中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 教材同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第13講 二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用權(quán)威預(yù)測(cè)

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 教材同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第13講 二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用權(quán)威預(yù)測(cè) 如果一條拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b，c]稱為“拋物線系數(shù)”． (1)任意拋物線都有“拋物線三角形”是假(填“真”或“假”)命題； (2)若一條拋物線系數(shù)為[1,0，－2]，則其“拋物線三角形”的面積為2； (3)若一條拋物線系數(shù)為[－1,2b,0]，其“拋物線三角形”是個(gè)直角三角形，求該拋物線的解析式； (4)在(3)的前提下，該拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸交于O，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，使得△BPQ∽△OBA？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)∵拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有三種情況：沒交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，∴任意拋物線都有“拋物線三角形”是假命題． (2)∵一條拋物線系數(shù)為[1,0，－2]，∴a＝1，b＝0，c＝－2，即：拋物線的解析式為y＝x2－2， 令x＝0，則y＝－2，令y＝0，解得，x＝±，∴“拋物線三角形”的面積為×(＋)×2＝2. (3)依題意：y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點(diǎn)(0,0)和(2b,0)； 當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知它一定是等腰直角三角形， ∴頂點(diǎn)為(b，b2)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得b2＝×|2b|，解得b＝0(舍去)或b＝±1，∴y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x. (4)①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x時(shí)，∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OBA，∴△BPQ為等腰直角三角形， 設(shè)P(a，－a2＋2a)， ∴Q(a,0)，則|－a2＋2a|＝|2－a| 當(dāng)－a2＋2a＝2－a時(shí)，解得a＝1或a＝2(舍去)， ∴P(1,1)； 當(dāng)－a2＋2a＝－(2－a)時(shí)，解得a＝－1或a＝2(舍去)，∴P(－1，－3)． ②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x時(shí)， ∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OBA， ∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P(a，－a2－2a)， ∴Q(a,0)， 則|－a2－2a|＝|2＋a|，即|a(a＋2)|＝|a＋2|. ∵a＋2≠0，∴|a|＝1，∴a＝±1，∴P(1，－3)或(－1,1)． 綜上，存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)或(－1，－3)或(1，－3)或(－1,1)．