2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-1-1 直線的傾斜角和斜率學(xué)案 北師大版必修2

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1、1．1　直線的傾斜角和斜率 1．直線的確定 在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何條件是：已知直線上的一個點和這條直線的方向． 2．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°. (2)傾斜角的范圍是[0°，180°)． 3．直線的斜率 (1)定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率，即k＝tanα. (2)斜率與傾斜角的變化規(guī)律 當(dāng)傾斜角0°≤α<90°時，斜率是非負的，傾斜角越大，直線的斜

2、率就越大；當(dāng)傾斜角90°<α<180°時，斜率是負的，傾斜角越大，直線的斜率就越大． (3)斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率公式是k＝(x1≠x2)． 　判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任一直線都有傾斜角，都存在斜率．(　　) (2)傾斜角為135°的直線的斜率為1.(　　) (3)若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanα.(　　) (4)直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)．(　　) (5)對于不與x軸垂直的直線，直線的傾斜角越大，斜率就越大．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

3、 題型一直線的傾斜角 【典例1】　設(shè)直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°，得直線l1，則直線l1的傾斜角為(　　) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．當(dāng)0°≤α<140°時為α＋40°，當(dāng)140°≤α<180°時為α－140° [思路導(dǎo)引]　(1)注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答． (2)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論． [解析]　根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示： 因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如

4、圖所示)可知： 當(dāng)0°≤α<140°時，l1的傾斜角為α＋40°； 當(dāng)140°≤α<180°時，l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°.故選D. [答案]　D 　求直線傾斜角的方法及關(guān)注點 (1)定義法：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角． (2)關(guān)注點 結(jié)合圖形求角時，應(yīng)注意平面幾何知識的應(yīng)用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關(guān)推論． 提醒：理解傾斜角的概念時，要注意三個條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負角． [針對訓(xùn)練1]　已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為________． [解析]　有兩種情況：①如圖

5、(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°. ②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°. [答案]　60°或120° 題型二直線的斜率 角度1：直線斜率的定義 【典例2】　已知直線l1與l2向上的方向所成的角為100°，若l1的傾斜角為20°，求直線l2的斜率． [思路導(dǎo)引]　結(jié)合題作圖分析，求l2的傾斜角后利用k＝tanθ可求． [解]　如圖，設(shè)直線l2的傾斜角為α，斜率為k，則α＝100°＋20°＝120°， ∴k＝tanα＝tan120°＝－. ∴直線l2的斜率為－. 　直線的斜率

6、k隨傾斜角α增大時的變化情況 (1)當(dāng)0°≤α<90°時，隨α的增大，k在[0，＋∞)范圍內(nèi)增大； (2)當(dāng)90°<α<180°時，隨α的增大，k在(－∞，0)范圍內(nèi)增大． [針對訓(xùn)練2]　如圖，設(shè)直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為(　　) A．k1

7、，c是兩兩不相等的實數(shù)． (1)(a，c)，(b，c)； (2)(a，b)，(a，c)； (3)(a，a＋b)，(c，b＋c)． [思路導(dǎo)引]　先確定斜率，再由公式k＝tanα確定傾斜角，當(dāng)兩點的橫坐標(biāo)相等時，斜率不存在． [解]　(1)k＝＝0，傾斜角為0°. (2)∵直線所經(jīng)過的兩點的橫坐標(biāo)相同． ∴此直線的斜率不存在，傾斜角為90°. (3)k＝＝1，傾斜角為45°. 只有傾斜角不是90°的直線才有斜率，因此運用斜率公式時，要注意兩點的橫坐標(biāo)是否相等． [針對訓(xùn)練3]　(1)已知M(1，)，N(，3)，若直線l的傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，則直線l的斜率為(　

8、　) A.　　　B.　　　C.　　　D．1 (2)經(jīng)過兩點A(－m,6)，B(1,3m)的直線的斜率是12，則m的值為________． [解析]　(1)設(shè)直線MN的傾斜角為α，則tanα＝＝，∴α＝60°，故直線l的傾斜角為＝30°.由tan30°＝，得直線l的斜率為. (2)由兩點連線的斜率公式可得＝12，解得m＝－2. [答案]　(1)A　(2)－2 角度3：斜率公式的應(yīng)用 【典例4】　已知實數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值． [思路導(dǎo)引]　實數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8且2≤x≤3，可以看作線段，而可以看作是線段上的點與原點連線的斜率．

9、[解]　如圖所示，由于點(x，y)滿足關(guān)系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知點P(x，y)在線段AB上移動，并且A，B兩點的坐標(biāo)可分別求得為A(2,4)，B(3,2)．由于的幾何意義是直線OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值為2，最小值為. 　根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可以寫成的形式，若能，則聯(lián)想其幾何意義(即直線的斜率)，再利用圖形的直觀性來分析解決問題． [針對訓(xùn)練4]　點M(x，y)在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，當(dāng)x∈[2,5]時，則的取值范圍是________． [解析]　設(shè)P坐標(biāo)(－1，－1)，A，B坐標(biāo)分別為(2,4)，(5，－2)， kPA＝

10、＝， kPB＝＝－， 所以的取值范圍是. [答案]　 1．對于下列命題： ①若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°； ②若k是直線的斜率，則k∈R； ③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率； ④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由直線的傾斜角的定義及斜率與傾斜角的關(guān)系可知，①②③正確． [答案]　C 2．若經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角為45°，則m等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 [解析]　tan45°＝，得m＝2. [答案]　A

11、 3．若三點A(2,3)，B(3,2)，C共線，則實數(shù)m的值為________． [解析]　設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB，kBC，則由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)． ∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kBC， 即－1＝－(m－2)，解得m＝. [答案]　 4．經(jīng)過A(m,3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角α的取值范圍是________．(其中m≥1) [解析]　當(dāng)m＝1時，傾斜角α＝90°， 當(dāng)m>1時，tanα＝>0， ∴0°<α<90°，故0°<α≤90°. [答案]　(0°，90°] 課后作業(yè)(十七) (時間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練

12、(時間20分鐘) 1．下列四個命題中，正確的命題共有 (　　) ①坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線均有傾斜角與斜率； ②直線的傾斜角的取值范圍是[0°，180°]； ③若一條直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α； ④若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα. A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 [解析]　根據(jù)斜率公式可知，傾斜角為90°時，斜率不存在，故①④不正確；傾斜角的范圍為[0°，180°)，故②不正確；若一條直線的斜率為tanα，只有當(dāng)α∈[0°，180°)時，α才是直線的傾斜角，故③不正確，故選A. [答案]　A 2．直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l

13、的傾斜角范圍是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° [解析]　直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是90°<α<180°. [答案]　C 3．若過兩點A(4，y)、B(2，－3)的直線的傾斜角為45°，則y等于 (　　) A．－ B. C．－1 D．1 [解析]　∵直線的傾斜角為45°， ∴直線的斜率k＝tan45°＝1，∴＝1，∴y＝－1. [答案]　C 4．已知直線l的傾斜角為θ－25°，則角θ的取值范圍為(　　) A．[25°，1

14、55°) B．[－25°，155°) C．[0°，180°) D．[25°，205°) [解析]　因為直線傾斜角的取值范圍是[0°，180°)，所以由θ－25°∈[0°，180°)，得θ∈[25°，205°)，故選D. [答案]　D 5．如下圖，已知直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則 (　　) A．k190°>α2>α3>0°，所以k1<0

15、3

16、(0，－3)． [答案]　(3,0)或(0，－3) 8．在平面直角坐標(biāo)系中，正△ABC的邊BC所在直線的斜率是0，則AC，AB所在直線的斜率之和為________． [解析]　如圖，易知kAB＝， kAC＝－，則kAB＋kAC＝0. [答案]　0 9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值． [解]　由題意知直線AC的斜率存在，即m≠－1. ∴kAC＝，kBC＝. ∴＝3·. 整理得－m－1＝(m－5)(m＋1)， 即(m＋1)(m－4)＝0， ∴m＝4或m＝－1(舍去)． ∴m＝4. 10．如

17、圖，已知△ABC三個頂點坐標(biāo)A(－2,1)，B(1,1)，C(－2,4)，求三邊所在直線的斜率，并根據(jù)斜率求這三條直線的傾斜角. [解]　由斜率公式知直線AB的斜率kAB＝＝0，傾斜角為0°.直線BC的斜率kBC＝＝－1，傾斜角為135°. 由于點A，C的橫坐標(biāo)均為－2， 所以直線AC的傾斜角為90°，其斜率不存在． 應(yīng)試能力等級練(時間25分鐘) 11．斜率為2的直線經(jīng)過(3,5)，(a,7)，(－1，b)三點，則a＋b的值是(　　) A．0 B．－3 C．1 D．－4 [解析]　依題意，得＝2，＝2，解得a＝4，b＝－3.故a＋b＝1. [答案]　C 12．若

18、經(jīng)過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍為________. [解析]　∵k＝且直線的傾斜角為鈍角，∴＜0，即或 解得－2＜a＜1. [答案]　(－2,1) 13．若三點A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k的取值范圍為________． [解析]　kAB＝＝，kAC＝＝＝0. 要使A，B，C三點能構(gòu)成三角形，需三點不共線， 即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1. [答案]　(－∞，1)∪(1，＋∞) 14．已知兩點A(2,1)，B(m,4)，求： (1)直線AB的斜率； (2)已知m∈[2－，2＋3 ]，求直線AB的傾斜角α的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)m＝2時，直線AB的斜率不存在； 當(dāng)m≠2時，直線AB的斜率kAB＝. (2)當(dāng)m＝2時，α＝90°； 當(dāng)m≠2時，由m∈[2－，2)∪(2,2＋3]?kAB＝∈(－∞，－]∪?α∈[30°，90°)∪(90°，120°]． 所以直線AB的傾斜角α的取值范圍是[30°，120°]． 11