2020版高考數(shù)學一輪復習 第九章 算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第二節(jié) 隨機抽樣學案 文（含解析）新人教A版

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1、第二節(jié)　隨機抽樣 2019考綱考題考情 1．簡單隨機抽樣 (1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣。 (2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法。 2．系統(tǒng)抽樣的步驟 假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本。 (1)先將總體的N個個體編號。 (2)確定分段間隔k，對編號進行分段，當是整數(shù)時，取k＝。 (3)在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)。 (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編

2、號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本。 3．分層抽樣 (1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。 (2)分層抽樣的應用范圍： 當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣。 1．隨機數(shù)法編號要求：應保證各號數(shù)的位數(shù)相同，而抽簽法則無限制。 2．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的。 3．系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個體的編號相差的整數(shù)倍。 4．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個

3、體數(shù)乘以抽樣比。 一、走進教材 1．(必修3P100A組T1改編)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析。在這個問題中，5 000名居民的閱讀時間的全體是(　　) A．總體 B．個體 C．樣本的容量 D．從總體中抽取的一個樣本 解析　由題目條件知，5 000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5 000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200。故選A。 答案　A 2．(必修3P64A組T6改編)在一次游戲中，獲獎者可以得到5件不

4、同的獎品，這些獎品要從由1～50編號的50種不同獎品中隨機抽取確定，用系統(tǒng)抽樣的方法為某位獲獎者確定5件獎品的編號可以為(　　) A．5,15,25,35,45 B．1,3,5,7,9 C．11,22,33,44,50 D．12,15,19,23,28 解析　采用系統(tǒng)抽樣的等距抽樣法，抽樣間距為＝10，隨機抽取第1個獎品號，設為a(1≤a≤10)，則其他獎品號分別為10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正確。 答案　A 3．(必修3P64A組T5改編)一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本。已知B層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中

5、的個體數(shù)為(　　) A．40 B．60 C．80 D．120 解析　因為用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本。由B層中每個個體被抽到的概率都為，知道在抽樣過程中每個個體被抽到的概率是，所以總體中的個體數(shù)為10÷＝120。故選D。 答案　D 二、走近高考 4．(2018·全國卷Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異。為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________。 解析　由題意，不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異，故采取分層抽樣法。 答案　分層抽樣 三、走

6、出誤區(qū) 微提醒：①隨機數(shù)表法的規(guī)則不熟出錯；②系統(tǒng)抽樣中先剔除部分個體，再分段；③分層抽樣每層抽取的抽樣比是相同的。 5．總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成。利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為(　　) A．08 B．07 C．02 D．01 解析　從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為08,02,14,07,01，所以第5個個體的編號為01。故選D。 答案　D 6．某公司有員工500人，其中不到35歲的有12

7、5人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為(　　) A．33,34,33 B．25,56,19 C．30,40,30 D．30,50,20 解析　因為125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人數(shù)分別為25人，56人，19人。故選B。 答案　B 7．某學校為了解高一年級1 203名學生對某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，若采用系統(tǒng)抽樣，則分段間隔為________。 解析　因為1 203除以40不是整數(shù)，所以需隨機剔除3個個體，從而每一段有30個個體，則分段間隔為

8、30。 答案　30 考點一簡單隨機抽樣 【例1】　(1)下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為(　　) ①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本； ②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗。在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里； ③從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢查； ④某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽。 A．0 B．1 C．2 D．3 (2)假設要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將800袋牛奶按000,001，

9、…，799進行編號，如果從隨機數(shù)表第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號________。(下面摘取了隨機數(shù)表第7行至第9行) 解析　(1)①不是簡單隨機抽樣。因為被抽取樣本的總體的個體數(shù)是無限的，而不是有限的。②不是簡單隨機抽樣。因為它是放回抽樣。③不是簡單隨機抽樣。因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取。④不是簡單隨機抽樣。因為指定個子最高的5名同學是56名中特指的，不具有隨機性，不是等可能的抽樣。故選A。 (2)找到第8行第7列的數(shù)開始向右讀，第一個符合條件的是785；第二個數(shù)916>799，舍去；第三個數(shù)955>799，舍去；第四個數(shù)567符合題意

10、，這樣再依次讀出結(jié)果為199,507,175。 答案　(1)A　(2)785,567,199,507,175 抽簽法與隨機數(shù)表法的適用情況 1．抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)表法適用于總體中個體數(shù)較多的情況。 2．一個抽樣試驗能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點： 一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻。一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法。 【變式訓練】　(1)下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是(　　) A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2 709的為三等獎 B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每

11、隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格 C．某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學校機構(gòu)改革的意見 D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗 (2)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　　) A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石 解析　(1)A，B不是簡單隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；C不是簡單隨機抽樣，因為總體中的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣。故選D。 (2)設這批米內(nèi)夾谷x石，則由題

12、意知，＝，即x＝×1 534≈169。故選B。 答案　(1)D　(2)B 考點二系統(tǒng)抽樣 【例2】　(1)為了解1 000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(　　) A．50 B．40 C．25 D．20 (2)將高一(九)班參加社會實踐編號為1,2,3，…，48的48名學生，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知5號，29號，41號學生在樣本中，則樣本中還有一名學生的編號是________。 解析　(1)由系統(tǒng)抽樣的定義知，分段間隔為＝25。故選C。 (2)根據(jù)系統(tǒng)抽樣的概念，所抽取的4個樣本的編號應成等差數(shù)列，因為在這組數(shù)

13、中的間距為41－29＝12，所以所求的編號為5＋12＝17。 答案　(1)C　(2)17 用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當不為整數(shù)時，取k＝，即先從總體中用簡單隨機抽樣的方法剔除(N－nk)個個體，且剔除多余的個體不影響抽樣的公平性。 【變式訓練】　某學校采用系統(tǒng)抽樣的方法，從該校高一年級全體800名學生中抽50名學生做視力檢查?，F(xiàn)將800名學生從1到800進行編號。已知從33～48這16個數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機抽到的數(shù)是(　　) A．5 B．7 C．11 D．13 解析　把800名學生分成50組，每組16人，各小組抽到的數(shù)構(gòu)成一個公差為16的等差數(shù)列，39在第

14、3組。所以第1組抽到的數(shù)為39－32＝7。故選B。 答案　B 考點三分層抽樣 【例3】　(1)(2019·河南名校聯(lián)考)《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?50錢，丙帶了180錢，三人一起出關(guān)，共需要交關(guān)稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，則丙應出________錢(所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù))。 (2)某學校三個興趣小組的學生人數(shù)分布如下表(每名同學只參加一個小組)(單位：人)。 籃球組 書畫組 樂器組 高一 45

15、30 a 高二 15 10 20 學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________。 解析　(1)按照錢的多少按比例出錢，所以丙應該出錢為×100＝≈17。 (2)由分層抽樣得＝，解得a＝30。 答案　(1)17　(2)30 1．分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊。 2．進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常用到的兩個關(guān)系 (1)＝。 (2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)

16、之比。 【變式訓練】　(1)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為(　　) 類別 人數(shù) 老年教師 900 中年教師 1 800 青年教師 1 600 合計 4 300 A.90 B．100 C．180 D．300 (2)甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測。若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件。 解析　(1)設該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點

17、得＝，故x＝180。故選C。 (2)由題設，抽樣比為＝。設甲設備生產(chǎn)的產(chǎn)品為x件，則＝50，所以x＝3 000。故乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為4 800－3 000＝1 800。 答案　(1)C　(2)1 800 1．(配合例2使用)某校高三(2)班現(xiàn)有64名學生，隨機編號為0,1,2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1,2,3，…，8?，F(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第1組中隨機抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為________。 解析　由題知分組間隔為＝8，又第1組中抽取的號碼為5，所以第6組中抽取的號碼為5×8＋5＝45。 答案　45 2．(配合例2使用)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示。為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　) A．100,20 B．200,20 C．200,10 D．100,10 解析　由題圖①可知學生總?cè)藬?shù)是10 000，樣本容量為10 000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 000×2%＝40，由題圖②可知高中生的近視率為50%，所以高中生的近視人數(shù)為40×50%＝20。故選B。 答案　B 7