數(shù)學(xué) 第一章 集合 1.1 集合與集合的表示方法 1.1.1 集合的概念 新人教B版必修1

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1、1 1.1 1.1 1集合的概念集合的概念一二三一、集合的概念【問題思考】 1.你能具體說出你所在班級中頭腦比較聰明的同學(xué)名單嗎?你能具體說出你所在班級中所有女生的姓名名單嗎?提示:比較聰明的同學(xué)名單不能具體說出來,因為聰明與否是一個比較模糊的詞語;而所在班級中女生的姓名是具體明確的.2.你認為將要研究的“集合”是由什么構(gòu)成的呢?提示:今天我們研究的“集合”這一新概念,是必須由一些確定的對象構(gòu)成的.也就是說上述所說的聰明的同學(xué)是不能構(gòu)成集合的.因為聰明是沒有明確劃分標準的.四一二三3.填空.(1)集合:一般地,把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體,就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或

2、集).集合通常用 英語大寫字母A,B,C,來表示.(2)元素:構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).集合中的元素通常用英語小寫字母a,b,c,來表示.4.做一做:下列各組對象能構(gòu)成集合的有()2017年1月1日之前,在騰訊微博注冊的會員;不超過10的非負奇數(shù);立方接近零的正數(shù);高一年級視力比較好的同學(xué).A.1個 B.2個C.3個 D.4個答案:B四一二三四二、元素與集合的關(guān)系【問題思考】 1.設(shè)集合M表示“110之間的所有質(zhì)數(shù)”.請問3和8與集合M有何關(guān)系?提示:3是集合M中的元素,即3屬于集合M,記作3M;8不是集合M中的元素,即8不屬于集合M,記作8M.2.填寫下表:一二三四名師

3、點撥 一二三四3.做一做:集合M是由大于-2,且小于1的實數(shù)構(gòu)成的,則下列關(guān)系式正確的是()答案:D 一二三四三、集合的分類【問題思考】 1.方程x2+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解能構(gòu)成集合嗎?若能構(gòu)成集合,集合中元素個數(shù)為多少?提示:該方程的實數(shù)解能構(gòu)成一個集合,該集合中不含任何元素,因此集合中元素個數(shù)為0.2.填空.(1)有限集:含有有限個元素的集合.(2)無限集:含有無限個元素的集合.一般地,我們把不含任何元素的集合叫做空集.一二三四四、常用數(shù)集及其表示【問題思考】 1.若元素aQ,能否得出aR?提示:能.因為實數(shù)集包含有理數(shù)集和無理數(shù)集,故Q中的元素一定是R中的元素.2.填寫下表:3.做一做

4、:用符號“”或“”填空. 答案:(1)(2)(3)(4)(5) 思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯誤的打“”.(1)2016年北京大學(xué)招收的大學(xué)一年級新生可以構(gòu)成一個集合. ()(2)學(xué)習(xí)成績特別好的同學(xué)可以構(gòu)成一個集合. ()(3)方程x2-4x+4=0的解集中含有兩個元素. ()(4)方程x2+x+1=0的實數(shù)解構(gòu)成的集合為空集. ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三集合中元素的確定性集合中元素的確定性【例1】 判斷下列各組對象能否構(gòu)成一個集合:(1)2017年召開的第28屆世界大學(xué)生冬季運動會所有的男隊員;(2)方程x2-1=0的所有實根;(3)

5、 的近似值的全體;(4)大于0的所有整數(shù).解:(1)能,因為男隊員是確定的.(2)能,因為x2-1=0的所有實根為-1,1,滿足集合中元素的確定性.(3)不能,“近似值”無明確標準,故構(gòu)不成集合.(4)能,因為大于0的整數(shù)是確定的.探究一探究二探究三反思感悟集合中的元素是確定的,即對任何一個對象我們都能判斷它是或不是某個集合中的元素,并且兩者必居其一,因此它是判斷一組對象能否構(gòu)成集合的一個標準.若這組對象是明確的、具體的,則它們可以構(gòu)成一個集合;若是模棱兩可的,則不能構(gòu)成一個集合.探究一探究二探究三集合中元素的互異性集合中元素的互異性【例2】 若集合中的三個元素分別為2,x,x2-x,則元素x

6、應(yīng)滿足的條件是.解析:由元素的互異性可知x2,且x2-x2,且x2-xx,答案:x2,且x-1,且x0反思感悟集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入同一個集合時,只能寫一次,算作集合中的一個元素.探究一探究二探究三變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1若m,m,n,n,m2,n2構(gòu)成集合M,則M中的元素最多有()A.6個 B.5個 C.4個D.3個解析:由集合中的元素滿足互異性,知集合M中的元素最多為m,n,m2,n2,且4個元素互不相同.答案:C探究一探究二探究三元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系【例3】已知-3是由x-2,2x2+5x,12三個元素構(gòu)成的集合中的元素,求x

7、的值.分析:-3是集合的元素說明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分類討論求解.解:由題意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.當x-2=-3時,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三個元素分別為-3,-3,12,不滿足集合中元素的互異性;探究一探究二探究三反思感悟解決此類問題的通法是:根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標準,求得參數(shù)的值,然后將參數(shù)值代入檢驗是否滿足集合中元素的互異性.探究一探究二探究三變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2用符號“”和“”填空. 答案:(1)(2)(3) 1.下列對象不能構(gòu)成集合的是()A.所有的正數(shù) B.等于2的數(shù)C.接近0的數(shù)D.不等于0的偶數(shù)答案:C2.若a是R

8、中的元素,但不是Q中的元素,則a可以是 ()答案:D 3.用符號或填空. (3)設(shè)集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實數(shù)x構(gòu)成的集合,則3C,5C;(4)設(shè)集合D是滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(x,y)構(gòu)成的集合,則-1D,(-1,1)D.解析:(1)依次應(yīng)填,. (3)由于n是正整數(shù),所以n2+13.而當n=2時,n2+1=5,所以依次應(yīng)填,.(4)由于集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),而-1是數(shù),所以-1D.又(-1)2=1,所以依次應(yīng)填,.答案:(1)(2)(3)(4)4.下列對象構(gòu)成的集合是空集的是.(填序號)小于1的自然數(shù);2米高的人;方程x2-x+1=0的解集.解析:因為方程x2-x+1=0的判別式=1-40,所以方程無解,即解集為空集.而小于1的自然數(shù)為0,2米高的人也存在,所以都不是空集.答案:5.已知集合A中含有三個元素0,1,x,若x2A,求實數(shù)x的值.解:當x2=0時,得x=0,此時集合A中有兩個相同的元素,舍去.當x2=1時,得x=1.若x=1,此時集合A中有兩個相同的元素,舍去.若x=-1,此時集合A中有三個元素0,1,-1,符合題意.當x2=x時,得x=0或x=1,易知都不符合題意.綜上可知,符合題意的x的值為-1.