＝＝2，∴＋＋＋…＋＝2＝，故選D. 4．(2018·甘肅天水檢測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　) A．2n－1 B． C.n－1 D．n－1 解析

30、：選D　因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，所以＝，所以數(shù)列{Sn}是以S1＝a1＝1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以Sn＝n－1.故選D. 5．(2018·蘭州模擬)在數(shù)列1,2，，，，…中2是這個數(shù)列的第________項(xiàng)． 解析：數(shù)列1,2，，，，…，即數(shù)列，，，，，…，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝＝，∴＝2＝，∴n＝26，故2是這個數(shù)列的第26項(xiàng)． 答案：26 6．(2018·河北冀州中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a3＝________，an＝________. 解析：由an＝n(an＋1

31、－an)，可得＝，則an＝···…··a1＝×××…××1＝n(n≥2)，∴a3＝3.∵a1＝1滿足an＝n，∴an＝n. 答案：3　n 7．(2018·福建晉江季延中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________________． 解析：已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1，將n＝1代入，得a1＝2；當(dāng)n≥2時，將n－1代入得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，兩式相減得nan＝(n＋1)－n＝1，∴an＝，∴an＝ 答案：an＝ 對點(diǎn)練(二)　數(shù)列的性質(zhì) 1．已知數(shù)列{an}的通

32、項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)．則下列說法正確的是(　　) A．這個數(shù)列的第10項(xiàng)為 B.是該數(shù)列中的項(xiàng) C．?dāng)?shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi) D．?dāng)?shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列 解析：選C　an＝＝＝.令n＝10，得a10＝.故選項(xiàng)A不正確，令＝， 得9n＝300，此方程無正整數(shù)解，故不是該數(shù)列中的項(xiàng)．因?yàn)閍n＝＝＝1－，又n∈N*，所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以≤an<1，所以數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間內(nèi)，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確，故選C. 2．(2018·湖北黃岡中學(xué)期中)已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝，則a2 018＝(　　) A．－2 B． C．－ D．3 解析：選D

33、　∵a1＝，∴a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，…，∴數(shù)列{an}是周期數(shù)列且周期T＝4，∴a2 018＝a2＝3，故選D. 3．(2018·河南鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 017的值為(　　) A．2 017n－m B．n－2 017m C．m D．n 解析：選C　根據(jù)題意計(jì)算可得a3＝n－m，a4＝－m，a5＝－n，a6＝m－n，a7＝m，a8＝n，…，因此數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，所以S2 017＝S336×6＋1＝a1＝m.故選

34、C. 4．(2018·安徽淮南模擬)已知{an}中，an＝n2＋λn，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 解析：選C　∵{an}是遞增數(shù)列，∴?n∈N*，an＋1>an，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，化簡得λ>－(2n＋1)，∴λ>－3.故選C. 5．(2018·北京海淀區(qū)模擬)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，則a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)n≤4時，an＝2n－1單調(diào)遞增，因此n＝4時取最大值，a4＝24－1＝15. 當(dāng)n≥

35、5時，an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋. ∵a5是{an}中的最大值，∴解得9≤a≤12.∴a的取值范圍是[9,12]． 答案：[9,12] [大題綜合練——遷移貫通] 1．(2018·東營模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)令n＝1，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2時，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2] ＝2(S

36、n－Sn－1)－2n＋1 ＝2an－2n＋1. 因?yàn)楫?dāng)n＝1時，a1＝S1＝1也滿足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)， 當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 兩式相減得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2)， 所以an＋2＝2(an－1＋2)， 因?yàn)閍1＋2＝3≠0， 所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列． 所以an＋2＝3×2n－1， 所以an＝3×2n－1－2， 當(dāng)n＝1時也成立， 所以an＝3×2n－1－2. 2．(2018·浙江舟山模擬)已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝

37、a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得，a1＝a＋a1， 解得a1＝1，a1＝0(舍)．S2＝a1＋a2＝a＋a2， 解得a2＝2(負(fù)值舍去)；同理可得a3＝3，a4＝4. (2)因?yàn)镾n＝a＋，① 所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝a＋，② ①－②得an＝(an－an－1)＋(a－a)，所以(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n. 3．(201

38、8·山西太原月考)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，a2a5＝32，a3＋a4＝12，又?jǐn)?shù)列{bn}滿足bn＝2log2an＋1，Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． (1)求Sn; (2)若對任意n∈N*，都有≤成立，求正整數(shù)k的值． 解：(1)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，則a2a5＝a3a4＝32， 又a3＋a4＝12，且{an}是遞增數(shù)列， 所以a3＝4，a4＝8，所以q＝2，a1＝1， 所以an＝2n－1.所以bn＝2log2an＋1＝2log22n＝2n. 所以Sn＝2＋4＋…＋2n＝＝n2＋n. (2)令cn＝＝， 則cn＋1－cn＝－＝－＝. 所以當(dāng)n＝1時，c1

39、； 當(dāng)n＝2時，c3＝c2； 當(dāng)n≥3時，cn＋1－cn<0，即c3>c4>c5>…， 所以數(shù)列{cn}中最大項(xiàng)為c2和c3. 所以存在k＝2或3，使得任意的正整數(shù)n，都有≥. 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 本節(jié)主要包括3個知識點(diǎn)：　 1.等差數(shù)列基本量的計(jì)算；2.等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用；3.等差數(shù)列的判定與證明. 突破點(diǎn)(一)　等差數(shù)列基本量的計(jì)算　 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)

40、)． (2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝. 1．判斷題 (1)若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(

41、4)√ 2．填空題 (1)已知等差數(shù)列{an}，a5＝－20，a20＝－35，則an＝________. 答案：－15－n (2)已知等差數(shù)列5,4，3，…，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為________． 答案：2 (3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6＝________. 答案：12 (4)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 答案：6 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 [典例]　(1)(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{a

42、n}的公差為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)(2018·安徽江南十校模擬)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．在這個問題中，E所得為(　　) A.錢 B．錢 C.錢 D．錢 (3)(2018·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. ①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ②

43、令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 則由得 即解得故選C. (2)由題意，設(shè)A所得為a－4d，B所得為a－3d，C所得為a－2d，D所得為a－d，E所得為a，則解得a＝，故E所得為錢．故選A. (3)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由S3＋S4＝S5，可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， 所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ②由①，可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)． ∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)

44、＝(－2)×n ＝－2n. [答案]　(1)C　(2)A [方法技巧] 解決等差數(shù)列基本量計(jì)算問題的思路 (1)在等差數(shù)列{an}中，a1與d是最基本的兩個量，一般可設(shè)出a1和d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可． (2)與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問題，主要圍繞著通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d和前n項(xiàng)和公式Sn＝＝na1＋d，在兩個公式中共涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三個量，選用恰當(dāng)?shù)墓剑梅匠?組)可求出剩余的兩個量． 1．(2018·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差

45、d等于(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 解析：選C　法一：由題意可得 解得d＝－3. 法二：a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4， ∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3. 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為________． 解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5， 即2a1＋2m－1＝5，所以a1＝3－m. 由Sm＝(3－m)m＋

46、×1＝0， 解得正整數(shù)m的值為5. 答案：5 3．(2018·福州模擬)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a4＝4a3＋1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n. 解：(1)依題意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0. 因?yàn)閍2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1， 所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)， 所以an＝2n－1. (2)a1＋a3＋a9＋…＋a3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1) ＝2×(1＋3＋32＋…＋3n)－

47、(n＋1) ＝2×－(n＋1) ＝3n＋1－n－2. 突破點(diǎn)(二)　等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用　 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，公差為m2d. (5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，

48、遇見S奇，S偶時可分別運(yùn)用性質(zhì)及有關(guān)公式求解． (6){an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則＝. (7)若{an}是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差是{an}的公差的. (1)(2018·岳陽模擬)在等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝________. 答案：100 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若＝，則＝________. 答案： (3)(2018·天水模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝___

49、_____. 答案：60 (4)等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為________． 解析：∵∴∴Sn的最大值為S5. 答案：S5 等差數(shù)列的性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2018·銀川模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為(　　) A．8 B．12 C．6 D．4 (2)(2018·山西太原模擬)在等差數(shù)列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則a6＝(　　) A．8 B

50、．6 C．4 D．3 (3)(2018·湖北武漢調(diào)研)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S4＝4，S6＝12，則S2＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 [解析]　(1)由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，得4a8＝32，∴a8＝8，∴m＝8.故選A. (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，故選D. (3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0. [答案]　

51、(1)A　(2)D　(3)B [方法技巧] 利用等差數(shù)列性質(zhì)求解問題的注意點(diǎn) (1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值． (2)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等． [提醒]　一般地，am＋an≠am＋n，等號左、右兩邊必須是兩

52、項(xiàng)相加，當(dāng)然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　　 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題 等差數(shù)列的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn均為n的函數(shù)，通常利用函數(shù)法或通項(xiàng)變號法解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題． [例2]　等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝S12，則當(dāng)n為何值時，Sn有最大值？ [解]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a1<0. 法一(函數(shù)法)： Sn＝na1＋d＝na1＋· ＝－a1(n2－17n)＝－a12＋a1， 因?yàn)閍1>0，n∈N*，所以當(dāng)n＝8或n＝9時，Sn有最大值． 法二(通項(xiàng)變

53、號法)： 設(shè)此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，則即解得即8≤n≤9， 又n∈N*，所以當(dāng)n＝8或n＝9時，Sn有最大值． [方法技巧] 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)通項(xiàng)變號法 ①a1>0，d<0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.　　 1.(2018·陜西咸陽模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝54，則a2＋a4＋a9＝(　　) A．9 B．15 C．1

54、8 D．36 解析：選C　由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，可得S9＝＝9a5＝54，a5＝6，則a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝18.故選C. 2.(2018·遼寧鞍山一中期末)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m等于(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 解析：選C　因?yàn)閍m－1＋am＋1－a＝0，所以am－1＋am＋1＝2am＝a，顯然am≠0，所以am＝2.又因?yàn)镾2m－1＝＝(2m－1)am＝38.所以將am＝2代入可得(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故選C. 3.(2018·成都模擬)已

55、知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，則使Sn取得最小值時n的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：選B　根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4＋a7＋a10＝3a7＝9，得a7＝3.S14－S3＝11a9＝77，解得a9＝7，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－11.當(dāng)n＝6時，an>0；當(dāng)n＝5時，an<0，所以使Sn取得最小值的n的值為5. 4.(2018·吉林長春外國語學(xué)校期末)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S13<0，S12>0，則在數(shù)列中絕對值最小的項(xiàng)為(　　) A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)

56、解析：選C　根據(jù)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn＝，因?yàn)樗杂傻?所以數(shù)列{an}中絕對值最小的項(xiàng)為第7項(xiàng)． 突破點(diǎn)(三)　等差數(shù)列的判定與證明　 等差數(shù)列的判定與證明 [典例]　(2018·湖北華中師大一附中期中)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝－15，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2， ∴數(shù)列是等差數(shù)列，其

57、公差為2，首項(xiàng)為2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15， 則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝n2－14n. 令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.5. ∴當(dāng)n≤7時，數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n. 當(dāng)n≥8時，數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98. ∴Tn＝ [方法技巧]　　等差數(shù)列的判定與證明方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對于數(shù)列{an}，an－an－1

58、(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中的證明問題 等差中項(xiàng)法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 前n項(xiàng)和公式法 驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 [提醒]　判斷時易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件． 1．(2016·浙江高考)如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn

59、＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．eqcay46是等差數(shù)列 解析：選A　由題意，過點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分別作直線B1Bn＋1的垂線(圖略)，高分別記為h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差數(shù)列，又Sn＝×|BnBn

60、＋1|×hn，|BnBn＋1|為定值，所以{Sn}是等差數(shù)列．故選A. 2．(2018·岳陽模擬)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求證：成等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0， 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2， 又＝＝2，故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－. 當(dāng)n＝1時，a1＝不適合上式． 故an＝ [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]　　　　　

61、 　　　　　　　　　 1．(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：選A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，則d＝－2，所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24. 2．(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．9

62、7 解析：選C　法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C. 法二：∵{an}是等差數(shù)列，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C. 3．(2013·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S10＝0，S15＝25，則nSn 的最小值為________． 解析：由已知解得a1＝－3

63、，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，因而檢驗(yàn)n＝6時，6S6＝－48，而n＝7時，7S7＝－49.∴nSn 的最小值為－49. 答案：－49 4．(2014·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． 解：(1)由題設(shè)，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)

64、，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． [課時達(dá)標(biāo)檢測] [小題對點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)] 對點(diǎn)練(一)　等差數(shù)列基本量的計(jì)算 1．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1

65、，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：選D　由題意知Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8. 2．在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為(　　) A．37 B．36 C．20 D．19 解析：選A　am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故選A. 3．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．n(3n－1) B．

66、 C．n(n＋1) D． 解析：選C　依題意得an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，故選C. 4．(2018·太原一模)在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，則a1＝(　　) A．－1 B．0 C. D． 解析：選B　由題知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，∴a2＝，a4＝.∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0. 對點(diǎn)練(二)　等差數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用 1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，則n的值為(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 解析：選D　因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21，故選D. 2．(2018·南陽質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時，n等于(　　) A．5 B．6 C．5或6