（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練：8+6分項練4 平面向量與數(shù)學文化 文

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1、（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學總復習 優(yōu)編增分練：8+6分項練4 平面向量與數(shù)學文化 文 1．(2018·貴陽模擬)如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　∵在△ABC中，BE是AC邊上的中線， ∴＝， ∵O是BE邊的中點， ∴＝(＋)， ∴＝＋， ∵＝a，＝b， ∴＝a＋b. 2．(2018·上饒模擬)設D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分點，且BC＝2，則·等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖， ||＝

2、||＝2，〈，〉＝60°， ∵D，E是邊BC的兩個三等分點， ∴·＝·＝· ＝||2＋·＋||2 ＝×4＋×2×2×＋×4＝. 3．(2018·昆明模擬)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止．分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數(shù)為(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 答案　D 解析　根據(jù)題意可得每個孩子所得棉花的斤數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}

3、，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差數(shù)列前n項和公式可得8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 由等差數(shù)列通項公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 4．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA＝1，則給出下列結(jié)論： ①·＝0；②·＝－； ③＋＝－ ；④|－|＝. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　正八邊形ABCDEFGH中，HD⊥BF， ∴·＝0，故①正確； ·＝1×1×cos＝－，故②正確； ＋＝ ＝－ ，故③正確； |－|

4、＝||＝|－|， 則||2＝1＋1－2×1×1×cos＝2＋， ∴||＝，故④錯誤． 綜上，正確的結(jié)論為①②③，故選B. 5．(2018·聊城模擬)在△ABC中，BC邊上的中線AD的長為2，點P是△ABC所在平面上的任意一點，則·＋·的最小值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，使得點D在原點處，點A在y軸上，則A(0,2)． 設點P的坐標為(x，y)， 則＝，＝(－x，－y)， 故·＋·＝·＝2·＝2 ＝2－2≥－2，當且僅當x＝0，y＝1時等號成立． 所以·＋·的最小值為－2. 6．(2018·石家

5、莊模擬)三國時期吳國的數(shù)學家創(chuàng)造了一副“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細證明，如圖所示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形(直角邊長之比為1∶)圍成的一個大正方形，中間部分是一個小正方形，如果在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自中間的小正方形部分的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ 答案　C 解析　由題意可知，設直角三角形的直角邊長分別為k，k(k>0)， 則大正方形的邊長為2k，小正方形的邊長為(－1)k， 所以大正方形的面積為4k2，小正方形的面積為(－1)2k2， 故所求概率為＝1－. 7．(2018·南平質(zhì)檢)我國古代著名的數(shù)學

6、著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算機》等10部算書，被稱為“算經(jīng)十書”．某校數(shù)學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代著名的數(shù)學著作產(chǎn)生濃厚的興趣．一天，他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；?。骸氨纫叶唷保腥さ氖?，他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是(　　) A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙

7、 C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁 答案　D 解析　由題意可列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲說 丁>乙 乙說 甲>丙 丙說 丙>丁 丁說 丙>乙 對于選項A，甲，丁說的都對，不符合只有一個人對；對于選項B，丙，丁說的都對，也不符合只有一個人對；對于選項C，乙說的對，但乙不是最少的，不符合；對于選項D，甲說的對，也正好是最少的，符合，選D. 8．(2018·河北省衡水中學模擬)已知＝＝2，點C在線段AB上，且的最小值為1，則(t∈R)的最小值為(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　∵

8、＝＝2， ∴點O在線段AB的垂直平分線上． ∵點C在線段AB上，且的最小值為1， ∴當C是AB的中點時最小，此時＝1， ∴此時與的夾角為60°， ∴，的夾角為120°. 又2＝2＋t22－2t· ＝4＋4t2－2t·2·2·cos 120° ＝4t2＋4t＋4 ＝42＋3≥3， 當且僅當t＝－時等號成立． ∴2的最小值為3， ∴的最小值為. 9．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，則a在a＋b方向上的投影為________． 答案　 解析　由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8， 可知|a|＝＝2， (a－2b)2＝a2＋4b2－4a

9、·b＝64， 則a·b＝－7， 所以a在a＋b方向上的投影為 ＝ ＝＝. 10．(2018·煙臺模擬)如果＝2，＝3，a·b＝4，則的值是________． 答案　2 解析　由＝2，＝3，a·b＝4， 得＝＝ ＝＝2. 11．(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是，|a|＝1，|b|＝，則向量a－2b與a的夾角為________． 答案　 解析　a·b＝cos ＝， a·(a－2b)＝a2－2a·b＝， |a－2b|＝ ＝＝＝1. 設向量a－2b與a的夾角為θ，cos θ＝＝， 又因為θ∈[0，π]， 所以θ＝. 12．(2018·寧德質(zhì)檢)我國南

10、北朝時期的數(shù)學家張丘建是世界數(shù)學史上解決不定方程的第一人，他在《張丘建算經(jīng)》中給出一個解不定方程的百雞問題，問題如下：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一．百錢買百雞，問雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為：設雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量分別為x，y，z，則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組的解．其解題過程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數(shù)m的值為________． 答案　4 解析　由 得y＝25－x，故x必為4的倍數(shù)， 當x＝4t時，y＝25－7t， 由y＝25－7t>0得，t的最大值為3， 故判斷框應填入的是t<4？， 即m＝4. 13．若非零向量a，b滿足|

11、b|＝|a|，若(a＋2b)⊥(3a－tb)，a與b的夾角等于，則實數(shù)t的值為________． 答案　 解析　由a與b的夾角等于可得 cos＝＝，故a·b＝|a|2. 由(a＋2b)⊥(3a－tb)可得 3a2－ta·b＋6a·b－2tb2＝0， 即3|a|2＋(6－t)|a|2－4t|a|2＝0， 又a為非零向量， 所以|a|2≠0，則有3＋6－t－4t＝0，解得t＝. 14．(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個點，且＋＝，則△ABC面積的最大值為________． 答案　1 解析　如圖所示，由＋＝知，四邊形ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D 四點共圓， ∴四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑， △ABC的面積S＝AB·AC≤·＝AD2， ∴當AD是圓的直徑時，△ABC的面積最大． ∴當AB＝AC 時， △ABC的面積取得最大值×4＝1.