四川省成都市高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線及方程 第7課時 拋物線及其標準方程同步測試 新人教A版選修1 -1

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1、四川省成都市高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線及方程 第7課時 拋物線及其標準方程同步測試 新人教A版選修1 -1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.拋物線x2=4y上一點A的縱坐標為4,則點A到拋物線焦點的距離為(　　). A.2　　　　 B.3　　　　 C.4　　　　 D.5 【解析】由拋物線方程,知拋物線準線為y=-1.由拋物線定義,知點A到焦點的距離等于到準線的距離,距離為5. 【答案】D 2.若拋物線y2=ax的焦點與雙曲線-=1的左焦點重合,則a的值為(　　). A.-6 B.12 C.-12　　　D.6 【解析】由雙曲線方程可知左焦點坐標為(-3,0), 所

2、以拋物線開口向左,且=3,所以p=6, 故拋物線方程為y2=-12x,所以a=-12. 【答案】C 3.已知曲線Γ:x2+=1,其中a是常數(shù),則下列結論正確的是(　　). A.?a>0,曲線Γ表示橢圓 B.?a<0,曲線Γ表示雙曲線 C.?a<0,曲線Γ表示橢圓 D.?a∈R,曲線Γ表示拋物線 【解析】當a=1時,曲線Γ:x2+y2=1表示單位圓,故A不正確; 當a<0時,曲線Γ表示焦點在x軸上的雙曲線,故B正確,C不正確; ?a∈R,x2+=1中不含一次項,不可能表示拋物線,故D不正確.故選B. 【答案】B 4.已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點A(0

3、,2)的距離與到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　). A. B.2 C. D. 【解析】如圖,由拋物線定義知|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,則所求距離之和的最小值轉化為求|PA|+|PF|的最小值,則當A,P,F三點共線時,|PA|+|PF|取得最小值. 又點A(0,2),F,所以(|PA|+|PF|)min=|AF|==. 【答案】A 5.對于拋物線y2=4x上任意一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是　　　　　.? 【解析】設點Q,由|PQ|≥|a|得+t2≥a2,t2(t2+16-8a)≥0,t2+16-8a≥0,故t2≥8a-16恒

4、成立,則8a-16≤0,a≤2,故a的取值范圍是(-∞,2]. 【答案】(-∞,2] 6.設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上的一點,PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為-,那么|PF|=　　　　.? 【解析】 如圖,∠AFE=60°, 因為點F(2,0),所以點E(-2,0),則=tan 60°,即|AE|=4, 所以點P的坐標為(6,4),故|PF|=|PA|=6+2=8. 【答案】8 7.如圖,一隧道內設雙行線公路,其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構成,為保證安全,要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.

5、 (1)以拋物線的頂點為原點O,其對稱軸所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系(如圖),求該拋物線的方程; (2)若行車道總寬度AB為7米,請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米?(精確到0.1米) 【解析】(1)如圖所示. 依題意,設該拋物線的方程為x2=-2py(p>0),因為點C(5,-5)在拋物線上,可解得p=,所以該拋物線的方程為x2=-5y. (2)設車輛高h米,則|DB|=h+0.5, 故D(3.5,h-6.5), 代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以車輛通過隧道的限制高度為4.0米. 拓展提升(水平二) 8.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1

6、D1中,P是側面BB1C1C內一動點,若P到直線BC與到直線C1D1的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是(　　). A.直線 B.圓　 C.雙曲線 D.拋物線 【解析】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,C1D1⊥平面BB1C1C,連接PC1,則PC1⊥C1D1,所以P,C1兩點間的距離PC1即為P到直線C1D1的距離.所以在平面BB1C1C內,動點P到定點C1的距離等于到定直線BC的距離.由拋物線的定義,知點P的軌跡所在的曲線是以點C1為焦點,以直線BC為準線的拋物線. 【答案】D 9.已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點,點B為拋物線的焦點,P在拋物線上且滿足|PA|

7、=m|PB|,當m取最大值時,點P恰好在以A,B為焦點的雙曲線上,則該雙曲線的離心率為(　　). A. B. C.+1 D.-1 　　【解析】設點P(x,y),y≥0,則m2===1+≤1+=2,當且僅當y=1時取等號,此時點P(±2,1),2c=2,2a=|PA|-|PB|=2-2,e==+1,故選C. 【答案】C 10.若拋物線y2=2px(p>0)上一點M到準線的距離和對稱軸的距離分別為10和6,則點M的橫坐標為　　　　.? 【解析】∵點M到對稱軸的距離為6,∴可設點M的坐標為(x,±6).又∵點M到準線的距離為10,∴ 解得或即點M的橫坐標為1或9. 【答案】1或

8、9 11.已知點M到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大. (1)求點M的軌跡方程. (2)已知點A(3,2),是否存在點M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此時點M的坐標;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)因為動點M到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大,所以動點M到點F的距離與它到直線l:x=-的距離相等.由拋物線的定義,知動點M的軌跡是以F為焦點,l為準線的拋物線,其方程應為y2=2px(p>0)的形式,而=,所以p=1,故軌跡方程為y2=2x. (2)如圖,因為點M在拋物線上,所以|MF|等于點M到其準線l的距離|MN|,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以當A,M,N三點共線時,|MA|+|MN|取得最小值,即|MA|+|MF|取得最小值,這時點M的縱坐標為2,可設M(x0,2),代入拋物線方程,得x0=2,即M(2,2). 故存在點M,使|MA|+|MF|取得最小值,此時點M的坐標為(2,2).