2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3-2-1 古典概型學(xué)案 新人教A版必修3

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1、3．2.1　古典概型 1．了解基本事件的定義，能寫出一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的基本事件． 2．理解古典概型的特征和計(jì)算公式，會(huì)判斷古典概型，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)． 3．會(huì)求古典概型中事件的概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)． 1．基本事件 (1)定義：在一次試驗(yàn)中，所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件稱為該次試驗(yàn)的基本事件． (2)特點(diǎn)：一是任何兩個(gè)基本事件是互斥的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)定義：如果一個(gè)概率模型滿足 ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； ②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 那么這樣的概率

2、模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (2)計(jì)算公式：對于古典概型，任何事件的概率為P(A)＝. 1．?dāng)S一枚不均勻的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率，這個(gè)概率模型還是古典概型嗎？ [提示]　不是．因?yàn)轺蛔硬痪鶆?，所以每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性不相等． 2．“在區(qū)間[0, 10]上任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰為2的概率是多少？”這個(gè)概率模型屬于古典概型嗎？ [提示]　不是．因?yàn)樵趨^(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，故其基本事件有無限個(gè)，所以不是古典概型． 3．判斷正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的．(　　) (2)任何事件都可以表示成基

3、本事件的和．(　　) (3)一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，則這個(gè)試驗(yàn)是古典概型．(　　) (4)古典概型中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(　　) [提示]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 題型一基本事件的計(jì)數(shù)問題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【典例1】　將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，觀察兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況，則： (1)一共有幾個(gè)基本事件？ (2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含幾個(gè)基本事件？ [思路導(dǎo)引]　先列出所有的基本事件，再確定個(gè)數(shù)． [解]　解法一： (1)用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2

4、次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則試驗(yàn)的所有結(jié)果為： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). 共36個(gè)基本事件. (2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)基本事件：(3,6)，

5、(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6). 解法二：如下圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和，基本事件與所描點(diǎn)一一對應(yīng). (1)由圖知，基本事件的總數(shù)為36. (2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含10個(gè)基本事件(已用虛線圈出). 解法三：一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹形圖表示．如下圖所示. (1)由圖知，共36個(gè)基本事件. (2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含10個(gè)基本事件(已用“√”標(biāo)出). (1)在列出基本事件時(shí)，應(yīng)先確定基本事件是否與順序有關(guān)．寫基本事件

6、時(shí)，一定要按一定順序?qū)?，這樣不容易漏寫. (2)求基本事件總數(shù)的常用方法 ①列舉法：適合于較簡單的問題. ②列表法：適合求較復(fù)雜問題中的基本事件數(shù). ③樹形圖法：適合較復(fù)雜問題中基本事件的探求． [針對訓(xùn)練1]　一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，寫出按下列要求的基本事件. (1)一次摸兩個(gè)； (2)先摸一個(gè)不放回，再摸一個(gè)； (3)先摸一個(gè)放回后，再摸一個(gè). [解]　2個(gè)白球分別記為A，B,3個(gè)黑球分別記為a，b，c. (1)列舉法： 基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，

7、b)，(a，c)，(b，c)，共10個(gè). (2)樹形圖法： 基本事件有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，A)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，a)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(c，a)，(c，b)，共20個(gè). (3)列表法： A B a b c A (A，A) (A，B) (A，a) (A，b) (A，c) B (B，A) (B，B) (B，a) (B，b) (B，c) a (a，A) (a，B) (a，a) (a，b

8、) (a，c) b (b，A) (b，B) (b，a) (b，b) (b，c) c (c，A) (c，B) (c，a) (c，b) (c，c) 基本事件共有25個(gè)． 題型二簡單的古典概型的概率計(jì)算 【典例2】　甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； (2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率. [思路導(dǎo)引]　(1)要求2名教師性別相同的概率，應(yīng)先寫出所有可能的結(jié)果，可以采用列舉

9、法求解；(2)要求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率，應(yīng)先求出2名教師來自同一所學(xué)校的基本事件. [解]　(1)甲校2名男教師分別用A，B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E，F(xiàn)表示. 從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種. 從中選出2名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種， 所以選出的2名教師性別相同的概率為P＝. (2)從甲校和乙校報(bào)名的6名教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為

10、：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種. 從中選出2名教師來自同一所學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種， 所以選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為P＝＝. 　求解古典概型“四步法” [針對訓(xùn)練2]　某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表： 一年級 二年級 三年級 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y

11、Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率． [解]　(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種． (2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C

12、，X}，{C，Y}，共6種． 因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝＝. 題型三較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算 【典例3】　袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a，b的2個(gè)黑球和編號為c，d，e的3個(gè)紅球，從中任意摸出2個(gè)球． (1)寫出所有不同的結(jié)果； (2)求恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球的概率； (3)求至少摸出1個(gè)黑球的概率． [思路導(dǎo)引]　(1)可以利用初中學(xué)過的樹狀圖寫出；(2)找出恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球的基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式求出；(3)找出至少摸出1個(gè)黑球的基本事件，利用古典概型的概率計(jì)算公式求出． [解]　(1)用樹狀圖表示所有的結(jié)果為 所以所有不同

13、的結(jié)果是 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. (2)記“恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球”為事件A， 則事件A包含的基本事件為ac，ad，ae，bc，bd，be，共6個(gè)基本事件， 所以P(A)＝＝0.6， 即恰好摸出1個(gè)黑球和1個(gè)紅球的概率為0.6. (3)記“至少摸出1個(gè)黑球”為事件B， 則事件B包含的基本事件為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7個(gè)基本事件， 所以P(B)＝＝0.7， 即至少摸出1個(gè)黑球的概率為0.7. 　利用事件間的關(guān)系求概率 在求解較復(fù)雜事件的概率時(shí)，可將其分解為幾個(gè)互斥的簡單事件的和事件，由公式P(A1∪

14、A2∪A3∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為求其對立事件，再用公式P(A)＝1－P()(為A的對立事件)求得． [針對訓(xùn)練3]　先后擲兩枚大小相同的骰子． (1)求點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率； (2)求出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率； (3)求點(diǎn)數(shù)之和能被3整除的概率． [解]　如圖所示，從圖中容易看出基本事件與所描點(diǎn)一一對應(yīng)，共36個(gè)． (1)記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)”為事件A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共6個(gè)：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝. (2)記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”為事

15、件B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件只有1個(gè)，即(4,4)．故P(B)＝. (3)記“點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C，則事件C包含的基本事件共12個(gè)：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)． 故P(C)＝＝. 課堂歸納小結(jié) 1．古典概型是一種最基本的概型．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m、n. 2.求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法(

16、畫樹狀圖和列表)，注意做到不重不漏． 3．對于用直接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，再求所求概率. 1．同時(shí)投擲兩顆大小完全相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的基本事件數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　事件A包含的基本事件有6個(gè)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故選D. [答案]　D 2．下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是(　　) ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； ②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等； ③每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

17、 ④基本事件的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)基本事件，則P(A)＝. A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④ [解析]　根據(jù)古典概型的特征與公式進(jìn)行判斷，①③④正確，②不正確，故選B. [答案]　B 3．下列試驗(yàn)中，屬于古典概型的是(　　) A．種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽 B．從規(guī)格直徑為250 mm±0.6 mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑d C．拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面 D．某人射擊中靶或不中靶 [解析]　依據(jù)古典概型的特點(diǎn)判斷，只有C項(xiàng)滿足：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同． [答案]　C 4．設(shè)

18、a是擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則方程x2＋ax＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　基本事件總數(shù)為6，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根則a2－8＞0，滿足上述條件的a為3,4,5,6，故P＝＝. [答案]　A 5．一枚硬幣連擲3次，有且僅有2次出現(xiàn)正面向上的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8個(gè)，僅有2次出現(xiàn)正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3個(gè)．則所

19、求概率為. [答案]　A 弄錯(cuò)基本事件而致誤 【典例】　任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率. [錯(cuò)解]　任意投擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共有11個(gè)基本事件，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的事件為A，則事件A包含3,5,7,9,11，共5個(gè)基本事件，故P(A)＝，即出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率為. [錯(cuò)解分析]　出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的11種情況不是等可能事件，如“點(diǎn)數(shù)之和為2”只出現(xiàn)一次，即(1,1)；“點(diǎn)數(shù)之和為3”則出現(xiàn)兩次，即(2,1)，(1,2)，因此以點(diǎn)數(shù)之和為基本事件不屬于古典概型，不能應(yīng)用古典概型

20、概率公式計(jì)算. [正解]　任意投擲兩枚骰子，可看成等可能事件，其結(jié)果即基本事件可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中兩個(gè)數(shù)i，j分別表示這兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則有 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6), (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6), (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6), (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，

21、(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6), 共有36個(gè)基本事件. 設(shè)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”為事件A，則包含(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共有18個(gè)基本事件，故P(A)＝＝.即“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率為. 首先確定是不是古典概型，然后注意基本事件總數(shù)是什么，事件A是什么，包含的基本事件有哪些. [針對訓(xùn)練]　從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，求下列事件

22、的概率． (1)事件A＝{三個(gè)數(shù)字中不含1和5}； (2)事件B＝{三個(gè)數(shù)字中含1或5}. [解]　這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件總數(shù)n＝10. (1)因?yàn)槭录嗀＝{(2,3,4)}, 所以事件A包含的事件數(shù)m＝1. 所以P(A)＝＝. (2)因?yàn)槭录﨎＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}, 所以

23、事件B包含的基本事件數(shù)m＝9. 所以P(B)＝＝. 課后作業(yè)(十九) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間25分鐘) 1．下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為(　　) ①從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率； ②從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率； ③在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率； ④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　古典概型的概率特點(diǎn)是基本事件是有限個(gè)，并且每個(gè)基本事件發(fā)生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬幣質(zhì)地不均勻，故不是古典概型，故選A

24、. [答案]　A 2．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率P＝＝. [答案]　C 3．現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)兩道題分別為A，B，所以抽取情況共有：AAA，AAB，ABA，ABB, BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1個(gè)，第2個(gè)分別表示兩個(gè)

25、女教師抽取的題目，第3個(gè)表示男教師抽取的題目，一共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4種；故所求事件的概率為.故選C. [答案]　C 4．從邊長為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間的距離為的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　若使兩點(diǎn)間的距離為，則為對角線的一半，選擇點(diǎn)必含中心，設(shè)中心為G，四個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D，基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，G)，(B，C)，…，(D，G)，共10個(gè)，所求事件包含的基本事件有(A，G)，(B，G)，(C，G)，(D，G)，共4個(gè)

26、，所求概率為＝. [答案]　B 5．4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　從4張卡片中隨機(jī)取2張，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3), (2,4)，(3,4)，6種基本事件，其數(shù)字之和為奇數(shù)的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)． 故所求概率為P＝＝. [答案]　C 6．古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：物質(zhì)分“金、木、水、火、土”五種屬性，“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種，則抽到的兩種物質(zhì)不相克的概率為

27、________． [解析]　試驗(yàn)所含的基本事件為{金，木}、{金，水}、{金，火}、{金，土}、{木，水}、{木，火}、{木，土}、{水，火}、{水，土}、{火，土}共10種．“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”之外的都不相克，共有5種，故抽取到的兩種物質(zhì)不相克的概率為＝. [答案]　 7．設(shè)a，b隨機(jī)取自集合{1,2,3}，則直線ax＋by＋3＝0與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)的概率是________． [解析]　將a，b的取值記為(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9種可能． 當(dāng)直線與圓

28、有公共點(diǎn)時(shí)，可得≤1，從而符合條件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5種可能，故所求概率為. [答案]　 8．某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為________． [解析]　設(shè)2名男生為a，b,3名女生為A，B，C，從中選出2人的情況有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10種，而都是女生的情況有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3種，故所求概率為. [答案]　 9．在一次“知識競賽”活動(dòng)中，有A1，A2，B，

29、C共4道題，其中A1，A2為難度相同的容易題，B為中檔題，C為較難題．現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)均需從4道題目中隨機(jī)抽取一題作答． (1)求甲所選題目的難度大于乙所選題目的難度的概率； (2)求甲、乙兩位同學(xué)所選的題目難度相同的概率． [解]　由題意可知，甲、乙兩位同學(xué)分別從4道題中隨機(jī)抽取一題，所有可能的結(jié)果有16個(gè)，分別是： (A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)， (A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)， (B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)， (C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)． (1)用N表示事件“甲所選題目

30、的難度大于乙所選題目的難度”， 則N包含基本事件為：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)． 所以P(N)＝. (2)用M表示事件“甲、乙兩位同學(xué)所選的題目難度相同”， 則M包含的基本事件為： (A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)． 所以P(M)＝＝. 10．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽． (1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)． (2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A

31、5，A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽． ①用所給編號列出所有可能的結(jié)果； ②設(shè)A為事件“編號為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率． [解]　(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2. (2)①從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種． ②編號為A5和A6的兩名運(yùn)

32、動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9種． 因此，事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝. 應(yīng)試能力等級練(時(shí)間20分鐘) 11．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：{紅，黃}，{紅，藍(lán)}，{紅，綠}，{紅，紫}，{黃，藍(lán)}，{黃，綠}，{黃，紫}

33、，{藍(lán)，綠}，{藍(lán)，紫}，{綠，紫}．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有{紅，黃}，{紅，藍(lán)}，{紅，綠}，{紅，紫}，共4種，故所求概率P＝＝. [答案]　C 12．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　記三個(gè)興趣小組分別為1、2、3，甲參加1組記為“甲1”，則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9個(gè)． 記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”，其中事

34、件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個(gè)，因此P(A)＝＝. [答案]　A 13．甲、乙、丙三名同學(xué)上臺領(lǐng)獎(jiǎng)，從左到右按甲、乙、丙的順序排列，則三人全都站錯(cuò)位置的概率是________． [解析]　甲，乙，丙三人隨意站隊(duì)排列，共有6種順序，即(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，而“三人全都站錯(cuò)位置”包括(乙，丙，甲)和(丙，甲，乙)2個(gè)基本事件，故所求概率P＝＝. [答案]　 14．設(shè)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，P?Q，x，y∈{1,2,3，…，9}．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，從所有滿足這些條件的有序?qū)崝?shù)對(

35、x，y)所表示的點(diǎn)中任取一個(gè)，其落在圓x2＋y2＝r2內(nèi)的概率恰為，則r2的一個(gè)可能整數(shù)值是________(只需要寫出一個(gè)即可)． [解析]　滿足條件的點(diǎn)有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(7,7)，(8,8)，(9,9)，共14個(gè)．欲使其點(diǎn)落在x2＋y2＝r2內(nèi)的概率為，則這14個(gè)點(diǎn)中有4個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，所以只需29＜r2≤32，故r2＝30或31或32. [答案]　30(或31或32) 15．小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為x；小李后

36、擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為y， (1)在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾個(gè)？試求點(diǎn)(x，y)落在直線x＋y＝7上的概率； (2)規(guī)定：若x＋y≥10，則小王贏；若x＋y≤4，則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由． [解]　(1)因x，y都可取1,2,3,4,5,6，故以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個(gè)． 記點(diǎn)(x，y)落在直線x＋y＝7上為事件A，事件A包含的點(diǎn)有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6個(gè)，所以事件A的概率P(A)＝＝. (2)記x＋y≥10為事件B，x＋y≤4為事件C，用數(shù)對(x，y)表示x，y的取值．則事件B包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6個(gè)數(shù)對； 事件C包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6個(gè)數(shù)對． 由(1)知基本事件總數(shù)為36個(gè)，所以P(B)＝＝，P(C)＝＝， 所以小王、小李獲勝的可能性相等，游戲規(guī)則是公平的． 16