《高等代數(shù)》：學(xué)習(xí)筆記

《高等代數(shù)(上)》：學(xué)習(xí)筆記 這是我自學(xué)的筆記做成的電子檔，其中有許多注釋，盡量深入淺出，以供大家學(xué)習(xí)。有些筆誤也修正差不多了。課本和王德明老師的符號(hào)略有不同，但意思是一樣的，祝大家都能通過考試。 第一章 行列式 1.1 定義 D=2314=24-31=5 A=2314≡2314 這是行列式（或?qū)憺閨D|） 這是矩陣，注意區(qū)別 a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3 這是三元線性方程組 D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 代數(shù)和 右下斜線為正 左下斜線為負(fù) 3階行列式 偶排列，正號(hào) 奇排列，負(fù)號(hào) 1.2 逆序數(shù) 逆序數(shù) τj1,j2, ?,jn n階排列，有n!個(gè) n階排列 判斷逆序數(shù)的奇偶性 1.3 n階行列式的代數(shù)和 D=a11a12?a1na21a22?a2n ??????an1an2?ann=j1,j2, ?,jn-1τj1,j2, ?,jna1j1a2j2?anjn 1.4 行列式性質(zhì) 1、行列式轉(zhuǎn)置值不變： DT=D 2、k可以乘上某行(列)： kDrowi 3、加法：某行之和 展開為兩行列式之和： Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b) 4、互換兩行(列)：負(fù)號(hào) Drowi?rowk=-D 5、兩行相同(成比例)：零值 Drowi=krowk=0 6、某行乘以k加到另一行：值不變 Dkrowi+rowk=D  所在行列的和(同等于逆序數(shù)τ) 1.5 代數(shù)余子式 余子式：刪去i, j所在的行與列后得到的n-1階行列式 Aij=(-1)i+jMij 代數(shù)余子式 n階行列式 |D|=ak1Ak1+ak2Ak2+?+aknAkn k=1, 2, ?, n即展開第k行(列) 表示所有可能的差 i>j 如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1) 1.6 范德蒙行列式 |D|=111?1a1a2a3?ana12a22a32?an2???a1n-1a2n-1a3n-1?ann-1=1≤j<i≤n(ai-aj) 第二章 線性方程組 2.1 克萊姆法則 系數(shù)行列式 (b在1列) D1=b1a12a13b2a22a23b3a32a33 D2、D3 類似左邊 解集：xi=DiD (D≠0) 該解法適用于n階 當(dāng)D≠0時(shí)，方程組有唯一解：x1=D1D, x2=D2D, x3=D3D.(D≠0) 只有當(dāng)常數(shù)項(xiàng)b不全為零時(shí)，且s=n時(shí)才可用克萊姆法則 2.2 消元法 初等變換：反復(fù)對(duì)方程進(jìn)行row變換，最后剩下一個(gè)上三角矩陣。 如果線性方程組D≠0，則初等變換后的上三角矩陣，元首都不為0。 2.3 數(shù)域 　　　 P：包含0、1且任意兩個(gè)數(shù)的基本運(yùn)算仍屬于P。如實(shí)數(shù)R，有理數(shù)Q，復(fù)數(shù)C n維基本向量組 2.4 n維向量 α=(a1, a2, a3, ?, an ) (ε1, ε2, ε3, ε4, )=1000010000100001 數(shù)量乘積：kα 零向量：0 負(fù)向量：-α 行向量與列向量：αrow(column)　  2.5 線性相關(guān) rank=n，有唯一解 rank<n，有無窮多解 線性組合 β=k1α1+k2α2+?+ksαs 由向量組 線性表出 線性相關(guān)充要k有解充要可線性表出充要系數(shù)矩陣r=增廣矩陣r 向量組等價(jià)：(α1,α2,?,αn)互相線性表出(β1,β2,?,βn) 常數(shù)項(xiàng)為0的充要條件 k1α1+k2α2+?+ksαs=0 α線性相關(guān) 有待更進(jìn)一步補(bǔ)充 α線性無關(guān) K有解，且不全0 K只有零解 D＝0 D≠0 s<n s=n時(shí)不一定 αi都可被(α1,α2,?,αn)線性表出 αi不能被(α1,α2,?,αn)線性表出 不可逆，因?yàn)榉帜覆荒転? 可逆 r<n ，稱退化的 r=n 稱非退化(或滿秩) 特征值λ有重根，不一定相關(guān) 特征值λ無重根一定無關(guān) 極大線性無關(guān)組：每個(gè)向量αi都不能被前面某些向量線性表出 例(α1, α2, α3) 不能表出，即α3≠k1α1+k2α2 2.6 秩 rank=極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù) 行秩＝列秩＝行列式秩(D 最高階子式≠0) 詳見書P154-155頁(yè) 例6 2.7 求全部解和基礎(chǔ)解系的步驟 第一步：求梯陣 增廣矩陣A初等變換梯陣 注：如果是求矩陣化和求特征值，只需求基礎(chǔ)解系η i，又稱特征向量 第二步：求一般解 求x1,x2,?,xr的一般解 n-r個(gè) 第三步：求特解γ0 設(shè)自由x=0，求γ0 第四步：求齊次的一般解 使常數(shù)b=0，求一般解x1,x2,?,xr 即xr+1,xr+2,?,xn-r εi即n維基本向量組 第五步：求基礎(chǔ)解系 將εi代入自由x，求基礎(chǔ)解系η1,η2,?,ηn-r 第六步：答：得全部解 γ=γ0+k1η1+k2η2+?+kn-rηn-r 基礎(chǔ)解系 特解 全部解  第三章 矩陣 附1：矩陣名詞匯總： ~ 20 ~ 方陣： s=n 系數(shù)矩陣： sn 增廣矩陣： s(n+b) 左下：對(duì)角線左三角形 梯陣： 左下=0 約化梯陣： 左下0，元首1 三角矩陣： 左下0，s=n 對(duì)角線上的元素 對(duì)角矩陣： Λ除對(duì)角線，余為0 單位矩陣： E，對(duì)角1 零矩陣： O，全0 數(shù)量矩陣： kE 轉(zhuǎn)置矩陣： AT 分塊矩陣： ????? b即系數(shù) Rank即矩陣的秩 滿秩矩陣： rank=n 逆矩陣： A-1 伴隨矩陣： A* 等價(jià)矩陣： A初等變換B 初等矩陣： E初等變換一次 正交矩陣： AAT=E，A=1 相似矩陣： A~B, B＝X-1AX 約當(dāng)形矩陣： 二次形矩陣：詳看5.1 實(shí)對(duì)稱矩陣：實(shí)數(shù)，對(duì)角線對(duì)稱 λ即特征值 (半)正定矩陣：λ全(≥)>0 (半)負(fù)定矩陣：λ全(≤)<0 不定矩陣： λ不全>or<0 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：對(duì)角線1 or 0 附2：一般n維線性方程組、sn維矩陣、n維向量組的表示法 注：bi全為0時(shí)，稱齊次線性方程組 bi不全為0時(shí)，稱非齊次線性方程組 fx1,x2,?,xn=a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2???????????as1x1+as2x2+?+asnxn=bs 注：s為行數(shù)，n為列數(shù)(未知數(shù)個(gè)數(shù)) 附：有的書行數(shù)用m表示 AX=B?a11a12?a1na21a22?a2n ??????as1as2?asnx1x2 ?xn=b1b2 ?bs 注：這個(gè)ki既可理解為：基礎(chǔ)解系ηi的系數(shù)ki 也可以理解為：矩陣對(duì)角化后對(duì)角線的元素λ1 還可以理解為：二次型λE-A的特征值λ1 (同上句) 附：本書中用拉丁字母表示向量(或稱矢量，但王老師或某書中用“α”表示，我認(rèn)為不錯(cuò)，不易混淆。 β=k1α1+k2α2+?+knαn α1=a11,a21,?,as1α2=a12,a22,?,as2?????????αn=a1n,a2n,?,asnβ=b1,b2,?,bs  3.1 矩陣運(yùn)算 各個(gè)元素對(duì)應(yīng)相加（減），即aijbij 1、加(減)法： AB 性質(zhì)： 交換律：AB=BA 結(jié)合律：A+B+C=(A+B)+C cij=ai1b1j+ai2b2j+?+ainbnj 2、乘法： 例：AB=1232-11024 21-1 021 10-2=55-550-544-1 2 0 1 + + ＝ 5 C=AB 注：A的|row|=B的|column| 性質(zhì)： AB不一定=BA （當(dāng)AB=BA，稱可交換） AE=EA=A 結(jié)合律：ABC=ABC k次冪：Ak?Al=Ak+l (Ak)l=Akl 非交換律：(AB)k≠AkBk 詳見書P183頁(yè) AB 3.2 分塊 分塊后矩陣的基本運(yùn)算依然等價(jià) A?B=A1A2A3A4B1B2B3B4=A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4 3.3 逆矩陣 1、求aij的代數(shù)余子式Aij 2、對(duì)應(yīng)的元素要轉(zhuǎn)置 伴隨矩陣：A*=A11A21?An1A12A22?An2 ???????A1nA2n?Ann 求逆公式：A-1=1|A|A* 3.4 等價(jià)矩陣 等價(jià)矩陣：A初等變換B 初等矩陣：由E做1次初等變換 標(biāo)準(zhǔn)形：同時(shí)做行、列變換，對(duì)角線為1的個(gè)數(shù)＝r 附：這是一個(gè)求逆的簡(jiǎn)便方法，但易出錯(cuò)，3階矩陣建議用求逆公式。 用單位矩陣求逆：[AE]行變換[EA-1]  例： 1212220121222012-1202212-12022 3.5 正交矩陣 性質(zhì): AAT=ATA=E |D|=1 又稱正交向量組， α,β一定線性無關(guān) 向量組的內(nèi)積 內(nèi)積公式 α,β=a1b1+a2b2+?+anbn=0 任意兩行或列的內(nèi)積必為0 分配律：α+β?γ=α,γ+β,γ 結(jié)合律：α,βγ=α(β,γ) 交換律：αβ=βα 內(nèi)積性質(zhì)： 詳見書P219頁(yè) 例1 α1,α2,?,αn線性無關(guān)，求正交化的β1,β2,?,αn的公式 正交化： β1=α1 β2=α2-α2,β1β1,β1β1 β3=α3-α2,β1β1,β1β1-α3,β2β2,β2β2 （s=r) βs=αs-α2,β1β1,β1β1-α3,β2β2,β2β2-?-αs,βs-1βs-1,βs-1βs-1 附：由于向量通常是指列向量，如把βs改βn更易理解，謹(jǐn)記！ 施密特正交化方法 （又稱歸一化） 正交向量組 單位化： 注：|βi|=β1,β1 這里我設(shè)ηi=(h1i,h2i,?,hsi)，數(shù)學(xué)中并沒有明確規(guī)定符號(hào) ηi=βi|βi| β3 β2 α1=β1 α2 c3 c2 α3 0 c32 c31 正交單位向量組 附：正交化向量 關(guān)系圖 第四章 矩陣的對(duì)角化 4.1 相似矩陣 B=X-1AX A~B 1、反身性：A~A 2、對(duì)稱性：A~B→B~A β2=α2-c2，且有矩形0β2α2c2 β3=α3-c3，且有矩形0β3α3c3 3、傳遞性：A~B, B~C→A~C 4、行列式等值：A=|B| 11、有相同的特征多項(xiàng)式 12、有相同的特征值 13、有相同的跡（即對(duì)角線元素個(gè)數(shù)） 5、同時(shí)可逆or不可逆 6、B1+B2=X-1(A1+A2)X 7、B1B2=X-1(A1A2)X 8、kB1=X-1(kA1)X 9、f(B)=X-1f(A)X 10、kE=X-1(kE)X 對(duì)角矩陣： a1, a2, a3, ?, an 注：這里的Ai是指分塊矩陣，不是代數(shù)余子式 準(zhǔn)對(duì)角矩陣： A1, A2, A3, ?, An  4.2 特征值和特征向量 特征向量 n 階矩陣 Aα=λ0α 特征值 詳見書P257頁(yè) 例1 詳見書P241頁(yè) 例1 求全部特征向量的步驟： 第一步：列出特證多項(xiàng)式 特證值(根) 特征矩陣 特征多項(xiàng)式 di是系數(shù) fλ=λE-A= λ-a11a12?-a1n-a21λ-a22?-a2n ??????-an1-an2?λ-ann=(λ1-d1)(λ2-d2)?(λ3-dn) 第二步：求λ的解 注：考慮是在Q、R、C數(shù)域范圍內(nèi)，特征根的個(gè)數(shù)不同 第三步：求基礎(chǔ)解系 將λi代入λE-A，求基礎(chǔ)解系 見2.7第五步 即 屬于λ1的特證向量：k1α1+k2α2+? 屬于λ2的特證向量：l1β1+l2β2+? 等價(jià)于基礎(chǔ)解系，只是表示方法略不同 第四步：答：得特征向量 任何實(shí)對(duì)稱矩陣都可以對(duì)角化 A與對(duì)角矩陣相似，稱A對(duì)角化 4.3 對(duì)角化條件 注：X，即A的特征向量構(gòu)成的矩陣，X不是唯一的。 條件 充要：有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即n個(gè)不同的特特征值 X即A的特征向量構(gòu)成的矩陣 一定是對(duì)角形矩陣 AB=X-1AXB 充要：有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 4.4 實(shí)對(duì)稱矩的對(duì)角化 求正交矩陣T的步驟 第一步：求特征值 即λE-A，求λ 見4.2 第二步：求λ1的特征向量 λ1代λE-A，求基礎(chǔ)解系α1 見2.7第五步 第三步：求特征向量α1的正交化β1,β2,?,βn 見3.5 第四步：求單位化η1,η2,?,ηn 見3.5 第五步：重復(fù)第二、三、四步，with λ2,λ3,?,λn 注：有時(shí)候會(huì)有重復(fù)個(gè)相同的特征值的特征向量 第六步：得正交矩陣T=η1η2?ηn=h11h12?h1nh21h22?h2n????hn1hn2?hnn  第五章 二次型 5.1 二次型及矩陣表示 設(shè)aij=aji，得 （注：系數(shù)是左等式的一半） 二次齊次多項(xiàng)式 fx1,x2,?,xn=a11x12+2a12x1x2+?+2a1nx1xn +a22x22+?+2a2nx2xn +?????? +annxn2 = a11x12+a12x1x2+?+a1nx1xn +a21x2x1+a22x22+?+a2nx2xn +????????????? +an1xnx1+an2xnx2+?+annxn2 =i=1nj=1naijxixj =XTAX=x1, x2, ?, xn a11a12?a1na21a22?a2n ??????an1an2?annx1x2 ?xn 這A是二次型矩陣，且一定是對(duì)稱矩陣 合同矩陣： A?B 即B=CTAC 性質(zhì)： 1、反身性：A?A 2、對(duì)稱性：A?B→B?A 3、傳遞性：A?B, B?C→A?C 4、B=C2A 注：合同的不一定相似 詳見書P275-277頁(yè) 例1 5.2 正交替換化為標(biāo)準(zhǔn)形步驟 第一步：化為二次形矩陣 將二次齊次多項(xiàng)式寫成二次形矩陣 第二步：求特征值λ1 求λE-A的特征值λ1 見4.2 第三步：求基礎(chǔ)解系 λ1代入λE-A求基礎(chǔ)解系 見2.7 第四步：求正交化和單位化 見3.5 第五步：重復(fù)三、四步，with λ2, λ3,?,λn 第六步：將全部單位化向量表示為正交矩陣T 注：數(shù)學(xué)中沒有明確規(guī)定單位化向量中元素的符號(hào)，如將aij改hij將便于與4.2理解 第七步：答：得X=TY→x1=a11y1+a12y2+?+a1nynx2=a21y1+a22y2+?+a2nyn???????????xn=an1y1+an2y2+?+annyn 這是標(biāo)準(zhǔn)形，是平方和形式 第八步：答：得標(biāo)準(zhǔn)形：λ1y12+λ2y22+?+λnyn2  詳見書P278頁(yè)整節(jié) 5.3 非退化線性為標(biāo)準(zhǔn)形（略） 方法：先做列變換，后做對(duì)稱的行變換（先列后先，這稱一個(gè)變換周期），直到使A為對(duì)角矩陣，則T即使X=TY 注意：用非退化線性求出來的矩陣與原矩陣是合同關(guān)系，非相似?。?！ AE→ΛT 方法：方法同上，但是先行后列，且最后得到的T要轉(zhuǎn)置 A|E→Λ|T 5.4 規(guī)范形 一定是對(duì)角矩陣，且不是唯一的，原二次型r=對(duì)角非零元素個(gè)數(shù) 任意二次型都可替換為標(biāo)準(zhǔn)形 一定是對(duì)角矩陣，是唯一的，原二次型r=對(duì)角非零元素個(gè)數(shù) 任意二次型都可替換為規(guī)范形 注：規(guī)范形由zi=λiyi得來，去掉0元素 這是規(guī)范形，是平方和形式 z12+z22+?+zp2-zp+12-?-zr2 負(fù)慣性指數(shù)：即r-p 正慣性指數(shù)：即p 符號(hào)差：即兩個(gè)相減，正慣性指數(shù)－負(fù)慣性指數(shù) 5.5 正定二次型 充要條件： 1、其標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù) λi>0 2、其規(guī)范形的正慣性指數(shù) p=r 3、有可逆矩陣C，使二次型 A=CTC 4、二次型的特征值 λi>0 注：這和第1點(diǎn)是同一個(gè)概念 5、所有的主子式 |M|>0 注： 有的書稱為順序主子式，即從a11→aii所構(gòu)成的行列式值 正定矩陣：即 λi>0 所有的主子式|M|>0 負(fù)定矩陣：即 λi<0 所有的奇階主子式|M|<0且偶階主子式|M|>0 半正定矩陣：即 λi≥0 半負(fù)定矩陣：即 λi≤0 不定矩陣：即 λi>or<0 第八章 線性空間 α,β,γ,δ∈V k,l∈P 稱V為數(shù)域P上的線性空間 8.1 定義與性質(zhì) 線性空間條件 α?β=γ δ=k°α 性質(zhì)： 1、交換律：α?β=β?α 5、壹　律： 1°α=α 2、結(jié)合律：(α?β)?γ=α?(β?γ) 6、結(jié)合律： kl°α=(kl)°α 3、零　律：α?Ο=α 注：Ο元素不一定是0 7、向量分配律： k+l°α=k°α?l°α 4、負(fù)　律：α?β=Ο 注：β即-α 8、數(shù)量分配律： k°α?β=k°α?k°β 注：”?”即向量加法，”°”即向量乘法，但這只是為了區(qū)別通常加(乘)法，所以有時(shí)用普通符號(hào)”+”, ”” ,”?”表示也可以的。  性質(zhì)推廣： 1、α?β?…?η，其加法不計(jì)先后 2、Ο是唯一的 3、-α由α唯一確定 4、α?β=α?γ 則 β=γ 5、k=0 或 α=Ο 時(shí)，充要 kα=Ο 6、(-k)α=-kα 求V是否為線性空間的方法： 1、根據(jù)題目給定的向量加法和數(shù)乘的定義 2、證明在該定義下V都符合以上8個(gè)性質(zhì) △這個(gè)證明需要多做題練習(xí)掌握 系數(shù) 8.2 向量組的線性關(guān)系 重述一些符號(hào)定義： 0、a, b, c,…表元素 1、k, l, m,…表系數(shù) 2、α, β, γ,…表向量 3、x, y, x,…表未知數(shù) 4、下標(biāo)1, 2, 3,…表第幾個(gè)數(shù) 5、下標(biāo)i, j ,k, ,…表任一個(gè)數(shù) 6、下標(biāo)s, m ,n,…表總個(gè)數(shù) αi∈V ki∈P 線性組合 β=k1α1+k2α2+?+ksαs 由α1,α2,…,αn 線性表出 性質(zhì)： （即總結(jié)上冊(cè)所有知識(shí)） 1、任一αi都可由α1,α2,…,αs線性表出，則線性相關(guān) 2、ki不全為0，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立，線性相關(guān)；反之ki為0時(shí)等式才成立，線性無關(guān) 3、向量組有 Ο 零向量，則線性相關(guān) 4、部分向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān) 5、至少有一α1可由其余向量線性表出，則線性相關(guān) （注意區(qū)分第1點(diǎn)） 6、α1,α2,…,αs線性無關(guān)，但 β 可由其線性表出，則α1,α2,…,αs,β 線性相關(guān) 7、D=0，則線性相關(guān)；D≠0，則線性無關(guān) 8、α1,α2,…,αs 互相線性表出 β1,β2,…,βs，稱等價(jià)的 9、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt線性表出，且s>t，則α1,α2,…,αs線性相關(guān) 如果α1,α2,…,αs是線性無關(guān)，那么s≤t 10、在α1,α2,…,αs中，部分向量組線性無關(guān)，但添加其余向量后線性相關(guān)，稱極大線性無關(guān)組 11、α1,α2,…,αs都可由部分向量組(線性無關(guān))線性表出，后者稱極大線性無關(guān)組 12、β1,β2,…,βs中，每個(gè)βi不能被β1,β2,…,βi-1(即βi前面向量組)線性表出，線性無關(guān)(βi≠0且i≥2) 13、向量組中，任一極大線性無關(guān)組等價(jià)原向量組等價(jià)另一個(gè)極大線性無關(guān)組 14、線性無關(guān)組，其秩 r=s 15、α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt線性表出，則秩r(α)≤r(β)相等； 向量組等價(jià)，則秩r相等； 秩r相等且αi可由β1,β2,…,βt線性表出，則向量組等價(jià)。 8.3 維數(shù)、基、坐標(biāo) 注：此定義雷似極大線性無關(guān)組 n維線性空間：V中有n個(gè)向量線性無關(guān)，但當(dāng)n+1個(gè)向量時(shí)線性相關(guān) 無限維線性空間：V中有任意多個(gè)線性無關(guān)的向量 零空間：維數(shù) n=0 V是n維的條件：V中任意向量都可由α1,α2,…,αn線性表出 附加說明：對(duì)于這種常見的線性表出，已出現(xiàn)多次，它們的性質(zhì)意義是一樣的，只是叫法不同，應(yīng)該提升到一個(gè)規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。 坐標(biāo) α=a1ε1+a2ε2+?+anεn 基 V的任意向量 換個(gè)字母 為書寫簡(jiǎn)便，定義符號(hào)：（自創(chuàng), 考試勿用） x? 表示x1 x2 ?xn ，x? 表示x1 x2 ?xn 矩陣表示 ξ=ε? x? =ε? x? V中任意向量 基 坐標(biāo) 另組基 另組坐標(biāo)  8.4 基變換與坐標(biāo)變換 基變換存在如下關(guān)系： 過濾矩陣T 另組基 基 ε1 =a11ε1+a21ε2+?+an1εnε2 =a12ε1+a22ε2+?+an2εn???????????εn =a1nε1+a2nε2+?+annεn 矩陣表示 ε1 ε2 ε3 =ε1 ε2 ε3 a11a12?a1na21a22?a2n ??????as1as2?asn ε? =ε? T-1 推出 基變換公式 簡(jiǎn)寫 稱由基ε1 ε2 ε3 到另一組基ε1 ε2 ε3 的過渡矩陣T ε? =ε? T 詳見書P163-165例2 坐標(biāo)變換存在如下關(guān)系：x? =T-1x? 推出 x? =Tx? 坐標(biāo)變換公式 △注意不是x? T，不滿足交換律 另組坐標(biāo) 過渡矩陣 坐標(biāo) 性質(zhì)總結(jié)： 1、α? =ε? T ，則 ε? =α? T-1 2、α? =ε? A 且 β? =α? B ，則 β? =ε? AB 詳見書P163-165例2 3、α? =ε? A 且 β? =ε? B ，由ε? =α? A-1 ，得 β? =α? A-1B 第九章 線性變換 Tα+β=Tα+Tβ 9.1 定義與性質(zhì) 證明等式左邊=右邊， 則稱等式是一個(gè)線性變換 Tkα=kTα 線性變換 加法 向量 系數(shù) 數(shù)乘 (α, β∈V , k∈P) 推廣： 當(dāng)k=1,恒等變換; k=0,零變換 Eα=α 恒等變換 α→kα 數(shù)乘變換，記作kE α(x,y) α(x,y) θ x x=xcosθ-ysinθ y= xsinθ+ycosθ y 0 x y Oα=O 零變換 (以原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ度,如圖) Tθα=cosθ-sinθsinθcosθxy=xy 二維坐標(biāo)變換 Dfx=fx 求導(dǎo)數(shù)變換 AX=AX 矩陣變換 9.2 運(yùn)算 1、A+Bα=Aα+Bα 2、A+Bα+β=Aα+β+Bα+β=A+Bα+A+Bβ 3、A+Bkα=Akα+Bkα=k[A+Bα] 9.3 線性變換的矩陣 Tx1,x2,…,xn=(f1,f2,…,fn) 線性變換表示公式，例：Tx1,x2,x3=(x1,2x2,x1+x3) 注意轉(zhuǎn)置 Tε1=a11ε1+a21ε2+?+an1εnTε2=a12ε1+a22ε2+?+an1εn??????????????Tεn=a1nε1+a2nε2+?+annεn 矩陣表示 Tε1Tε2Tεn=ε1 ε2 ε3 a11a12?a1na21a22?a2n ??????an1as2?ann 稱T在基ε1,ε2,…,εn下的矩陣A 注：寫成Tε? =ATε? 也可以 T在基下的矩陣A 基 線性變換 簡(jiǎn)寫 Tε? =Tε? =ε? A 這是老師的寫法 線變的表示矩陣 例： Tε1 Tε2 Tε3 ε1 ε2 ε3 ε1 ε2 ε3 T111110100=3-30-3-31333=111110001333-6-6-2651 T在基下的矩陣A (同時(shí)也是過渡矩陣) 基 T的矩陣表示 (同時(shí)也是另一組基) 線性變換Tε1,ε2,ε3 =2ε2+ε3,ε1-4ε2,ε1 推廣 A =ε? -1Tε? 高等代數(shù)的意義： 1) 打好基礎(chǔ) 增進(jìn)素質(zhì) 高等代數(shù)的基礎(chǔ)理論和方法，不僅是學(xué)習(xí)代數(shù)后繼課程的基礎(chǔ)，而且也是學(xué)習(xí)微分方程，計(jì)算數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)模型，泛函分析，微分幾何，微分流形，一般拓?fù)?，概率統(tǒng)計(jì)，線性規(guī)劃等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)諸課程的基礎(chǔ)．因此，理解高等代數(shù)的思想，掌握其基礎(chǔ)理論和方法，在學(xué)習(xí)中加強(qiáng)辯證思維、抽象思維和邏輯推理的訓(xùn)練，大家不僅能夠打好基礎(chǔ)，而且還能增進(jìn)自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己在將來成為一個(gè)名符其實(shí)的數(shù)學(xué)工作者． 2) 聯(lián)系中數(shù) 服務(wù)未來 高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系使得它的一些內(nèi)容對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有居高臨下的指導(dǎo)作用，中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些原型對(duì)于克服代數(shù)概念抽象、證題難以入手等難點(diǎn)有時(shí)也頗有價(jià)值，在學(xué)習(xí)中要注意加強(qiáng)這方面的聯(lián)系，這對(duì)于大部分的同學(xué)將來從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作是十分有益的． 3) 起飛平臺(tái) 開拓發(fā)展 《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來》中有這么一句話：“大學(xué)數(shù)學(xué)為許多領(lǐng)域的專業(yè)提供堅(jiān)實(shí)的起飛平臺(tái)．”在21世紀(jì)，大學(xué)數(shù)學(xué)不再是純粹為培養(yǎng)未來數(shù)學(xué)家而設(shè)立的專業(yè)，更主要的是為培養(yǎng)各級(jí)各類數(shù)學(xué)教師和高層次人才打基礎(chǔ)的．掌握大學(xué)數(shù)學(xué)的人，將在計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制、系統(tǒng)規(guī)劃、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理等諸多領(lǐng)域發(fā)揮積極作用，隨著知識(shí)產(chǎn)業(yè)化的進(jìn)程，高等代數(shù)的知識(shí)，數(shù)學(xué)的理論和方法將越來越顯示出強(qiáng)大的經(jīng)濟(jì)效用和社會(huì)效益． 4) 美化心靈 和諧文明 數(shù)學(xué)是美的，作為數(shù)學(xué)各專業(yè)基礎(chǔ)課的高等代數(shù)也是美的，在教學(xué)中同學(xué)們將感受到簡(jiǎn)潔、清晰、對(duì)稱、奇異的代數(shù)“畫面”，享受學(xué)習(xí)進(jìn)程中的快樂．為此，重視標(biāo)準(zhǔn)形等的運(yùn)用和學(xué)習(xí)引導(dǎo)，可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)美的效果．?dāng)?shù)學(xué)的美是心靈深處的美，它對(duì)于培養(yǎng)人們美的情操，開發(fā)個(gè)人智能，構(gòu)建現(xiàn)代和諧文明都將發(fā)揮積極的作用． 總之，學(xué)習(xí)高等代數(shù)有著深刻的基礎(chǔ)、應(yīng)用、素質(zhì)意義和價(jià)值。