2020版高考數學一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語 第三節(jié) 簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞學案 文（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞 2019考綱考題考情 1．簡單的邏輯聯結詞 (1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯結詞。 (2)命題p∧q、p∨q、綈p的真假判定 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 　　2.量詞及含有一個量詞的命題的否定 (1)全稱量詞和存在量詞 ①全稱量詞有：所有的，任意一個，任給一個，用符號“?”表示；存在量詞有：存在一個，至少有一個，有些，用符號“?”表示。 ②含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題?！皩中任意一個

2、x，有p(x)成立”用符號簡記為：?x∈M，p(x)。 ③含有存在量詞的命題，叫做特稱命題?！按嬖贛中元素x0，使p(x0)成立”用符號簡記為：?x0∈M，p(x0)。 (2)含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 　 1．用“并集”的概念來理解“或”，用“交集”的概念來理解“且”，用“補集”的概念來理解“非”。 2．記憶口訣：(1)“p或q”，有真則真；(2)“p且q”，有假則假；(3)“非p”，真假相反。 3．命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)；命題p∨q的否定是(

3、綈p)∧(綈q)。 一、走進教材 1．(選修1－1P26A組T3改編)命題“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．?x0∈R，x＋x0≤0 B．?x0∈R，x＋x0<0 C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0 解析　由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確。故選B。 答案　B 2．(選修1－1P18A組T1(3)改編)已知命題p：2是偶數，命題q：2是質數，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個數是(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 解析　p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題。故選B。

4、答案　B 二、走近高考 3．(2017·山東高考)已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2。下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) 解析　因為x>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以對于?x>0，ln(x＋1)>0，故p為真命題。由1>－2，12<(－2)2可知q是假命題，所以綈q為真命題。根據復合命題真值表可知p∧(綈q)為真命題。故選B。 答案　B 4．(2016·浙江高考)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n

5、2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n0 D．?x∈R,2x>0 解析　當x＝10時，lg10＝1，

6、則A為真命題；當x＝0時，sin0＝0，則B為真命題；當x≤0時，x3≤0，則C為假命題；由指數函數的性質知，?x∈R,2x>0，則D為真命題。故選C。 答案　C 6．已知命題p，q，“綈p為真”是“p∧q為假”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　由綈p為真知，p為假，可得p∧q為假；反之，若p∧q為假，則可能是p真q假，從而綈p為假，故“綈p為真”是“p∧q為假”的充分不必要條件。故選A。 答案　A 7．已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0。若命題“p∧q”是真命題，則實數

7、a的取值范圍為________。 解析　由已知條件可知p和q均為真命題，由命題p為真得a≤0，由命題q為真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2。 答案　(－∞，－2] 考點一簡單的邏輯聯結詞微點小專題 方向1：真假判斷 【例1】　(2019·安徽省示范高中模擬)已知下列兩個命題： p1：存在正數a，使函數y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數； p2：函數y＝sinx＋cosx＋無零點。 則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命題是(　　) A．q1，q4　　B．q2，q3 C．q1，q3

8、　　D．q2，q4 解析　當a＝1時，y＝2x＋a·2－x在R上是偶函數，所以p1為真命題。當x＝時，函數y＝sinx＋cosx＋＝0，所以命題p2是假命題。所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命題。故選A。 答案　A “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命題真假的判斷步驟 1．確定命題的構成形式。 2．判斷其中命題p、q的真假。 3．確定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命題的真假。 方向2：求參數的取值范圍 【例2】　已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數m的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) 　　 B．(－∞

9、，－2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 　　 D．[－2,2] 解析　依題意知p，q均為假命題，當p是假命題時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是真命題時，則有Δ＝m2－4<0，－2

10、p真q假時所以m≤－2；當p假q真時所以0≤m<2。所以m的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2)。 答案　(1)(－2,0)　(2)(－∞，－2]∪[0,2) 根據命題真假求參數的步驟 1．先根據題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)。 2．然后再求出每個命題是真命題時參數的取值范圍。 3．最后根據每個命題的真假情況，求出參數的取值范圍。 【題點對應練】　 1．(方向1)已知命題p：對任意的x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) C．(綈p)∧q D．p∧(綈q

11、) 解析　由指數函數的性質知命題p為真命題。易知“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以命題q是假命題。由復合命題真值表可知p∧(綈q)是真命題。故選D。 答案　D 2．(方向2)已知命題p：關于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關于x的函數y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數。若p或q是真命題，p且q是假命題，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞) 解析　命題p等價于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價于－≤3，即a≥－12。由

12、p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假。若p真q假，則a<－12；若p假q真，則－4n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0 (2)已知命題p：?x0>1，x－1>0，那么

13、綈p是(　　) A．?x>1，x2－1>0 B．?x>1，x2－1≤0 C．?x0>1，x－1≤0 D．?x0≤1，x－1≤0 解析　(1)全稱命題的否定為特稱命題，所以命題的否定是：?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0。故選D。 (2)特稱命題的否定為全稱命題，所以綈p：?x>1，x2－1≤0。故選B。 答案　(1)D　(2)B 全稱命題與特稱命題的否定 1．改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫。 2．否定結論：對原命題的結論進行否定。 方向2：求參數的取值范圍 【例4】　(1)已知函數f(x)＝x2－2x

14、＋3，g(x)＝log2x＋m，對任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，則實數m的取值范圍是________。 (2)已知函數f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值范圍是________。 解析　(1)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，當x∈[1,4]時，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，則f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故實數m的取值范圍是(－∞，0)。 (2)當x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝

15、0，當x∈[1,2]時，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥。 答案　(1)(－∞，0)　(2) 全稱命題可轉化為恒成立問題，特稱命題可轉化為存在性問題，含量詞的命題中參數的取值范圍，可根據命題的含義，利用函數的最值解決。 【題點對應練】　 1．(方向1)命題p：“?x∈N*，x≤”的否定為(　　) A．?x∈N*，x> B．?x?N*，x> C．?x?N*，x> D．?x∈N*，x> 解析　命題p的否定是把“?”改成“?”，再把“x≤”改為“x>”。故選D。 答案　D 2．(方向1)命題“?x0∈R,1

16、2”的否定是________。 答案　?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 3．(方向2)已知函數f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數a的取值范圍是________。 解析　由題意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因為f(x)在上為減函數，g(x)在 [2,3]上為增函數，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1。 答案　 1．(配合例1使用)已知函數f(x)＝給出下列兩個命題：命題p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解；命題q：若m＝，則

17、f(f(－1))＝0，那么，下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) 解析　因為3x>0，當m<0時，m－x2<0，所以命題p為假命題；當m＝時，因為f(－1)＝3－1＝，所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，所以命題q為真命題，逐項檢驗可知，只有(綈p)∧q為真命題。故選B。 答案　B 2．(配合例2使用)已知命題p：?x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立。若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為________。 解析　由命題p：?x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由

18、命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2－1。 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞) 3．(配合例3使用)已知命題p：“?x0∈R，ex0－x0－1≤0”，則綈p為(　　) A．?x0∈R，ex0－x0－1≥0 B．?x0∈R，ex0－x0－1>0 C．?x∈R，ex－x－1>0 D．?x∈R，ex－x－1≥0 解析　根據全稱命題與特稱命題的否定關系，可得綈p為“?x∈R，ex－x－1>0”。故選C。 答案　C 4．(配合例4使用)已知函數f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[

19、2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數a的取值范圍是________。 解析　依題意知f(x)max≤g(x)max。因為f(x)＝x＋在上是減函數，所以f(x)max＝f＝。又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函數，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，則a≥。 答案　 生活中的邏輯 正確地使用邏輯用語是現代社會公民應具備的基本素質，無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確地運用邏輯用語在表述和論證中表達自己的思維。有趣的是，日常生活中的一句話或是一件事，常蘊含著邏輯學的知識。 【案例1】　“便宜無好貨，好貨不便宜”是我們所熟知的一句諺語，在期待購得價廉物

20、美的商品的同時，我們常常用這句話來提醒自己保持足夠的警惕，不要輕易上某些不良商家的當。我們還可以運用邏輯學知識分析這句諺語里蘊含的邏輯關系。 記p表示“便宜”，q表示“不是好貨”，那么按“便宜無好貨”的說法，p?q，即“便宜”(p)是“不是好貨”(q)的充分條件；其逆否命題為“綈q?綈p”，即綈q(“好貨”)是綈p(“不便宜”)的充分條件，即“好貨不便宜”。由此可以看出，“便宜無好貨”與“好貨不便宜”是一對互為逆否關系的命題。非常有趣的是，上海市高考試題曾對此作過考查： 錢大姐常說“便宜無好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．充分必要條

21、件 D．既非充分又非必要條件 正確選項已顯然。 生活中，我們還常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“堅持就是勝利”等熟語來勉勵自己和他人保持信心、堅持不懈地努力。在這些熟語里，“水滴”是“石穿”的充分條件，“有志”是“事成”的充分條件，“堅持”是“勝利”的充分條件。這正是我們努力的信心之源，激勵著我們直面一切困難與挑戰(zhàn)，不斷取得進步。 【案例2】　1873年，馬克·吐溫與另一位作家合寫的長篇小說《鍍金時代》，小說揭露了美國西部投機家、東部企業(yè)家和政府官員三位一體掠奪國家和人民財富的丑惡黑幕。在一次酒會上，一名記者追問馬克·吐溫對當前美國政府官員的看法，馬克·吐溫一氣之下脫口而出：“美國

22、國會有些議員是狗娘養(yǎng)的?！瘪R克·吐溫的話很快公諸報端，議員們知道后大為憤怒，紛紛向馬克·吐溫興師問罪，要求公開道歉并予以澄清，否則將訴諸法律。迫于無奈，馬克·吐溫只好在報紙上發(fā)表了一份公開更正聲明： “日前鄙人在酒席上發(fā)言，說有些美國國會議員是狗娘養(yǎng)的，事后本人思慮再三，覺得此言是不妥的，而且不符合事實，故特登報聲明，我鄭重聲明，我收回我以前說的話，并更正如下：美國國會中的有些議員不是狗娘養(yǎng)的?！? 馬克·吐溫的聲明十分精彩，從表面上看似乎對原話作了完全否定的更正，而這其實是新瓶裝舊酒，換湯不換藥，絲毫沒有改變原話的本來意思，反而再一次猛烈抨擊了無恥的政府官員，從邏輯上來看，馬克·吐溫在酒會

23、上所說的“美國國會有些議員是狗娘養(yǎng)的”是一個特稱命題，其結構為“有些r是s”；后來聲明所說的“美國國會中的有些議員不是狗娘養(yǎng)的”也是一個特稱命題，其結構為“有些r是綈s”。顯然，兩者并非命題與其否定之間的關系。我們知道，特稱命題“有些r是s”的否定形式是“所有r都是綈s”，所以，倘若馬克·吐溫真心道歉并收回以前所說的話，其更正聲明應該表述為“所有美國國會議員都不是狗娘養(yǎng)的”。不過，這話怎么聽著也讓人心里不舒服。 數學是一門邏輯性非常強的學科，生活中的交流同樣需要講究邏輯。通過學習和使用常用邏輯用語，我們可以體會邏輯用語在表述和論證中的作用，從而在實際生活中逐步形成自覺利用邏輯知識對一些命題之間的邏輯關系進行分析和推理的意識，能對一些邏輯推理中的錯誤進行甄別和糾正，使我們對問題的表述更嚴密、貼切，增強我們學習數學、運用數學的信心和能力。 8