（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能通過(guò)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.3.能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明． 知識(shí)點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 思考1　計(jì)算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°； (2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 由此你能得出什么結(jié)論？嘗試證明它． 答案　3個(gè)式子的值均為1.由此可猜想： 對(duì)于任意角α，有sin2α＋

2、cos2α＝1，下面用三角函數(shù)的定義證明： 設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，則由三角函數(shù)的定義，得sin α＝y(tǒng)，cos α＝x. ∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1. 思考2　由三角函數(shù)的定義知，tan α與sin α和cos α間具有怎樣的等量關(guān)系？ 答案　∵tan α＝(x≠0)，∴tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)． 梳理　(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ①平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. ②商數(shù)關(guān)系：tan α＝ . (2)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形 ①sin2α＋cos2α＝1的變形公式 sin2α＝1－cos2α；cos2α

3、＝1－sin2α. ②tan α＝的變形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝. 1．sin2α＋cos2β＝1.(　×　) 提示　在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1. 2．sin2＋cos2＝1.(　√　) 提示　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1. 3．對(duì)任意的角α，都有tan α＝成立．(　×　) 提示　當(dāng)α＝＋kπ，k∈Z時(shí)就不成立. 類型一　利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值 命題角度1　已知角α的某一三角函數(shù)值及α所在象限，求角α的其余三角函數(shù)值 例1　(1)若si

4、n α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系 答案　D 解析　∵sin α＝－，且α為第四象限角，∴cos α＝， ∴tan α＝＝－，故選D. (2)(2017·紹興柯橋區(qū)期末)已知－<α<0，sin α＋cos α＝，則tan α的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系 答案　B 解析　∵sin α＋cos α＝， 等號(hào)兩邊同時(shí)平方得1＋2sin αcos α＝， 即sin αcos α

5、＝－， ∴sin α，cos α是方程x2－x－＝0的兩根， 又∵－<α<0， ∴sin α＝－，cos α＝， ∴tan α＝＝－. 反思與感悟　(1)同角三角函數(shù)的關(guān)系揭示了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三個(gè)值之間，知道其中一個(gè)可以求其余兩個(gè)．解題時(shí)要注意角α的象限，從而判斷三角函數(shù)值的正負(fù)． (2)已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其它三角函數(shù)值的問(wèn)題，我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解，其關(guān)鍵在于運(yùn)用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析解決問(wèn)題的突破口． 跟蹤訓(xùn)練1　已

6、知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 命題角度2　已知角α的某一三角函數(shù)值，未給出α所在象限，求角α的其余三角函數(shù)值 例2　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　∵cos α＝－<0，且

7、cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． (1)當(dāng)α是第二象限角時(shí)，則 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. (2)當(dāng)α是第三象限角時(shí)，則 sin α＝－＝－，tan α＝. 反思與感悟　利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時(shí)，若沒(méi)有給出角α是第幾象限角，則應(yīng)分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能在的象限，再分類求解． 跟蹤訓(xùn)練2　已知cos α＝，求sin α，tan α的值． 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　∵cos α＝>0且cos α≠1， ∴α是第一或第四象限角． (1)當(dāng)α是第一象限角時(shí)，則 sin α＝＝＝

8、， tan α＝＝＝. (2)當(dāng)α是第四象限角時(shí)，則 sin α＝－＝－，tan α＝－. 類型二　齊次式求值問(wèn)題 例3　已知tan α＝2，求下列代數(shù)式的值． (1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　(1)原式＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 反思與感悟　(1)關(guān)于sin α，cos α的齊次式，可以通過(guò)分子、分母同除以cos α或cos2α轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α的式子后再求值． (2)假如代數(shù)式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進(jìn)行“1”的代換，由1＝sin2α＋co

9、s2α代換后，再同除以cos2α，構(gòu)造出關(guān)于tan α的代數(shù)式． 跟蹤訓(xùn)練3　已知＝2，計(jì)算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　由＝2，化簡(jiǎn)，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. (1)原式＝＝＝. (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 類型三　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明 例4　(1)化簡(jiǎn)：sin2αtan α＋＋2sin αcos α. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn) 解　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin

10、αcos α ＝ ＝＝. (2)求證：＝. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式證明 證明　∵右邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝左邊， ∴原等式成立． 反思與感悟　(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)技巧 ①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的． ②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的． ③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的． (2)證明三角恒等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是化異為同的過(guò)程，證明恒等式常用以下方法： ①證明一

11、邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)． ②證明左、右兩邊等于同一個(gè)式子(左、右歸一)． ③比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1(右邊≠0)． ④證明與已知等式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立． 跟蹤訓(xùn)練4　化簡(jiǎn)tan α ，其中α是第二象限角． 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn) 解　因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝＝·＝－1. 1．若sin α＝，且α是第二象限角，則tan α的值為(　　) A．－ B. C．± D．± 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三

12、角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系 答案　A 解析　∵α為第二象限角，sin α＝， ∴cos α＝－，tan α＝－. 2．已知sin α－cos α＝－，則sin αcos α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三角函數(shù)的平方關(guān)系 答案　C 解析　由題意得(sin α－cos α)2＝， 即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝， 又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－.故選C. 3．化簡(jiǎn) 的結(jié)果是(　　) A．cos B．sin C．－cos D．－si

13、n 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三角函數(shù)的平方關(guān)系 答案　C 解析　＝＝， ∵<<π，∴cos<0， ∴＝－cos， 即＝－cos，故選C. 4．(2018·牌頭中學(xué)月考)已知tan θ＝2，則等于(　　) A．－ B. C．－ D. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　B 5．求證：＝. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式證明 證明　方法一　(比較法——作差) ∵－＝ ＝＝0， ∴＝. 方法二　(比較法——作商) ∵＝＝ ＝＝＝1. ∴＝. 1．利用同角三角函數(shù)的

14、基本關(guān)系式，可以由一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求出這個(gè)角的其他三角函數(shù)值． 2．利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式可以進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，結(jié)果要求： (1)項(xiàng)數(shù)盡量少；(2)次數(shù)盡量低；(3)分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；(4)能求值的盡可能求值． 3．在三角函數(shù)的變換求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一個(gè)，可以利用方程思想，求出另外兩個(gè)的值． 4．在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的

15、方法． 5．在化簡(jiǎn)或恒等式證明時(shí)，注意方法的靈活運(yùn)用，常用技巧：(1)“1”的代換；(2)減少三角函數(shù)的個(gè)數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(如因式分解、整體思想等)；(4)對(duì)條件或結(jié)論的重新整理、變形，以便于應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系來(lái)求解. 一、選擇題 1．(2017·紹興期末)設(shè)θ∈，若sin θ＝，則cos θ等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　D 解析　∵θ∈，sin θ＝， 則cos θ＝＝＝. 2．等于(　　) A．sin B．cos C．－s

16、in D．－cos 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三角函數(shù)的平方關(guān)系 答案　A 解析　∵0<<，∴sin >0， ∴＝＝sin . 3．已知＝2，則sin θcos θ的值是(　　) A. B．± C. D．－ 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　C 解析　由題意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝. 4．函數(shù)y＝＋的值域是(　　) A．{0,2} B．{－2,0} C．{－2,0,2

17、} D．{－2,2} 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　C 解析　y＝＋. 當(dāng)x為第一象限角時(shí)，y＝2； 當(dāng)x為第三象限角時(shí)，y＝－2； 當(dāng)x為第二、四象限角時(shí)，y＝0. 5．(2017·四川成都樹(shù)德中學(xué)期中)已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，則sin θcos θ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 題點(diǎn)　同角三角函數(shù)的平方關(guān)系 答案　A 解析　由sin4θ＋cos4θ＝，得 (sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝， ∴sin2θcos2θ＝，

18、 ∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝. 6．若π<α<，則 ＋的化簡(jiǎn)結(jié)果為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)和證明 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式化簡(jiǎn) 答案　D 解析　原式＝ ＋ ＝＋＝， ∵π<α<，∴原式＝－. 7．已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　D 解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ ＝＝， 又tan θ＝2，故

19、原式＝＝. 二、填空題 8．已知cos α＝－，且tan α>0，則＝ . 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案?。? 解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角， 且sin α＝－， 故原式＝＝ ＝sin α(1＋sin α)＝×＝－. 9．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan α＝ . 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　3或－ 解析　因?yàn)閟in α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1， 聯(lián)立解得或 故tan α＝＝－或3.

20、 10．在△ABC中，sin A＝ ，則角A＝ . 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　 解析　由題意知cos A>0，即A為銳角． 將sin A＝ 兩邊平方得2sin2A＝3cos A. ∴2cos2A＋3cos A－2＝0， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)， ∴A＝. 11．若tan α＋＝3，則sin αcos α＝ ，tan2α＋＝ . 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　　7 解析　∵tan α＋＝3，∴＋＝3， 即＝3， ∴

21、sin αcos α＝， tan2α＋＝2－2tan α· ＝9－2＝7. 12．已知sin α－cos α＝－，則tan α＋＝ . 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　tan α＋＝＋ ＝＝. ∵sin α－cos α＝－，∴1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－，∴＝－8， ∴tan α＋＝－8. 三、解答題 13．已知＝，求下列各式的值． (1)； (2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ. 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　由已知＝，

22、∴＝，解得tan θ＝2. (1)原式＝＝＝1. (2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ ＝ ＝＝－. 四、探究與拓展 14．若sin α＋cos α＝1，則sinnα＋cosnα(n∈Z)的值為 ． 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 答案　1 解析　∵sin α＋cos α＝1， ∴(sin α＋cos α)2＝1， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0. 當(dāng)sin α＝0時(shí)，cos α＝1， 此時(shí)有sinnα＋cosnα＝1； 當(dāng)co

23、s α＝0時(shí)，sin α＝1， 也有sinnα＋cosnα＝1， ∴sinnα＋cosnα＝1. 15．已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的兩根為sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值； (2)＋的值； (3)方程的兩根及此時(shí)θ的值． 考點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 題點(diǎn)　運(yùn)用基本關(guān)系式求三角函數(shù)值 解　(1)由根與系數(shù)的關(guān)系可知， sin θ＋cos θ＝，① sin θ·cos θ＝m.② 將①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝， 所以sin θ·cos θ＝， 代入②得m＝. (2)＋＝＋ ＝＝sin θ＋cos θ＝. (3)由(1)得m＝，所以原方程化為2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以或 又因?yàn)棣取?0，π)，所以θ＝或.