（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)案 新人教A版必修2

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1、（浙江專用版）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲線的方法.2.掌握“五點(diǎn)法”畫正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦曲線.3.理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系． 知識(shí)點(diǎn)一　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念 思考　從對(duì)應(yīng)的角度如何理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念？ 答案　實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦(或余弦)值．這樣，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x，有唯一確定的值sin x(或cos x)與之對(duì)應(yīng)．由這個(gè)對(duì)應(yīng)法

2、則所確定的函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x)叫做正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))，其定義域是R. 知識(shí)點(diǎn)二　幾何法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 思考1　課本上是利用什么來(lái)比較精確的畫出正弦函數(shù)的圖象的？其基本步驟是什么？ 答案　利用正弦線，這種作圖方法稱為“幾何法”，其基本步驟如下： ①作出單位圓：作平面直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中y軸左側(cè)的x軸上取一點(diǎn)O1，作出以O(shè)1為圓心的單位圓； ②等分單位圓，作正弦線：從⊙O1與x軸的交點(diǎn)A起，把⊙O1分成12等份．過(guò)⊙O1上各分點(diǎn)作x軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于0，，，，…，2π等角的正弦線； ③找橫坐標(biāo)：把x軸上從0到2π這一段分成12等份； ④

3、找縱坐標(biāo)：把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x重合，從而得到12條正弦線的12個(gè)終點(diǎn)； ⑤連線：用光滑的曲線將12個(gè)終點(diǎn)依次從左至右連接起來(lái)，即得到函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，如圖． 因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的圖象與函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π)的圖象的形狀完全一致．于是只要將函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π)的圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)，就可以得到正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R的圖象，如圖． 思考2　如何由正弦函數(shù)的圖象通過(guò)圖形變換得到余弦

4、函數(shù)的圖象？ 答案　把y＝sin x，x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到y(tǒng)＝cos x，x∈R的圖象． 梳理　正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線． 知識(shí)點(diǎn)三　“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 思考1　描點(diǎn)法作函數(shù)圖象有哪幾個(gè)步驟？ 答案　列表、描點(diǎn)、連線． 思考2　“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在x∈[0,2π]上的圖象時(shí)是哪五個(gè)點(diǎn)？ 答案　 畫正弦函數(shù)圖象的五點(diǎn) (0,0) (π，0) (2π，0) 畫余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn) (0,1) (π，－1) (2π，1) 梳理　“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y＝sin x(x

5、∈[0,2π])、余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]圖象的步驟 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 0 －1 0 1 (2)描點(diǎn) 畫正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)； 畫余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． (3)用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn)，得到正弦函數(shù)y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函數(shù)y＝cos x(x∈[0,2π])的簡(jiǎn)圖．

6、1．正弦函數(shù)y＝sin x的圖象向左、右和上、下無(wú)限伸展．(　×　) 提示　正弦函數(shù)y＝sin x的圖象向左、右無(wú)限伸展，但上、下限定在直線y＝1和y＝－1之間． 2．函數(shù)y＝sin x與y＝sin(－x)的圖象完全相同．(　×　) 提示　二者圖象不同，而是關(guān)于x軸對(duì)稱． 3．余弦函數(shù)y＝cos x的圖象與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)．(　√　) 4．余弦函數(shù)y＝cos x的圖象與y＝sin x的圖象形狀和位置都不一樣．(　×　) 提示　函數(shù)y＝cos x的圖象與y＝sin x的圖象形狀一樣，只是位置不同． 類型一　“五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用 例1　利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－sin x(

7、0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 解　取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描點(diǎn)連線，如圖所示． 反思與感悟　作正弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點(diǎn)法作圖．“五點(diǎn)”即y＝sin x或y＝cos x的圖象在[0,2π]內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)．“五點(diǎn)法”是作簡(jiǎn)圖的常用方法． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－cos x(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖． 考點(diǎn)　余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象 解　列表如下：

8、 x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái)，如圖． (2)(2017·長(zhǎng)沙檢測(cè))利用正弦或余弦函數(shù)圖象作出y＝的圖象． 考點(diǎn)　余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象 解　由于y＝＝|cos x|，因此只需作出y＝|cos x|的圖象即可，而y＝|cos x|可由y＝cos x將x軸下方的圖象折到x軸上方，圖象如下： 類型二　利用正、余弦函數(shù)圖象解不等式 命題角度1　利用正、余弦函數(shù)圖象解不等式 例2　利用正弦曲線，求滿足

9、 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的圖象，如圖所示，作直線y＝，根據(jù)特殊角的正弦值，可知該直線與y＝sin x，x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和. 作直線y＝，該直線與y＝sin x，x∈[0,2π]的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為和. 觀察圖象可知，在[0,2π]上，當(dāng)

10、集． 跟蹤訓(xùn)練2　使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　C 解析　不等式可化為sin x≤. 方法一　作圖，正弦曲線及直線y＝如圖所示． 由圖知，不等式的解集為. 方法二　如圖所示，不等式的解集為. 命題角度2　利用正、余弦函數(shù)圖象求定義域 例3　求函數(shù)f(x)＝lg sin x＋的定義域． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域 解　由題意，得x滿足不等式組 即 作出y＝sin x的圖象，如圖所示． 結(jié)合圖象

11、可得x∈[－4，－π)∪(0，π)． 反思與感悟　一些三角函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍． 跟蹤訓(xùn)練3　求函數(shù)y＝的定義域． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域 解　為使函數(shù)有意義，需滿足 即0

12、正弦函數(shù)的圖象 答案　B 解析　“五點(diǎn)法”作圖是當(dāng)2x＝0，，π，，2π時(shí)的x的值，此時(shí)x＝0，，，，π，故選B. 2．下列圖象中，y＝－sin x在[0,2π]上的圖象是(　　) 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　D 解析　由y＝sin x在[0,2π]上的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，應(yīng)為D項(xiàng)． 3．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　 解析　由函數(shù)y＝cos x的圖象可知，不等式cos x<0的解集為. 4．請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y＝sin的圖象．

13、考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 解　令X＝2x－，則當(dāng)x變化時(shí)，y的值如下表： X 0 π 2π x y 0 0 － 0 描點(diǎn)畫圖： 將函數(shù)在上的圖象向左、向右平移即得y＝sin的圖象． 5．若函數(shù)f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解　由題意可知，sin x－2m－1＝0在[0,2π]上有2個(gè)根，即sin x＝2m＋1有兩個(gè)根， 可轉(zhuǎn)化為y＝sin x與y＝2m＋1兩函數(shù)的圖象在[0,2π]上有2個(gè)交點(diǎn)

14、． 由y＝sin x圖象可知， －1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0， 解得－1＜m＜0，且m≠－. ∴m∈∪. 1．對(duì)“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)圖象的理解 (1)與前面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的畫法類似，在用描點(diǎn)法探究函數(shù)圖象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函數(shù)圖象的“關(guān)鍵點(diǎn)”，就可以根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)畫出函數(shù)圖象的草圖． (2)正弦型函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是函數(shù)圖象中最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及與x軸的交點(diǎn)． 2．作函數(shù)y＝asin x＋b的圖象的步驟 3．用“五點(diǎn)法”畫的正弦型函數(shù)在一個(gè)周期[0,2π]內(nèi)的圖象，如果要畫出在其他區(qū)間上的圖象，可依據(jù)圖象的變化趨勢(shì)和周期性畫出． 一、

15、選擇題 1．用五點(diǎn)法畫y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象時(shí)，下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)(　　) A. B. C．(π，0) D．(2π，0) 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 答案　A 解析　易知不是關(guān)鍵點(diǎn)． 2．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝2sin x－1的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 答案　A 解析　由“五點(diǎn)法”可知選A. 3．對(duì)于正弦函數(shù)y＝sin x的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)

16、 A．向左右無(wú)限伸展 B．與y＝cos x的圖象形狀相同，只是位置不同 C．與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn) D．關(guān)于y軸對(duì)稱 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　D 解析　由正弦曲線知，A，B，C均正確，D不正確． 4．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)函數(shù)y＝xcos x(－π≤x≤π)的圖象可能是(　　) 考點(diǎn)　余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　D 解析　當(dāng)x∈時(shí)，x<0，cos x<0，則xcos x>0； 當(dāng)x∈時(shí)，x<0，cos x>0，則xcos x<0； 當(dāng)x∈時(shí)，x>0，cos x>0，則xcos x>0； 當(dāng)x∈時(shí)

17、，x>0，cos x<0，則xcos x<0，故選D. 5．下列各組函數(shù)中圖象相同的是(　　) ①y＝cos x與y＝cos(π＋x) ②y＝sin與y＝sin ③y＝sin x與y＝sin(－x) ④y＝sin(2π＋x)與y＝sin x A．①③ B．①② C．③④ D．④ 考點(diǎn)　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　由誘導(dǎo)公式知，只有④中，y＝sin(2π＋x)＝sin x. 6．若sin θ＝1－log2x，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　) A．[1,4] B. C．[2,4] D. 考點(diǎn)　正弦函

18、數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　A 解析　由正弦函數(shù)的圖象，可知－1≤sin θ≤1， 所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2， 解得1≤x≤4，故選A. 7．方程sin x＝的根的個(gè)數(shù)是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　A 解析　在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝和y＝sin x的圖象如圖所示． 根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根． 二、填空題 8．函數(shù)f(x)＝lg cos x＋的定義域?yàn)開(kāi)_______． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn)　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

19、定義域 答案　∪∪ 解析　由題意，得x滿足不等式組 即作出y＝cos x的圖象，如圖所示． 結(jié)合圖象可得x∈∪∪. 9．函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)＞的解集是______________________． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　 解析　在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和y＝的圖象(圖略)，由圖易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N. 10．若動(dòng)直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正弦

20、函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 答案　 解析　在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象， 如圖所示， 易知當(dāng)x＝a＝kπ－(k∈Z)時(shí)，|MN|取得最大值＝. 11．(2017·長(zhǎng)沙瀏陽(yáng)一中期末)有下列命題： ①y＝sin |x|的圖象與y＝sin x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； ②y＝cos(－x)的圖象與y＝cos|x|的圖象相同； ③y＝|sin x|的圖象與y＝sin(－x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱； ④y＝cos x的圖象與y＝cos(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 其中正確命題的序號(hào)是________． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　正弦函數(shù)與余弦函數(shù)

21、圖象的綜合應(yīng)用 答案　②④ 解析　對(duì)于②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其圖象相同；對(duì)于④，y＝cos(－x)＝cos x，故這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，作圖(圖略)可知①③均不正確． 三、解答題 12．用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y＝＋sin x，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖象 解　(1)取值列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x － (2)描點(diǎn)、連線，如圖所示． 13．根據(jù)y＝cos x的圖象解不等式：－≤c

22、os x≤，x∈[0，2π]． 考點(diǎn)　余弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　余弦函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用 解　函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象如圖所示： 根據(jù)圖象可得不等式的解集為. 四、探究與拓展 14．已知函數(shù)y＝2sin x的圖象與直線y＝2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，那么此封閉圖形的面積為(　　) A．4 B．8 C．4π D．2π 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 答案　C 解析　數(shù)形結(jié)合，如圖所示． y＝2sin x，x∈的圖象與直線y＝2圍成的封閉平面圖形的面積相當(dāng)于由x＝，x＝，y＝0，y＝2圍成的矩形面積，即S＝×2＝4π. 15．函數(shù)f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍． 考點(diǎn)　正弦函數(shù)的圖象 題點(diǎn)　正弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 圖象如圖所示， 若使f(x)的圖象與直線y＝k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得k的取值范圍是(1,3)．