概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案 徐雅靜版

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案 徐雅靜版 第1章 SAS基礎(chǔ) 習題答案 第1章 三、解答題 1．設(shè)P(AB) = 0，則下列說法哪些是正確的？

2、 (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正確. 2．設(shè)A，B是兩事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，問： (1) 在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因為， 又因為即 所以 (1) 當時P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.

3、 (2) 時P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B滿足，記P(A) = p，試求P(B)． 解：因為， 即， 所以 4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，試求． 解：因為P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因為P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，. 5． 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總?cè)?/p>

4、法有種，以下求至少有兩只配成一雙的取法： 法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù) 法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù) 法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù) 法四：先滿足有1雙配對再除去重復部分：- 法五：考慮對立事件：- 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù) 法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù) 所求概率為 6．在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任取3人記錄其紀念章的號碼．求： (1) 求最小號碼為5的概率；

5、 (2) 求最大號碼為5的概率． 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7．將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率． 解：設(shè)M1, M2, M3表示杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的事件，則 , , 8．設(shè)5個產(chǎn)品中有3個合格品，2個不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設(shè)M2, M1, M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則 ,,

6、 9．口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率． 解：設(shè)M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則. 所以 10． 若在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率． 解：這是一個幾何概型問題．以x和y表示任取兩個數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 任取兩個數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間W = {(x，y)：0 ￡ x，y ￡ 1} 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5”= {(x，y) ? W ： x + y ￡ 6/5} 因此 ．

7、 圖？ 11．隨機地向半圓（為常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率． 解：這是一個幾何概型問題．以x和y表示隨機地向半圓內(nèi)擲一點的坐標，q表示原點和該點的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 隨機地向半圓內(nèi)擲一點的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間 W={(x，y)：} 事件A =“原點和該點的連線與軸的夾角小于” ={(x，y)：} 因此 ． 12．已知，求． 解：

8、13．設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應(yīng)理解為求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。 設(shè)A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”； ，， 14．有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少？已知上述從第2個箱子中取

9、出的球是白球，則從第1個箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設(shè)A=“從第1個箱子中取出的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中取出的1個球是白球”，則，由全概率公式得 由貝葉斯公式得 15．將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設(shè)M=“原發(fā)信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知 所以 由貝葉斯公式得 16．三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概

10、率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設(shè)Ai=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3. 已知所以 至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17．設(shè)事件A與B相互獨立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求. 解：由于A與B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且 P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B) 將P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以 或者,由于A與B相互獨立,所以A與相互獨立，所以

11、 18．甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概率是多少？ 解：設(shè)A=“甲射擊目標”，B=“乙射擊目標”，M=“命中目標”， 已知P(A)=P(B)=1,所以 由于甲乙兩人是獨立射擊目標，所以 19．某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為0.3，0.2，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是0.3時，

12、情況又如何？ 解：設(shè)Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2. （1）根據(jù)題意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一種工藝加工得到合格品的概率為 P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= 第二種工藝加工得到合格品的概率為 P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。 （2）根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二種工藝加

13、工得到合格品的概率為 P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。 1．設(shè)兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件ABC = ?，且已知，求P(A)． 解：因為ABC = ?，所以P(ABC) =0, 因為A，B，C兩兩相互獨立，所以 由加法公式得 即 考慮到得 2．設(shè)事件A，B，C的概率都是，且，證明： ． 證明：因為，所以 將代入上式得到 整理得 3．設(shè)0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +，試證A與B獨立． 證明：

14、因為P(A|B) +，所以 將代入上式得 兩邊同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到 所以A與B獨立. 4．設(shè)A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨立的充分必要條件． 證明：充分性，由于，所以即 兩邊同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到所以A與B獨立. 必要性：由于A與B獨立，即且所以 一方面 另一方面 所以 5．一學生接連參加同一課程的兩次考試．第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為. (1) 若至少有一次及格

15、則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：設(shè)Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知 由全概率公式得 (1) 他取得該資格的概率為 (2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為 6．每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收．由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%．求檢驗一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率． 解：設(shè)Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品”，i=0，1，2.設(shè)M=

16、“一件產(chǎn)品為正品”，N=“一件產(chǎn)品被檢驗為正品”. 已知 由全概率公式 又 由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率為 7．用一種檢驗法檢驗產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下．若真含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為含有的概率為0.8；若真含不有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為不含有的概率為0.9；據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4和0.6．今獨立地對一產(chǎn)品進行三次檢驗，結(jié)果是兩次檢驗認為含有雜質(zhì)，而有一次認為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率． 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”，Bi=“對一產(chǎn)品進行第i次檢驗認為含有雜質(zhì)”，i=1,2,3. 已知獨立進行的三次

17、檢驗中兩次認為含有雜質(zhì)，一次認為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗認為含有雜質(zhì)，第三次認為檢驗不含有雜質(zhì)，即B1，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生. 又知所以 所求概率為 由于三次檢驗是獨立進行的，所以 8．火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于0.3和0.35.我們規(guī)定只要命中就被擊毀．試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設(shè)Ai=“第i次射擊目標被擊毀”，i=1,2,3,4. 已知所以

18、 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9．甲、乙、丙三人進行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率． 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,….， 已知，由于各局比賽具有獨立性，所以 在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝的概率為 同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝的概率也為 丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的

19、概率均為 第二章 2 一、填空題： 1. ， 2. ，k = 0，1，…，n 3. 為參數(shù)，k = 0，1，… 4. 5. 6. 7. 8. 9. X -1 1 2 pi 0.4 0.4 0.2 分析：由題意，該隨機變量為離散型隨機變量，根據(jù)離散型隨機變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機變量的取值及概率。 10. 分析：每次觀察下基本結(jié)果“X≤1/2”出現(xiàn)的概率為，而本題對隨機變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實驗，所以 11. , 同理，P{| X | ￡ 3.5} =0.8822. 12. . 13. ，利用全

20、概率公式來求解： 二、單項選擇題： 1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對稱，容易推導 F(-a)= 2. B，只有B的結(jié)果滿足 3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗證 4. D，，可以看出不超過2，所以 ， 可以看出，分布函數(shù)只有一個間斷點. 5. C, 事件的概率可看作為事件A（前三次獨立重復射擊命中一次）與事件B（第四次命中）同時發(fā)生的概率，即 . 三、解答題 （A） 1．(1) X 1 2 3 4 5 6 pi 分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共36種，如果X=1，

21、則表明兩次中至少有一點數(shù)為1，其余一個1至6點均可，共有（這里指任選某次點數(shù)為1，6為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因為多算了一次）或種，故,其他結(jié)果類似可得. (2) 2． X -1 99 pi 注意，這里X指的是贏錢數(shù)，X取0-1或100-1，顯然. 3．，所以. 4．(1) ， (2) 、 、 ； 5．(1) ， (2) ， (3) . 6．(1) . (2) . 7．解：設(shè)射擊的次數(shù)為X，由題意知 ，其中8=400×0.02. 8．解：設(shè)X為事件A在5次獨立重復實驗中

22、出現(xiàn)的次數(shù)， 則指示燈發(fā)出信號的概率 ； 9. 解：因為X服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，則，， 則 10. (1)、由歸一性知：，所以. (2)、. 11. 解 （1）由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，即A=1. （2）. （3）X的概率密度. 12. 解 因為X服從（0，5）上的均勻分布，所以 若方程有實根，則，即 ，所以有實根的概率為 13. 解: (1) 因為 所以

23、 (2) ，則，經(jīng)查表得 ，即，得；由概率密度關(guān)于x=3對稱也容易看出。 (3) ， 則，即，經(jīng)查表知， 故，即； 14. 解： 所以 ，；由對稱性更容易解出； 15. 解 則 上面結(jié)果與無關(guān)，即無論怎樣改變，都

24、不會改變； 16. 解：由X的分布律知 p x -2 -1 0 1 3 4 1 0 1 9 2 1 0 1 3 所以 Y的分布律是 Y 0 1 4 9 p Y 0 1 2 3 p Z的分布律為 17. 解 因為服從正態(tài)分布，所以， 則，， 當時，，則 當時， 所以Y的概率密度為； 18. 解，， ， 所以 19. 解：，則 當時，， 當時， ， 20. 解: (1) 因為 所

25、以 (2) ， 因為， 所以 （3） 當時，， 當時，， 所以 ， 因為， 所以 四．應(yīng)用題 1．解：設(shè)X為同時打電話的用戶數(shù)，由題意知 設(shè)至少要有k條電話線路才能使用戶再用電話時能接通的概率為0.99，則 ，其中 查表得k=5. 2．解：該問題可以看作為10重伯努利試驗，每次試驗下經(jīng)過5個小時后組件不能正常工作這一基本結(jié)果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個數(shù)，則 ， 5小時后系統(tǒng)不能正常工作，即，其概率為 3．解：因為，所以

26、 設(shè)Y表示三次測量中誤差絕對值不超過30米的次數(shù)，則， (1) . (2) . 4．解： 當時，是不可能事件，知， 當時，Y和X同分布,服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知， 當時，為必然事件,知， 因此，Y的分布函數(shù)為 ； 5．解：(1) 挑選成功的概率； (2) 設(shè)10隨機挑選成功的次數(shù)為X，則該， 設(shè)10隨機挑選成功三次的概率為： ， 以上概率為隨機挑選下的概率，遠遠小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。 （B） 1. 解：由概率密度可得分布函數(shù) ，即，易知

27、； 2. 解： X服從的均勻分布，，又 則， -1 1 P 所以Y的分布律為 3. 解：， ； 4. 證明：因是偶函數(shù)，故， 所以. 5. 解：隨機變量X的分布函數(shù)為 ，顯然， ， 當時，是不可能事件，知， 當時，， 當時，是必然事件，知， 即 。 6. （1） 當時，即時，， 當時，即y>1時，， 所以 ； （2）， 當時，為不可能事件，則， 當時，，則， 當時，，則， 根據(jù)得

28、 ； （3）， 當時，， 當時，， 所以 ； 7. (1) 證明：由題意知。 ， 當時，即， 當時，， 當時，， 故有，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布； （2） 當時，， 當時， ， 當時，， 由以上結(jié)果，易知，可以看出服從區(qū)間（0，1）均勻分布。 第三章 1解：(X,Y)取到的所有可能值為(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式： P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3′1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/

29、3 (X,Y)的分布律用表格表示如下： Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2 (1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= , i,j=0,1,2, i+j￡2 或者用表格表示如下： Y X 0 1 2 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2 3/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y￡1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/

30、4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8 由P(A|B)=得P(B)=1/4 (X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),則 P{X=0,Y=0}=)=P( (A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由歸一性知： 1=, 故A=4 (2)P{X=Y}=0 (3)P{X

31、 (4) F(x,y)= 即F(x,y)= 5.解：P{X+Y31}= 6 解：X的所有可能取值為0,1,2,Y的所有可能取值為0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 P{X=1,Y=1}=, P{X=1,Y=2}= P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下： Y X 0 1 2 3 Pi. 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.2

32、5 0 0.5 2 0 0 0.125 0.125 0.25 P.j 0.125 0.375 0.375 0.125 1 7. 解： 8. 解： (1) 所以 c=21/4 (2) 9 解： (X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，故f(x,y)的概率密度為 10 解： 當00時， 所以， 12 解：由得 13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表 pi 0.05 0.15 0.2 0.07 0

33、.11 0.22 0.04 0.07 0.09 (X,Y) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1) max(X,Y) 0 0 1 1 1 1 2 2 2 Min(X,Y) -1 0 0 -1 0 1 -1 0 1 Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為 Z 0 1 2 Pk 0.2 0.6 0.2 W -1 0 1 Pj 0.16 0.53 0.31 14 解：

34、 由獨立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為 則P{Z=1}=P{X￡Y}= P{Z=0}=1-P{Z=1}=0.5 故Z的分布律為 Z 0 1 Pk 0.5 0.5 15 解： 同理， 顯然，，所以X與Y不相互獨立. 16 解：(1) 利用卷積公式：求fZ(z) = (2) 利用卷積公式： 17 解：由定理3.1（p75）知，X+Y~N(1,2) 故 18解：(1) (x>0) 同理， y>0 顯然，，所以X與Y不相互獨立 (2).利用公式 19解：并聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=max{X,Y} 因X~E(a

35、),Y~E(b),故 串聯(lián)時，系統(tǒng)L的使用壽命Z=min{X,Y} (B)組 1 解：P{X=0}=a+0.4, P{X+Y=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=a+b P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由于{X=0|與{X+Y=1}相互獨立, 所以 P{X=0, X+Y=1}=P{X=0} P{X+Y=1} 即 a=(a+0.4)(a+b) (1) 再由歸一性知： 0.4+a+b+

36、0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a=0.4, b=0.1 2 解: (1) (2) 利用公式計算 3.解：(1) FY(y)=P{Y￡y}=P{X2￡y} 當y<0時，fY(y)=0 當y30時， 從而， (2) F(-1/2,4)=P{X￡-1/2,Y￡4}= P{X￡-1/2,X2￡4} =P{-2￡X￡-1/2}= 4.解：P{XY10}=1-P{XY=0}=0 即 P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0 由概率的非負性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=

37、1,Y=1}=0 由邊緣分布律的定義，P{X=-1}= P{X=-1,Y=0}+ P{X=-1,Y=1}=1/4 得P{X=-1,Y=0}=1/4 再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4 得P{X=1,Y=0}=1/4 再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1} 知P{X=0,Y=1}=1/2 最后由歸一性得：P{X=0,Y=0}=0 (X,Y)的分布律用表格表示如下： Y X 0 1 P{X=i} -1 1/4 0 1/4 0 0 1/

38、2 1/2 1 1/4 0 1/4 P{Y=j} 1/2 1/2 1 (2) 顯然，X和Y不相互獨立，因為P{X=-1,Y=0}1 P{X=-1}P{Y=0} 5 解：X與Y相互獨立，利用卷積公式計算 6.解：(X,Y)～Ｕ(G) 設(shè)F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù) F(s)=P{XY

39、=2} = P{X=1}P{1+Y￡u}+ P{X=2}P{2+Y￡u} =0.3′FY(u-1)+0.7′FY(u-2) 所以，fU(u) =0.3′fY(u-1)+0.7′fY(u-2) 8. 解：(1) (2) 如圖所示，當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z32時，F(xiàn)Z(z)=1 當0￡z<2時: 綜上所述， 所以Z的概率密度為： 9.解：(1) (2) (3) 10.解：(1)P{Z￡1/2|X=0}=P{X+Y￡1/2|X=0}=P{Y￡1/2}=1/2 (2) 由全概率公式： FZ(

40、z)=P{Z￡z}=P{X+Y￡z}=P{X=1}P{X+Y￡z|X=1} +P{X=0}P{X+Y￡z|X=0}=P{X=-1}P{X+Y￡z|X=-1} = P{X=1}P{1+Y￡z}+P{X=0}P{Y￡z}=P{X=-1}P{-1+Y￡z} =1/3′[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)] 從而，fZ(z) =1/3′[fY(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]= 11.解： 如圖，當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0; 當z31時，F(xiàn)Z(z)=1 當0￡z<1時: 綜上得：12 Z的概率密度為 12 解： 當z<0時，

41、FZ(z)=0; 當z30時， 所以，Z的概率密度為 第四章 4三、解答題 1. 設(shè)隨機變量的分布律為 X – 2 0 2 pi 0.4 0.3 0.3 求，，． 解：E (X ) = = +0+2= -0.2 E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.4 2. 同時擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點數(shù)和的數(shù)學期望． 解：記擲1顆骰子所擲出的點數(shù)為Xi，則Xi 的分布律為 記擲8顆骰子所擲出的點數(shù)為X ，同時擲8顆骰子，相當于作了

42、8次獨立重復的試驗， E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設(shè)每人借閱甲乙圖書的行為相互獨立，讀者之間的行為也是相互獨立的． (1) 某天恰有n個讀者，求借閱甲種圖書的人數(shù)的數(shù)學期望． (2) 某天恰有n個讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)的數(shù)學期望． 解：(1) 設(shè)借閱甲種圖書的人數(shù)為X ，則X~B(n, p1),所以E (X )= n p1 (2) 設(shè)甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)為Y , 則Y ~B(n, p), 記A ={借甲

43、種圖書}， B ={借乙種圖書}，則p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 ) 4. 將n個考生的的錄取通知書分別裝入n個信封，在每個信封上任意寫上一個考生的姓名、地址發(fā)出，用X表示n個考生中收到自己通知書的人數(shù)，求E(X)． 解：依題意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1. 5. 設(shè)，且，求E(X)． 解：由題意知X～P（），則X的分布律P =，k = 1,2,... 又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6. 6. 設(shè)隨機變量X的分布律為問X的數(shù)學期望是否存在？ 解：因為級數(shù)，

44、 而 發(fā)散，所以X的數(shù)學期望不存在. 7. 某城市一天的用電量X（十萬度計）是一個隨機變量，其概率密度為 求一天的平均耗電量． 解：E(X) ==6. 8. 設(shè)某種家電的壽命X（以年計）是一個隨機變量，其分布函數(shù)為 求這種家電的平均壽命E(X)． 解：由題意知，隨機變量X的概率密度為 當>5時， ，當￡5時，0. E(X) = 所以這種家電的平均壽命E(X)=10年. 9. 在制作某種食品時，面粉所占的比例X的概率密度為 求X的數(shù)學期望E(X)． 解：E(X) ==1/4 10. 設(shè)隨機變量X的概率密度如下，求E(X)．

45、 解：. 11. 設(shè)，求數(shù)學期望． 解：X的分布律為， k = 0，1，2，3，4， X取值為0，1，2，3，4時，相應(yīng)的取值為0，1，0，-1，0，所以 12. 設(shè)風速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，（k > 0，常數(shù)），求W的數(shù)學期望． 解：V的分布律為，所以 13. 設(shè)隨機變量(X, Y )的分布律為 Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 求E(X)，E(Y )，E(X – Y )． 解：E(X)=0×(3/28+

46、9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(X-Y) = E(X)- E(Y)=1/2-3/4= -1/4. 14. 設(shè)隨機變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY) 解：E(X)= 15. 某工廠完成某批產(chǎn)品生產(chǎn)的天數(shù)X是一個隨機變量，具有分布律 X 10 11 12 13 14

47、 pi 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利潤（以元計）為,求E(Y)，D(Y)． 解： E(Y) = E［1000(12-X)］ =1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400 E(Y2) = E［10002(12-X)2］ =10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106 D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6

48、×106- 4002=1.44×106 16. 設(shè)隨機變量X服從幾何分布 ，其分布律為 其中0 < p < 1是常數(shù)，求E(X)，D(X)． 解：令q=1- p ,則 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p2 17. 設(shè)隨機變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)． 解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 設(shè)隨機變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，，求，． 解：因為，所以 =-1/6×3×2=-1, 19. 在題13中求Cov(X，Y)，rXY． 解

49、：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E(X2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) -［E(X)］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y

50、2)- ［E(Y)］2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY)- E(X) E(Y) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=-9/56 ? ()= -/5 20. 在題14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)． 解：, 21. 設(shè)二維隨機變量(X, Y )的概率密度為 試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的． 解： ， 所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相關(guān). 當x2 + y2≤1時，f

51、( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互獨立的 22. 設(shè)隨機變量(X, Y )的概率密度為 驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的． 解：由于f ( x,y)的非零區(qū)域為D: 0 < x < 1, | y |< 2x , , ,所以Cov(X，Y)=0，從而 ，因此X與Y不相關(guān) . 所以，當0

52、數(shù)的指數(shù)分布，問若要獲利的數(shù)學期望最大，應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？（設(shè)m,n,均為已知）. 解：設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，獲利Q為銷售量Y的函數(shù) y 0< y

53、 x 2. 設(shè)賣報人每日的潛在賣報數(shù)為X服從參數(shù)為的泊松分布，如果每日賣出一份報可獲報酬m元，賣不掉而退回則每日賠償n元，若每日賣報人買進r份報，求其期望所得及最佳賣報數(shù)。 解： 設(shè)真正賣報數(shù)為Y ,則 ，Y的分布為 設(shè)賣報所得為Z ,則Z 與Y 的關(guān)系為 當給定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))達到最大. (B)組題 1. 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱

54、后，求： (1) 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學期望； (2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率． 解：(1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布律為 ， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 pi 因此 (2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，，，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = = 2.

55、隨機變量X的概率密度為，對X獨立重復觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y 2的數(shù)學期望 解：依題意，Y~B(4, p), p=P{X >}= 所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y2) = D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5 3. 設(shè)隨機變量U在區(qū)間(-2，2)上服從均勻分布，隨機變量 試求：(1)和的聯(lián)合分布律；(2)． 解：(1) P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=， P{X =-1, Y =1}= P{U ≤-1且U >1}= 0， P{X =1, Y =-1}= P{-1

56、 -1且U >1}= P{U > 1}=， 所以和的聯(lián)合分布律為 X Y -1 1 -1 1/4 1/2 1 0 1/4 (2) 和的邊緣分布律分別為 X – 1 1 pi 1/4 3/4 Y – 1 1 pi 3/4 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/

57、4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2 4. 設(shè)隨機變量X的期望E(X)與方差存在，且有，，證明． 證明：首先證明E（Y）存在 (1) 若隨機變量X為離散型隨機變量，分布律為： 則由E(X)存在知，絕對收斂，且 記,則絕對收斂， 所以E（Y）存在，, (2) 若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x),則： 5. 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為，且E(X)，E(X 2)，D(X)都存在，試證明：函數(shù)在時取得最小值，且最小值為D(X)． 證明：令， 則， ，所以， 又，所以時，取得最小值，

58、此時 6. 隨機變量X與Y獨立同分布，且X的分布律為 X 1 2 pi 2/3 1/3 記， (1) 求(U，V)的分布律； (2) 求U與V的協(xié)方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 Y X 1 2 1 4/9 2/9 2 2/9 1/9 (X ,Y) （1，1） （1，2） （2，1） （2，2） pij 4/9 2/9 2/9 1/9 U 1 2 2 2 V 1 1 1 2 V U 1 2 1 4/9 0 2 4/9 1/9

59、 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 隨機變量X的概率密度為 令為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，求Cov(X，Y)． 解： 8. 對于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1， 稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù)． (1) 證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零． (2) 利用隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明．

60、 證明: (1) , 即 (2) 考慮隨機變量X和Y X服從0-1分布: X 0 1 pi 1-P(A) P(A) Y服從0-1分布: X 0 1 pi 1-P(B) P(B) 可見, 隨機變量Ｘ和Ｙ的相關(guān)系數(shù) 由兩隨機變量的相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)有 第五章 5三、解答題 1. 設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布，且X～P(l)，，試利用契比謝夫不等式估計的下界。 解：因為X～P(l)， 由契比謝夫不等式可得 2. 設(shè)E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y)

61、= 9，r XY = – 0.5，試根據(jù)契比謝夫不等式估計P{|X + Y | 3 3}的上界。 解：由題知 ==0 Cov=== -1.5 所以 3. 據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布．現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的．求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率． 解：設(shè)i個元件壽命為Xi小時，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， 則X1 ，X2 ，... ，X16獨立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ， ， 由獨立同分布的中心極限定理可知：

62、近似服從N ( 1600 , 1.610000)，所以 = =1- 0.7881= 0.2119 4. 某商店負責供應(yīng)某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時間內(nèi)每人需要用一件的概率為0.6，假定在這一時間段各人購買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預備多少件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷（假定該商品在某一時間段內(nèi)每人最多可以買一件）． 解：設(shè)商店應(yīng)預備n件這種商品，這一時間段內(nèi)同時間購買此商品的人數(shù)為X ， 則X ~ B（1000，0.6），則E(X) = 600，D (X ) = 240， 根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 則P{X ≤n }

63、所以，取n=643。 即商店應(yīng)預備643件這種商品，才能以99.7%的概率保證不會脫銷。 5. 某種難度很大的手術(shù)成功率為0.9，先對100個病人進行這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P{84 < X < 95}． 解：依題意, X ~ B（100，0.9），則E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺替顧客服務(wù)的時間（以分鐘計）是相互獨立的隨機變量，均值為1.5，方差為1．求對100位顧客的總服務(wù)時間不多于2小時的概率． 解：設(shè)柜臺替第i位顧客服務(wù)的時間為X i ，i = 1,2,3.....100. 則X i ，i = 1,2,3....

64、.100獨立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以 即對100位顧客的服務(wù)時間不多于兩個小時的概率為0.0013. 7. 已知筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺，為了以99.7%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買該種配件多少件？ 解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，則X ~ B(n，0.8), 0.997=P{X310000}= ， 解得 n=12655 即此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買12655件改種配件才能滿足以99.7的把握保證出廠的電腦均能裝上合格

65、的配件。 8. 已知一本300頁的書中，每頁的印刷錯誤的個數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，試求整書中的印刷錯誤總數(shù)不多于70個的概率． 解：記每頁印刷錯誤個數(shù)為，i=1，2，3，…300， 則它們獨立同服從參數(shù)為0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以 9. 設(shè)車間有100臺機床，假定每臺機床是否開工是獨立的，每臺機器平均開工率為0.64，開工時需消耗電能a千瓦，問發(fā)電機只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)？ 解：設(shè)發(fā)電機只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率0.99保證車間正常生產(chǎn)， 記X為100臺機床中需開工的機床

66、數(shù)，則X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a2 ，所以 10. 某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元．若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給家屬1萬元．設(shè)老年人死亡率為0.017，試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率． 解：設(shè)當年內(nèi)投保老人的死亡數(shù)為X，則X ~ B (10000,0.017)。 保險公司在一年內(nèi)的保險虧本的概率為 所以保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率是0.01 四、應(yīng)用題 1. 某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費額（單位：元）服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費額是相互獨立的，求該餐廳的日營業(yè)額在其平均營業(yè)額760元內(nèi)的概率． 解：設(shè)每位顧客的消費額為Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，則 ， 由獨立同分布的中心極限定理 , 所以 2. 設(shè)某型號電子元件的壽命（單位：小時）服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時，具體使