2020版高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 第三節(jié) 圓的方程學案 文（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　圓的方程 2019考綱考題考情 1．圓的定義 (1)在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫圓。 (2)確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑。 2．圓的標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)為圓心坐標，r為半徑。 3．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F＞0，其中圓心為，半徑r＝。 4．點與圓的位置關系 點和圓的位置關系有三種。 圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)， (1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。 (2)點在圓外：(x0－a

2、)2＋(y0－b)2＞r2。 (3)點在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。 1．圓心在坐標原點半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2。 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。 3．二元二次方程表示圓的條件 對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F>0這一條件。 一、走進教材 1．(必修2P124A組T1改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是(　　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析　圓的方程可

3、化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)。故選D。 答案　D 2．(必修2P120例3改編)過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析　設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r，因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因為|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以r＝2。所以方程為(x－1

4、)2＋(y－1)2＝4。故選C。 解析：因為A(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂線方程為y＝x。由得所以圓心坐標為(1,1)，r＝＝2。則圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4。 答案　C 二、走近高考 3．(2016·全國卷Ⅰ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－ B．－ C． D．2 解析　由題意可知，圓心為(1,4)，所以圓心到直線的距離d＝＝1，解得a＝－。故選A。 答案　A 4．(2018·天津高考)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為_______

5、_。 解析　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝0，即圓的方程為x2＋y2－2x＝0。 解析：記A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，連接AB，由圓過點A(0,0)，B(2,0)，知AB的垂直平分線x＝1必過圓心。連接BC，又圓過點C(1,1)，BC的中點為，BC所在直線的斜率kBC＝－1，所以BC的垂直平分線為直線y＝x－1，聯(lián)立，得得圓心的坐標為(1,0)，半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0。 答案　x2＋y2－2x＝0 三、走出誤區(qū) 微提醒：①忽視表示圓的充要條件D2＋E2

6、－4F>0；②錯用點與圓的位置關系判定；③忽視圓的方程中變量的取值范圍。 5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析　將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標準方程得2＋(y－1)2＝－2。由其表示圓可得－2>0，解得m<－2或m>2。 答案　B 6．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a(chǎn)＞1或a＜－1 D．a(chǎn)＝±4

7、 解析　因為點(1,1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故選A。 答案　A 7．已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝4，則3x2＋4y2的最大值為________。 解析　由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以當x＝4時，3x2＋4y2取得最大值48。 答案　48 考點一圓的方程 【例1】　(1)過點A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點B(2,1)，則圓C的方程為________。 (2)已知圓C經(jīng)過P(－2

8、,4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為________。 解析　(1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝3①。過B點且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，聯(lián)立①②，解得所以圓心坐標為(3,0)，半徑r＝＝，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2。 解析：設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因為點A(4,1)，B(2,1)在圓上，故又因為＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2。 (2)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>

9、0)，將P，Q兩點的坐標分別代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③。設x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④，聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0。故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0。 答案　(1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程。一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量。確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線

10、上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法：即設出圓的方程，用待定系數(shù)法求解。 【變式訓練】　(1)(2019·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(2019·河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，以點(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為(　　) A．x2＋(y

11、－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16 解析　(1)由題意設圓心坐標為(a，－a)，則有＝即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。 (2)直線x－by＋2b＋1＝0過定點P(－1,2)，如圖。所以圓與直線x－by＋2b＋1＝0相切于點P時，以點(0,1)為圓心的圓的半徑最大，此時半徑r為，此時圓的標準方程為x2＋(y－1)2＝2。故選B。 答案　(1)B　(2)B 考點二與圓有關的軌跡問題 【例2】　已知圓x2＋y2＝4上一

12、定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點。 (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程。 解　(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)。 因為P點在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4。 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠2)。 (2)設PQ的中點為N(x，y)。 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。 設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x

13、－1)2＋(y－1)2＝4。 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， 故線段PQ中點的軌跡方程為 x2＋y2－x－y－1＝0。 求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同，常采用以下方法： 1．直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程。 2．定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程。 3．幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程。 4．代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等。 【變式訓練】　自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6

14、y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析　由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖。因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D。 答案　D 考點三與圓有關的最值問題微點小專題 方向1：借助幾何性質(zhì)求最值 【例3】　已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則(1)的最大值和最小值分別為________和________； (2)y－x的最大值和最小值分別為__________和

15、__________； (3)x2＋y2的最大值和最小值分別為__________和__________。 解析　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓。 (1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設＝k，即y＝kx。當直線y＝kx與圓相切時(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±。所以的最大值為，最小值為－。 (2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距。如圖所示，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－。 (3)x2＋y2表示圓上的一點與

16、原點距離的平方。由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4。 答案　(1)?。?2)－2＋　－2－ (3)7＋4　7－4 借助幾何性質(zhì)求與圓有關的最值問題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結合思想求解。 1．形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。 2．形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題。 3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的

17、平方的最值問題。 方向2：建立函數(shù)關系求最值 【例4】　(2019·廈門模擬)設點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)，則·的最大值為________。 解析　由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y), 所以·＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12。由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，當y＝4時，·的值最大，最大值為6×4－12＝12。 答案　12 根據(jù)題中條件列出相關的函數(shù)關系式

18、，再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值。 【題點對應練】　 1．(方向1)已知兩點A(0，－3)，B(4,0)，若點P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動點，則△ABP的面積的最小值為(　　) A．6　　　　B． C．8　　　　D． 解析　x2＋y2－2y＝0可化為x2＋(y－1)2＝1，則圓C為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓。如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P，連接BP，AP，這時△ABP的面積最小，直線AB的方程為＋＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線AB的距離d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面積的最小值為×5×＝。 答案　B 2．(方向2)已知實數(shù)x，y滿

19、足(x－2)2＋(y－1)2＝1，則z＝的最大值與最小值分別為________和________。 解析　由題意，得表示過點A(0，－1)和圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上的動點P(x，y)的直線的斜率。當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。設切線方程為y＝kx－1，即kx－y－1＝0，則＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝。 答案　　 3．(方向2)設點P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0，2)，B(0，－2)，則|＋|的最大值為________。 解析　由題意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)

20、，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2。由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以當x＝5時，|＋|的值最大，最大值為2＝10。 答案　10 四點共圓問題的求解策略 四點共圓問題本屬于平面幾何內(nèi)容，是數(shù)學競賽中的高頻考點，近年來，圓錐曲線中的四點共圓問題也頻頻出現(xiàn)在高考試題中。 【典例】　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|＝|PQ|。 (1)求拋物線C的方程； (2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′

21、與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程。 【解】　(1)設Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝，又P(0，4)，所以|PQ|＝。又|QF|＝＋x0＝＋，且|QF|＝|PQ|，所以＋＝·，解得p＝2(p＝－2舍去)，所以，拋物線C的方程為y2＝4x。 (2)因為A，M，B，N四點在同一圓上，弦AB的垂直平分線必過圓心，又MN垂直平分AB，所以MN是圓的直徑，則MN的中點E就是這個圓的圓心，所以|AE|＝|BE|＝|MN|。 依題意可知，直線l與坐標軸不垂直，故可設l的方程為x＝my＋1。 由得y2－4my－4＝0。 設A(x1，y1)，B(x2，y2

22、)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。 故線段AB的中點為D(2m2＋1,2m)， |AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)。 又l′與l垂直，故可得直線l′的方程為x＝－y＋2m2＋3，與y2＝4x聯(lián)立可得： y2＋y－4(2m2＋3)＝0。 設M(x3，y3)，N(x4，y4)， 則y3＋y4＝－，y3y4＝－8m2－12。 故線段MN的中點為E， |MN|＝|y3－y4| ＝。 在直角△ADE中，由勾股定理得 |AD|2＋|DE|2＝|AE|2， 所以|AB|2＋4|DE|2＝|MN|2，即 4(m2＋1)2＋2＋2 ＝， 化簡得m2－1＝0， 解得m＝±1。 故所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0。 本題中，MN的中點E就是A，M，B，N四點所在圓的圓心，故可將四點共圓的條件轉(zhuǎn)化為圓心E到四點的距離相等，從而得到|AE|＝|BE|＝|MN|，進而把問題轉(zhuǎn)化為先求線段AB的中點D、線段MN的中點E的坐標以及|AB|和|MN|，這是解析幾何中的常規(guī)問題，通常是聯(lián)立方程組后結合韋達定理來處理，但計算量較大。 10