【】2021中考數(shù)學(xué) 第28講 概率

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1、 第28講 概率 考點(diǎn)1 事件的分類 確定性事件 必然事件 在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件，稱為① . 不可能事件 在一定條件下，必然不會(huì)發(fā)生的事件，稱為② . 必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定性事件. 隨機(jī)事件 在一定條件下，③ 的事件，稱為隨機(jī)事件. 考點(diǎn)2 概率的意義與計(jì)算 概率的意義 對于一個(gè)隨機(jī)事件A,我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件發(fā)生的④ . 概率的計(jì)算 一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，

2、事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為：P(A)=⑤ . 求概率的常用方法 ①概率的定義；②列表法；③畫樹狀圖法；④用頻率估計(jì)概率(在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，我們可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率為). 【易錯(cuò)提示】用頻率估計(jì)概率的條件必須是“大量重復(fù)試驗(yàn)”. 1.必然事件的概率是P(A)=1，不可能事件的概率是P(A)=0，隨機(jī)事件的概率0＜P(A)＜1. 2.用面積法求概率：當(dāng)隨機(jī)事件的概率大小與幾何圖形的面積有關(guān)時(shí)，往往利用面積法求概率，計(jì)算公式為P(A)=. 3.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及1個(gè)因素時(shí)，通常采用枚舉法求事件的概率

3、；當(dāng)一次試驗(yàn)涉及2個(gè)因素時(shí)，可用列表法或畫樹狀圖法求概率；當(dāng)一次試驗(yàn)涉及3個(gè)或3個(gè)以上的因素時(shí)，必須用畫樹狀圖法求概率. 命題點(diǎn)1 事件的分類 例1 (2014·聊城)下列說法中不正確的是( ) A.拋擲一枚硬幣，硬幣落地時(shí)正面朝上是隨機(jī)事件 B.把4個(gè)球放入三個(gè)抽屜中，其中一個(gè)抽屜中至少有2個(gè)球是必然事件 C.任意打開七年級下冊數(shù)學(xué)教科書，正好是97頁是確定事件 D.一只盒子中有白球m個(gè)，紅球6個(gè)，黑球n個(gè)(每個(gè)球除了顏色外都相同).如果從中任取一個(gè)球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6 方法歸納：事件分為確定事件和不確定

4、事件，確定事件分為必然事件和不可能事件.本題的易錯(cuò)點(diǎn)在把確定事件當(dāng)作必然事件，從而錯(cuò)選A. 1.(2014·聊城模擬)下列事件：①在足球賽中，弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)；②拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上；③任取兩個(gè)正整數(shù)，其和大于1；④長分別為3、5、9厘米的三條線段能圍成一個(gè)三角形.其中確定事件的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2.(2013·衡陽)“a是實(shí)數(shù)，|a|≥0”這一事件是( ) A.必然事件 B.不確定事件

5、 C.不可能事件 D.隨機(jī)事件 3.(2013·武漢)袋子中裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從袋子中摸出三個(gè)球，下列事件是必然事件的是( ) A.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是黑球 B.摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)球是白球 C.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是黑球 D.摸出的三個(gè)球中至少有兩個(gè)球是白球 4.(2014·孝感)下列事件：①隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數(shù)；②測得某天的最高氣溫是100 ℃；③擲一次骰子，向上一面的數(shù)字是2；④度量四邊形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°.其中是隨

6、機(jī)事件的是 .(填序號(hào)) 5.(2013·沁陽模擬)寫出一個(gè)所描述的事件是不可能事件的成語 . 命題點(diǎn)2 概率的意義 例2 (2014·臺(tái)州)某品牌電插座抽樣檢查的合格率為99%，則下列說法中正確的是( ) A.購買100個(gè)該品牌的電插座，一定有99個(gè)合格 B.購買1 000個(gè)該品牌的電插座，一定有10不個(gè)合格 C.購買20個(gè)該品牌的電插座，一定都合格 D.即使購買1個(gè)該品牌的電插座，也可能不合格 方法歸納：概率反映了一事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)的大小，在分析某個(gè)事件發(fā)生的概率時(shí)，關(guān)鍵要弄清：(1)此事件活

7、動(dòng)中可能出現(xiàn)哪些結(jié)果；(2)理解概率時(shí)要注意：概率只表示事件發(fā)生的可能性的大小，不能說明某種肯定的結(jié)果. 1.(2014·淄博模擬)某籃球運(yùn)動(dòng)員的罰球投籃的命中率大約是83.3%.下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃2次，一定全部命中 B.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃2次，不一定全部命中 C.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃1次，命中的可能性較大 D.該運(yùn)動(dòng)員罰球投籃1次，不命中的可能性較小 2.(2014·德州)下列命題中，真命題是( ) A.若a＞b，則c-a＜c-b B.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%，買100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng) C.點(diǎn)M(x1，

8、y1)，點(diǎn)N(x2，y2)都在反比例函數(shù)y=的圖象上，若x1＞x2，則y1＜y2 D.甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員分別射擊10次，他們射擊成績的方差分別為s2甲=4,s2乙=9，這一過程中乙發(fā)揮比甲更穩(wěn)定 3.(2013·泰州)事件A：打開電視，它正在播廣告；事件B：拋擲一個(gè)均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)小于7；事件C：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于0 ℃時(shí)冰融化.3個(gè)事件的概率分別記為P(A)、P(B)、P(C)，則P(A)、P(B)、P(C)的大小關(guān)系正確的是( ) A.P(C)＜P(A)=P(B) B.P(C)＜P(A)＜P(B) C.P(C)＜P(B)＜P

9、(A) D.P(A)＜P(B)＜P(C) 命題點(diǎn)3 概率的計(jì)算 例3 (2014·成都)第十五屆中國“西博會(huì)”將于2014年10月底在成都召開，現(xiàn)有20名志愿者準(zhǔn)備參加某分會(huì)場的工作，其中男生8人，女生12人. (1)若從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，求選到女生的概率； (2)若該分會(huì)場的某項(xiàng)工作只在甲、乙兩人中選一人，他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰參加，游戲規(guī)則如下：將四張牌面數(shù)字分別為2、3、4、5的撲克牌洗勻后，數(shù)字朝下放于桌面，從中任取2張，若牌面數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲參加，否則乙參加.試問這個(gè)游戲公平嗎？并說明理由. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)概率的

10、意義即可求得； (2)先用枚舉法、列表法或樹狀圖法確定出兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，以及和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，從而求出甲、乙概率的大小，做出判斷. 【解答】 方法歸納：如果可能出現(xiàn)的結(jié)果較少，用枚舉法簡單；如果二次性操作且結(jié)果的可能性較多時(shí)，列表法和畫樹狀圖法可以不重不漏列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.本題注意是二次無放回抽取，關(guān)鍵字“任取2張”，注意和有放回抽取的區(qū)別. 1.(2014·金華)一個(gè)布袋里裝有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外其他完全相同，從中任意摸出一個(gè)球，是紅球的概率是( ) A. B.

11、 C. D. 2.(2014·蘇州)如圖，一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤被分成6個(gè)圓心角都為60°的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向陰影區(qū)域的概率是( ) A. B. C. D. 3.(2014·杭州)讓圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)指針分別落在某兩個(gè)數(shù)所表示的區(qū)域，則這兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)或是3的倍數(shù)的概率等于( ) A. B. C

12、. D. 4.(2014·日照)小英同時(shí)擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的小立方體(立方體的每個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6).記甲立方體朝上一面上的數(shù)字為x、乙立方體朝上一面上的數(shù)字為y，這樣就確定點(diǎn)P的一個(gè)坐標(biāo)(x，y)，那么點(diǎn)P落在雙曲線y=上的概率為( ) A. B. C. D. 5.(2014·濱州)在一個(gè)口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4.小明和小強(qiáng)采取了不同的摸取方法，分別是： 小明：隨機(jī)摸取一個(gè)小球記

13、下標(biāo)號(hào)，然后放回，再隨機(jī)地摸取一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)； 小強(qiáng)：隨機(jī)摸取一個(gè)小球記下標(biāo)號(hào)，不放回，再隨機(jī)地摸取一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)； (1)用畫樹狀圖(或列表法)分別表示小明和小強(qiáng)摸球的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果； (2)分別求出小明和小強(qiáng)兩次摸球的標(biāo)號(hào)之和等于5的概率. 1.(2013·遂寧)以下問題，不適合用全面調(diào)查的是( ) A.了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時(shí)間 B.旅客上飛機(jī)前的安檢 C.學(xué)校招聘教師，對應(yīng)聘人員面試 D.了解全市中小學(xué)生每天的零花錢 2.(2014·益陽)小玲在一次班會(huì)中參與知識(shí)搶答活動(dòng)，現(xiàn)有語文題6個(gè)，數(shù)學(xué)題5個(gè)，綜合

14、題9個(gè)，她從中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽中數(shù)學(xué)題的概率是( ) A. B. C. D. 3.(2014·東營)小明把如圖所示的平行四邊形紙板掛在墻上，玩飛鏢游戲(每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等)，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是( ) A. B. C. D. 4.(2013·青島)一個(gè)不透明的口袋裝有除顏色外都相同的五個(gè)白球和若干個(gè)

15、紅球，在不允許將球倒出來數(shù)的情況下，小亮為了估計(jì)其中的紅球數(shù)，采用如下方法：先將口袋中的球搖勻，再從口袋里隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過程.小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球.因此小亮估計(jì)口袋中的紅球大約有( ) A.45個(gè) B.48個(gè) C.50個(gè) D.55個(gè) 5.(2014·泰安)在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球，它們的標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下其標(biāo)號(hào)后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的小球的標(biāo)號(hào)之和大于4的概率是( ) A.

16、 B. C. D. 6.(2014·泰州)任意拋擲一枚均勻的骰子一次，朝上的點(diǎn)數(shù)大于4的概率等于 . 7.(2014·長沙)100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，現(xiàn)從中任意抽取1件進(jìn)行檢測，抽到不合格產(chǎn)品的概率是 . 8.(2013·大連)某林業(yè)部門統(tǒng)計(jì)某種幼樹在一定條件下的移植成活率，結(jié)果如下表所示： 移植總數(shù)(n) 400 750 1 500 3 500 7 000 9 000 14 000 成活數(shù)(m) 369 662 1 335 3 203 6 335

17、 8 073 12 628 成活的頻率mn 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這種幼樹移植成活率的概率為 (精確到0.1). 9.(2014·內(nèi)江)有6張背面完全相同的卡片，每張正面分別畫有三角形、平行四邊形、矩形、正方形、梯形和圓，現(xiàn)將其全部正面朝下攪勻從中任取一張卡片，抽中正面畫的圖形是中心對稱圖形的概率為 . 10.(2014·臺(tái)州)抽屜里放著黑白兩種顏色的襪子各1雙(除顏色外其余都相同)，在看不見的情況下隨機(jī)摸出兩只襪子，他們恰好同色的概率是

18、 . 11.(2014·涼山)涼山州某學(xué)校積極開展“服務(wù)社會(huì)，提升自我”的志愿者服務(wù)活動(dòng)，來自九年級的5名同學(xué)(三男兩女)成立了“交通秩序維護(hù)”小分隊(duì)，若從該小分隊(duì)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交通秩序維護(hù)，則恰是一男一女的概率是. 12.(2014·溫州)一個(gè)不透明的袋中裝有20個(gè)只有顏色不同的球，其中5個(gè)黃球，8個(gè)黑球，7個(gè)紅球. (1)求從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率； (2)現(xiàn)從袋中取出若干個(gè)黑球，攪勻后，使從袋中摸出一個(gè)球是黑球的概率是.求從袋中取出黑球的個(gè)數(shù). 13.(2014·徐州)某學(xué)習(xí)小組由3名男生和1名女生組成，在一次合作學(xué)習(xí)后，開始進(jìn)行成果展示.

19、 (1)如果隨機(jī)抽取1名同學(xué)單獨(dú)展示，那么女生展示的概率為 ； (2)如果隨機(jī)抽取2名同學(xué)共同展示，求同為男生的概率. 14.(2014·淄博)節(jié)能燈根據(jù)使用壽命分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級，其中使用壽命大于或等于8 000小時(shí)的節(jié)能燈是優(yōu)等品，使用壽命小于6 000小時(shí)的節(jié)能燈是次品，其余的節(jié)能燈是正品，質(zhì)監(jiān)部門對某批次的一種節(jié)能燈(共200個(gè))的使用壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，并將結(jié)果整理成下表. 壽命(小時(shí)) 頻數(shù) 頻率 4 000≤t<5 000 10 0.05 5 000≤t<6 000 20 a 6 000≤t<7 000

20、 80 0.40 7 000≤t<8 000 b 0.15 8 000≤t<9 000 60 c 合計(jì) 200 1 (1)根據(jù)分布表中的數(shù)據(jù)，在答題卡上寫出a，b，c的值； (2)某人從這200個(gè)節(jié)能燈中隨機(jī)購買1個(gè)，求這種節(jié)能燈恰好不是次品的概率. 15.(2014·云南)某市“藝術(shù)節(jié)”期間，小明、小亮都想去觀看茶藝表演，但是只有一張茶藝表演門票，他們決定采用抽卡片的辦法確定誰去，規(guī)定如下：將正面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四張卡片(除數(shù)字外其余都相同)洗勻后，背面朝上放置在桌面上，隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字后放回，重新洗勻后背面朝上放置在桌面上

21、，再隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字，若兩個(gè)數(shù)字的和為奇數(shù)，則小明去；若兩個(gè)數(shù)字的和為偶數(shù)，則小亮去. (1)請用列表或畫樹形圖(樹狀圖)的方法表示抽出的兩張卡片上的數(shù)字和的所用可能出現(xiàn)的結(jié)果； (2)你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎？請說明理由. 16.(2014·寧波)如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中有9個(gè)格點(diǎn)，已經(jīng)取定點(diǎn)A和B，在余下的7個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形的概率是( ) A. B. C. D. 17.(2014·黃石)一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中每一個(gè)點(diǎn)

22、都是等可能的，用A表示“實(shí)驗(yàn)結(jié)果落在D中的某個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=.如圖，現(xiàn)在等邊△ABC內(nèi)射入一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)切圓中的概率是 . 18.(2014·巴中)在四邊形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，在這四個(gè)條件中任選兩個(gè)作為已知條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的概率是 . 19.(原創(chuàng))如圖所示，電路圖上有四個(gè)開關(guān)A，B，C，D和一個(gè)小燈泡，閉合開關(guān)D或同時(shí)閉合開關(guān)A，B，C都可以使小燈泡發(fā)光. (1)任意閉合其中一個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于

23、 ； (2)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，請用畫樹狀圖或列表的方法求出小燈泡發(fā)光的概率. 20.(2014·安徽)如圖，管中放置同樣的繩子AA1、BB1、CC1. (1)小明從這三根繩子中隨機(jī)選一根，恰好選中繩子AA1的概率是多少？ (2)小明先從左端A、B、C三個(gè)繩頭中隨機(jī)選兩個(gè)打一個(gè)結(jié)，再從右端A1、B1、C1三個(gè)繩頭中隨機(jī)選兩個(gè)打一個(gè)結(jié)，求這三根繩子能連接成一根長繩子的概率. 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①必然事件 ②不可能事件 ③可能發(fā)生也可能不發(fā)生 ④概率 ⑤ 各個(gè)擊破 例1 C 題組訓(xùn)練 1.B 2.A 3.

24、A 4.①③ 5.答案不唯一：拔苗助長等 例2 D 題組訓(xùn)練 1.A 2.A 3.B 例3 (1)20人中有12人是女生， ∴P(女生)==. (2)解法一(枚舉法)：任取2張，所有可能的結(jié)果23,24,25,34,35,45，共6種， 其中和為偶數(shù)的結(jié)果有：“24”和“35”2種， ∴P(甲參加)==，P(乙參加)=， ∴游戲不公平. 解法二(列表法)：列表如下： 2 3 4 5 2 (3，2) (4，2) (5，2) 3 (2，3) (4，3) (5，3) 4 (2，4) (3，4) (5，4) 5 (2，5

25、) (3，5) (4，5) ∴P(甲參加)==，P(乙參加)=， ∴游戲不公平. 解法三(樹狀圖法)：畫樹狀圖如下： ∴P(甲參加)==，P(乙參加)=， ∴游戲不公平. 題組訓(xùn)練 1.D 2.D 3.C 4.C 5.(1)畫樹狀圖如下： (2)P(小明兩次摸球的標(biāo)號(hào)之和等于5)==. P(小強(qiáng)兩次摸球的標(biāo)號(hào)之和等于5)==. 整合集訓(xùn) 1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6. 7. 8.0.9 9. 10. 11. 12.(1)20個(gè)球里面有5個(gè)黃球，故P1===. (2)設(shè)從袋中取出x(0

26、黑球，則 ∴=，解得x=2. 經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的解，且符合題意. 答：從袋中取出黑球的個(gè)數(shù)為2個(gè). 13.(1). (2)畫樹狀圖如下： ∴所有可能的結(jié)果共有12種，兩人都是男生的結(jié)果有6種. ∴P（兩男）==. 14.(1)a=0.1，b=30，c=0.3； (2)這批節(jié)能燈中，優(yōu)等品有60個(gè)，正品有110個(gè)，次品有30個(gè)，此人購買的1個(gè)節(jié)能燈恰好不是次品的概率為：P==0.85. 15.(1) 由樹狀圖可知共出現(xiàn)了16種等可能的結(jié)果. (2)出現(xiàn)的奇數(shù)有8個(gè)，則 P(和為奇數(shù))＝＝； P(和為偶數(shù))＝＝. ∵P(和為奇數(shù))＝P(和為偶數(shù))， ∴游

27、戲公平. 16.D 17.π 18. 19.(1). (2)畫樹狀圖如圖： 由電路圖知，只要接通D，小燈泡就能發(fā)光， ∴P(小燈泡發(fā)光)==. 20.(1)小明可選擇的情況有三種，每種發(fā)生的可能性相等，恰好選中繩子AA1的情況為一種，所以小明恰好選中繩子AA1的概率為. (2)依題意，分別在兩端隨機(jī)任選兩頭打結(jié)，總共有三類9種情況，列表如下，每種發(fā)生的可能性相等. A1B1 B1C1 A1C1 AB AB、A1B1 AB、B1C1 AB、A1C1 BC BC、A1B1 BC、B1C1 BC、A1C1 AC AC、A1B1 AC、B1C1 AC、A1C1 其中左、右打結(jié)是相同字母(不考慮下標(biāo))的情況，不可能連接成為一根長繩. ∴能連接成為一根長繩的情況有6種， ∴三根繩子連接成為一根長繩的概率為P==. 9