（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點3 平面向量教學(xué)案

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1、 突破點3　平面向量 (對應(yīng)學(xué)生用書第14頁) [核心知識提煉] 提煉1 平面向量共線、垂直的兩個充要條件 　 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 提煉2 數(shù)量積常見的三種應(yīng)用 　 已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)證明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的長度：|a|＝＝. (3)求向量的夾角：cos〈a，b〉＝＝. 提煉3平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論 　

2、(1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. (2)C是線段AB中點的充要條件是＝(＋)． (3)G是△ABC的重心的充要條件為＋＋＝0，若△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)為，. (4)·＝·＝·?P為△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ＝， 向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ＝. [高考真題回訪] 回訪1　平面向量的線性

3、運算 1．(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 4　2　[設(shè)a，b的夾角為θ. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令y＝＋， 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]．] 2．(2014·浙江高考)記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則(　　) A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a

4、|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 D　[由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大 小有關(guān)，故A，B錯．當(dāng)a，b夾角為銳角時，|a＋b|>|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.] 3．(2014·浙江高考)設(shè)θ為兩個非零向量

5、a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1.(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334048】 A．若θ確定，則|a|唯一確定 B．若θ確定，則|b|唯一確定 C．若|a|確定，則θ唯一確定 D．若|b|確定，則θ唯一確定 B　[|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2. 因為|b＋ta|min＝1， 所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1. 所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sin θ＝1，即|b|＝. 即θ確定，|b|唯一確定．] 回訪2　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 4．(2013·浙

6、江高考)設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P, 恒有·≥·，則(　　) A．∠ABC＝90°　 B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC D　[A項，若∠ABC＝90°，如圖，則·＝||·||cos∠BPC＝||2，·＝||2.當(dāng)點P落在點P0的右側(cè)時，||2＜||2，即·＜·，不符合； B項，若∠BAC＝90°，如圖，則·＝||·||cos∠BPC＝－||·||，·＝－||||＝－3. 當(dāng)P為AB的中點時，·＝－4， ·＜·，不符合； C項，若AB＝AC，假設(shè)∠BAC＝120°，如圖，則AC′＝2，·＝||

7、·||cos∠BPC＝－||||，·＝||||cos∠BP0C＝－||||＝－5.當(dāng)P落在A點時，－||||＝－8，所以·＜·，不符合．故選D.] 5．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e為平面單位向量，則|a·e|＋|b·e|的最大值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：68334049】 　[∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1， ∴cos〈a，b〉＝， ∴〈a，b〉＝60°. 以a的起點為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系， 則a＝(1,0)，b＝(1，)． 設(shè)e＝(cos θ，sin

8、 θ)， 則|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ| ≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ| ＝2|cos θ|＋|sin θ| ≤ ＝.] 6．(2015·浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________. 　[∵e1·e2＝， ∴|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°. 又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.] 7．(

9、2013·浙江高考)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________． 2　[根據(jù)題意，得 2＝＝＝＝ ＝＝. 因為2＋≥，所以0＜2≤4，所以0＜≤2.故的最大值為2.] (對應(yīng)學(xué)生用書第15頁) 熱點題型1　平面向量的運算 題型分析：該熱點是高考的必考點之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等. 【例1】　(1)(2017·杭州第二次調(diào)研)在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝2.

10、若＝＋，則|＋t|(t∈R)的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：68334050】 A.　 B．[，＋∞) C. D．[1，＋∞) (2)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B. C. D. (1)A　(2)B　[(1)以A為坐標(biāo)原點，AB，AD分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0,1)，B(2,0)，C(1,1)，設(shè)P(x，y)，由＝＋得(x，y)＝(0，1)＋(2,0)，x＝，y＝，所以P， ∴＝，＝(－1,1)，即|＋t|＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時等號

11、成立，故選A. (2)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故選B.] [方法指津] 1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運算來實現(xiàn)． 2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 提醒：運算兩平面向量的數(shù)量積時，務(wù)必要注意兩向量的方向． [

12、變式訓(xùn)練1]　(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，則c·(a＋b)＝(　　) A．(2,12)　　 B．(－2,12) C．14 D．10 (2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：68334051】 (1)C　(2)－2　[(1)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1， ∴c＝(1,4)． 而a＋b＝(2,3)，∴c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故選C. (2)

13、∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則解得＝－2.] 熱點題型2　三角與向量的綜合問題 題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件. 【例2】　(名師押題)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1)當(dāng)a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求y＝f(x)＋4cos 的取值范圍． [解]　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin

14、x＝0， 2分 ∴tan x＝－， 4分 ∴cos2x－sin 2x＝＝＝. 6分 (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin ＋， 8分 由正弦定理得＝， 可得sin A＝. 9分 ∵b＞a，∴A＝， 10分 y＝f(x)＋4cos＝sin－. 13分 ∵x∈，∴2x＋∈， ∴－1≤y≤－， 即y的取值范圍是. 15分 [方法指津] 平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)形式，多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結(jié)合，計算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關(guān)鍵點． [變式訓(xùn)練2]　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． [解]　(1)若m⊥n，則m·n＝0. 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin x－cos x＝0， 4分 ∴tan x＝1. 6分 (2)∵m與n的夾角為，∴m·n＝|m|·|n|cos ，即sin x－cos x＝，8分 ∴sin ＝. 12分 又∵x∈，∴x－∈， ∴x－＝，即x＝. 15分 8