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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題八 附加題 第3講 矩陣與變換、坐標系與參數(shù)方程學案
[考情考向分析] 1.考查常見的平面變換與矩陣的乘法運算,二階矩陣的逆矩陣及其求法,矩陣的特征值與特征向量的求法,屬B級要求.2.考查直線、曲線的極坐標方程、參數(shù)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標與直角坐標的互化,屬B級要求.
熱點一 二階矩陣與平面變換
例1 已知矩陣A=所對應的變換T把曲線C變成曲線C1:+=1,求曲線C的方程.
解 設曲線C上任一點為(x,y),
經(jīng)過變換T變成(x0,y0),
則?=,即x0=x,y0=y(tǒng).
由+=1,得曲線C的方程為x2+4y2=4.
2、思維升華 解決這類問題一般是設變換T:→,求出原曲線在T的變換下得到的曲線,再根據(jù)條件求相應的系數(shù)值.
跟蹤演練1 已知曲線C1:x2+y2=1,對它先作矩陣A=對應的變換,再作矩陣B=對應的變換,得到曲線C2:+y2=1,求實數(shù)b的值.
解 從曲線C1變到曲線C2的變換對應的矩陣為BA=?=.在曲線C1上任意選一點P(x0,y0),設它在矩陣BA對應的變換作用下變?yōu)?
P′(x′,y′),
則有 =,即=.
故
解得
代入曲線C1方程得,y′2+2=1.
即曲線C2方程為2x2+y2=1.
與已知的曲線C2的方程+y2=1比較得(2b)2=4.
所以b=±1.
熱點二 二
3、階矩陣的逆矩陣及其求法
例2 已知點P(3,1)在矩陣A=變換下得到點P′(5,-1).試求矩陣A和它的逆矩陣A-1.
解 依題意得 ==,
所以解得所以A=.
因為det(A)==1×(-1)-0×2=-1,
所以A-1=.
思維升華 由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組,常用于求二階矩陣,要注意變換的前后順序.
跟蹤演練2 二階矩陣M對應的變換TM將曲線x2+x-y+1=0變?yōu)榍€2y2-x+2=0,求M-1.
解 設曲線2y2-x+2=0上一點P(x,y)在M-1對應變化下變成P(x′,y′),
設M-1=,所以代入x2+x-y+1=0得,方程(ax+by)2+(
4、ax+by)-(cx+dy)+1=0,
即b2y2+(a-c)x+(b-d)y+2abxy+a2x2+1=0,與方程y2-+1=0比較得,a=0,b=1,c=,d=1或a=0,
b=-1,c=,d=-1.
所以M-1=或M-1=.
熱點三 特征值與特征向量
例3 已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量e1=,并且矩陣M對應的變換將點(-1,2)變換成(-2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個特征值.
解 (1)設M=,M=8=,
M==,
則
解得即M=.
(2)令特征多項式f(λ)=
=(λ-6)(λ-4)-8=0,
解得λ1=8,λ2=2
5、.
故矩陣M的另一個特征值為2.
思維升華 求矩陣M=就是要求待定的字母,利用條件建立方程組,確立待定的字母的值,從而求出矩陣,待定系數(shù)法是求這類問題的通用方法.
跟蹤演練3 已知矩陣A的逆矩陣A-1=.
(1)求矩陣A;
(2)求矩陣A-1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.
解 (1)因為矩陣A是矩陣A-1的逆矩陣,
且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,
所以A==.
(2)矩陣A-1的特征多項式為f(λ)=
=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),
令f(λ)=0,得矩陣A-1的特征值為λ1=1,λ2=3,
所以ξ1=是矩陣A-1的屬于特征值λ1=1的一個
6、特征向量,
ξ2=是矩陣A-1的屬于特征值λ2=3的一個特征向量.
熱點四 曲線的極坐標方程
例4 (2018·江蘇沖刺預測)已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ= .
(1)求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程;
(2)射線OP:θ=α與C2交于P點,射線OQ:θ=α+與C2交于Q點,求+的值.
解 (1)因為曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),
所以曲線C1的直角坐標方程為x-2y-2=0,
所以曲線C1的極坐標方程為ρcos θ-2ρsin θ-2=0,
因為ρ=,所以ρ2(2+sin2θ)
7、=6,
所以曲線C2的直角坐標方程為2x2+3y2=6.
(2)依題意得,點P的極坐標滿足
所以OP=,=,
點Q的極坐標滿足
所以OQ=,=,
所以+=+=.
思維升華 解決這類問題一般有兩種思路:一是將極坐標方程化為直角坐標方程,求出交點的直角坐標,再將其化為極坐標;二是將曲線的極坐標方程聯(lián)立,根據(jù)限制條件求出極坐標.要注意題目所給的限制條件及隱含條件.
跟蹤演練4 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ.
(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;
(
8、2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.
解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2(a>0),C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.
將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組
若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
9、
當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上.
所以a=1.
熱點五 參數(shù)方程
例5 在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2sin θ.
(1)求圓C的直角坐標方程;
(2)設圓C與直線l交于點A,B.若點P的坐標為(3,),求PA+PB.
解 方法一 (1)由ρ=2sin θ,得x2+y2-2y=0,
即x2+(y-)2=5.
(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,
得2+2=5,即t2-3t+4=0.
由于Δ=(-3)2-4×4=2>0
10、,故可設t1,t2是上述方程的兩實根,所以又直線l過點P(3,),
故由上式及t的幾何意義,
得PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
方法二 (1)同方法一.
(2)因為圓C的圓心為(0,),半徑r=,直線l的普通方程為y=-x+3+.
由
得x2-3x+2=0.
解得或
不妨設A(1,2+),B(2,1+),
又點P的坐標為(3,).故PA+PB=+=3.
思維升華 過定點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù)),t的幾何意義是數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應的參數(shù)分別為t1,t
11、2,則P1P2=|t1-t2|,P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1+t2).
跟蹤演練5 在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長.
解 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))
代入拋物線方程y2=4x,得2=4,
解得t1=0,t2=-8.
所以AB=|t1-t2|=8.
1.(2018·江蘇)已知矩陣A=.
(1)求A的逆矩陣A-1;
(2)若點P在矩陣A對應的變換作用下得到點P′(3,1),求點P的坐標.
解 (1)因為A=,又det(A)=2×2-1×3=1≠0,
所以A可逆,從而A-1=.
12、(2)設P(x,y),則 =,
所以=A-1=,
因此,點P的坐標為(3,-1).
2.(2018·江蘇)在極坐標系中,直線l的方程為ρsin=2,曲線C的方程為ρ=4cos θ,求直線l被曲線C截得的弦長.
解 因為曲線C的極坐標方程為ρ=4cos θ,
所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓.
因為直線l的極坐標方程為ρsin=2,
則直線l過點A(4,0),且傾斜角為,
所以A為直線l與圓C的一個交點.
設另一個交點為B,則∠OAB=.
如圖,連結(jié)OB.
因為OA為直徑,從而∠OBA=,
所以AB=4cos =2.
因此,直線l被曲線C截得的弦長為2.
13、
3.(2017·江蘇)已知矩陣A=,B=.
(1)求AB;
(2)若曲線C1:+=1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程.
解 (1)因為A=,B=,
AB= =.
(2)設Q(x0,y0)為曲線C1上任意一點,它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)辄cP(x,y),
則 =,
即所以
因為點Q(x0,y0)在曲線C1上,所以+=1,
從而+=1,即x2+y2=8.
因此曲線C1在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線
C2:x2+y2=8.
1.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知矩陣M=的一個特征值為3,求M-1.
解 由=0,
得(λ-2)(λ-x)
14、-4=0的一個解為3,代入得x=-1,
因為M=,
所以M-1=.
2.已知矩陣A=,B=,向量α=,
x,y為實數(shù).若Aα=Bα,求x+y的值.
解 由已知,得Aα= =,
Bα= =.
因為Aα=Bα,所以=.
故解得
所以x+y=.
3.(2015·江蘇)已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個特征向量,求矩陣A以及它的另一個特征值.
解 由已知,得Aα=-2α,
即 ==,
則即所以矩陣A=.
從而矩陣A的特征多項式f(λ)=(λ+2)(λ-1),
所以矩陣A的另一個特征值為1.
4.在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),
15、直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l的距離的最大值為,求a.
解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1.
當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.
由解得或
從而C與l的交點坐標為(3,0),.
(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,
故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為
d=.
當a≥-4時,d的最大值為 .
由題設得=,所以a=8;
當a<-4時,d的最大值為.
由題設得=,所以a=-16.
綜上,a=8或a=-16.
5.已知圓C的極坐標方程為ρ2+2ρsin-4=0,求
16、圓C的半徑.
解 以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標系xOy.
圓C的極坐標方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.
則圓C的直角坐標方程為x2+y2-2x+2y-4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為.
6.(2016·江蘇)已知矩陣A=,矩陣B的逆矩陣B-1=,求矩陣AB.
解 B=(B-1)-1==.
∴AB= =.
7.(2016·江蘇)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線
17、段AB的長.
解 直線l的方程化為普通方程為x-y-=0,
橢圓C的方程化為普通方程為x2+=1,
聯(lián)立方程組得
解得或
∴取A(1,0),B.
故AB= =.
8.(2018·揚州模擬)在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù),m是常數(shù)).以O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=6cos θ.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于P,Q兩點,且PQ=2,求實數(shù)m的值.
解 (1)因為直線l的參數(shù)方程是 (t是參數(shù)),
所以直線l的普通方程為x-y-m=0.
因為曲線C的極坐標方程為ρ=6cos θ,故ρ2=6ρcos θ,
所以x2+y2=6x,
所以曲線C的直角坐標方程是(x-3)2+y2=9.
(2)曲線C表示以C(3,0)為圓心,3為半徑的圓,設圓心到直線l的距離為d,
則d==2,
又d==2,
所以|3-m|=4,即 m=-1或m=7.