微專題：構造函數(shù)法解選填壓軸題

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微專題：構造函數(shù)法解選填壓軸題 高考中要取得高分，關鍵在于選準選好的解題方法，才能省時省力又有效果。近幾年各地高考數(shù)學試卷中，許多方面尤其涉及函數(shù)題目，采用構造函數(shù)法解答是一個不錯的選擇。所謂構造函數(shù)法是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題相關函數(shù)，并對其進行觀察分析，借助函數(shù)本身性質如單調性或利用運算結果，解決原問題方法，簡而言之就是構造函數(shù)解答問題。怎樣合理的構造函數(shù)就是問題的關鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。 幾種導數(shù)的常見構造： 1．對于，構造 若遇到，則可構 2．對于，構造 3．對于，構造 4．對于 [或]，構造 5．對于，構造 6．對于，構造 一、構造函數(shù)法比較大小 例1．已知函數(shù)的圖象關于y軸對稱,且當成立，，，,則的大小關系是 ( ) 【解析】因為函數(shù)關于軸對稱,所以函數(shù)為奇函數(shù).因為, 所以當時,,函數(shù)單調遞減, 當時,函數(shù)單調遞減. 因為,,,所以,所以,選D. 變式: 已知定義域為的奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，， 若，則下列關于的大小關系正確的是（ D ） 例2．已知為上的可導函數(shù)，且，均有，則有 A．， B．， C．， D．， 【解析】構造函數(shù)則， 因為均有并且，所以，故函數(shù)在R上單調遞減， 所以，即 也就是，故選D． 變式: 已知函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，且對于任意恒成立，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（ C ） 例3．在數(shù)列中，．則數(shù)列中的最大項為( )． A．　　　 B． C． 　 D．不存在 【解析】由已知，，， 易得. 猜想當時，是遞減數(shù)列 又由知，令， 則 當時，，則，即 在內(nèi)為單調遞減函數(shù)， 時，是遞減數(shù)列，即是遞減數(shù)列 又，數(shù)列中的最大項為 故選B． 練習1．已知函數(shù)對任意的滿足,則（ ）A． B. C. D. 提示：構造函數(shù)，選D． 二、構造函數(shù)法解恒成立問題 例1．若函數(shù)y=在R上可導且滿足不等式恒成立，對任意正數(shù)、，若，則必有（ ） A．　　　 B． C． 　 D． 【解析】由已知 ∴構造函數(shù) ， 則， 從而在R上為增函數(shù)。 ∴ 即，故選C。 例2．已知是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足≤0，對任意正數(shù)、，若，則必有（ ） A．　　　 B． C． 　 D． 【解析】，，故在（0，+∞）上是減函數(shù)， 由，有，即 。故選A。 變式1.設是上的可導函數(shù)，分別為的導函數(shù)，且滿足，則當時，有（ C ） 變式2. 設函數(shù) 時，有（ C ） A． B． C． D． 例3．設函數(shù)在R上的導函數(shù)為，且，下面不等式恒成立的是（ ） A．　　　 B． C． 　 D． 【解析】由已知，首先令得，排除B，D． 令，則， ①　當時，有， 所以函數(shù)單調遞增，所以當時， ，從而． ②　當時，有， 所以函數(shù)單調遞減，所以當時， ，從而． 綜上．故選A． 例4． 如果，那么下面的不等式恒成立的是（ ） A． 　　　 B． C． 　 D． 【解析】構造函數(shù)，易證在R上是奇函數(shù)且單調遞增 + ==lg1 = 0 即： 又是增函數(shù) 即。故選B． 練習1. 已知，則實數(shù)的關系是（ D ） A. B. C. D. 【解析】構造函數(shù)，是增函數(shù)，又，，故選D． 練習2. 已知函數(shù)是R上的可導函數(shù)，當時，有,則函數(shù)的零點個數(shù)是( B ) A.0 B.1 C. 2 D.3 【解析】由，得，構造函數(shù)， 則 ，∵當時，有,∴當時， 即當時，，此時函數(shù)單調遞增，此時， 當時，，此時函數(shù)單調遞減，此時， 作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，（直線只代表單調性和取值范圍），由圖象可知函數(shù)的零點個數(shù)為1個．故選B． 三、構造函數(shù)法解不等式 例1.函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，，則f(x)＞2x＋4的解集為(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 【解析】構造函數(shù)G(x)＝f(x)－2x－4，所以，由于對任意x∈R，， 所以>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函數(shù)， 又由于G(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0， 即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)，故選B. 變式1. 已知函數(shù)滿足，且，則的解集為（ ） A. B. C. D. 【解析】構造新函數(shù), 則， ，對任意，有，即函數(shù)在R上單調遞減， 所以的解集為，即的解集為，選D. 變式2.定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)滿足，且，則關于的不等式的解集為 變式3.已知函數(shù)為定義在上的可導函數(shù)，且對于任意恒成立，且，則的解集為 變式4.函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（ A ） A. B. C. D. 例2 設是定義在R上的奇函數(shù)，且，當時，有恒成立，則不等式的解集是 解：因為當x＞0時，有恒成立，即[]′＜0恒成立， 所以在內(nèi)單調遞減． 因為，所以在（0，2）內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有． 又因為是定義在R上的奇函數(shù)， 所以在內(nèi)恒有；在內(nèi)恒有． 又不等式的解集，即不等式的解集．所以答案為∪（0，2）． 變式1. 已知定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式 的解集為（ C ） A B. C. D. 變式2.函數(shù)的定義域為R，，對任意x∈R，都有成立，則不等式的解集為（ C ） A. B. C. D. 變式3. 設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，,則不等式的解集為（ D ） A. B. C. D. 變式4.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),,且時,,則不等式的解集是__________（提示：構造的為奇函數(shù)，） 例4設是上的可導函數(shù)，，，則不等式的解集為 變式1．設分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當時，，，則不等式的解集為 . 變式2．已知上的函數(shù)滿足，且，若，則關于的不等式的解集為 . 變式3. 設奇函數(shù)定義在上，其導函數(shù)為，且，當時，，則關于的不等式的解集為_. （提示：構造的為偶函數(shù)） 四、構造函數(shù)法求值 例1．設是上的可導函數(shù)，且，，.則的值為 . 提示：由得，所以，即， 設函數(shù)，則此時有， 故， 變式．已知的導函數(shù)為，當時，，且，若存在，使，則的值為 1 .（提示：構造） 例2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且， ，若有窮數(shù)列的前項和等于，則等于 5 . 解：∵ ，∴， 即函數(shù)單調遞減，∴0＜a＜1．又， 即 ∴解得或a=2（舍去）． ∴，即， 數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列， ∴，由，解得n=5。 變式1． 已知,都是定義在R上的函數(shù)，，，且 （，且）。，若數(shù)列的前項和大于62，則的最小值為（ A ） A 8 B 7 C 6 D 5 變式2．已知、都是定義在R上的函數(shù)，，，．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)， 的值介于4到8之間的概率是（　　） 　 A． B． C． D． 解：由題意，，∴[ ]＜0， ∴函數(shù)在R上是減函數(shù)，∵，∴0＜a＜1 ∵． ∴∴ ∵的值介于4到8，∴ ∴在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于4到8之間的概率是，故選A． 【模型總結】 關系式為“加”型 （1） 構造 （2） 構造 （3） 構造 （注意對的符號進行討論） 關系式為“減”型 （1） 構造 （2） 構造 （3） 構造 （注意對的符號進行討論） 構造函數(shù)法是在求解某些數(shù)學問題時，根據(jù)問題的條件或目標，構想組合一種新的函數(shù)關系，使問題在新函數(shù)下轉化并利用函數(shù)的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數(shù)法解題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要解決的目標。 9