吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2020年高中數(shù)學(xué) 3.3幾何概型教案 新人教A必修3

3.3 幾何概型 3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、 知識(shí)與技能：（1）正確理解幾何概型的概念； （2）掌握幾何概型的概率公式： P（A）=； （3）會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型； （4）了解均勻隨機(jī)數(shù)的概念； （5）掌握利用計(jì)算器（計(jì)算機(jī)）產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的方法； （6）會(huì)利用均勻隨機(jī)數(shù)解決具體的有關(guān)概率的問題． 2、 過程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，通過師生共同探究，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)腦的良好習(xí)慣。 3、 情感態(tài)度與價(jià)值觀：本節(jié)課的主要特點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)多，學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。 二、重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1、幾何概型的概念、公式及應(yīng)用； 2、利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)并運(yùn)用到概率的實(shí)際應(yīng)用中． 三、學(xué)法與教學(xué)用具：1、通過對(duì)本節(jié)知識(shí)的探究與學(xué)習(xí)，感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數(shù)學(xué)思想與邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；2、教學(xué)用具：投燈片，計(jì)算機(jī)及多媒體教學(xué)． 四、教學(xué)設(shè)想： 1、創(chuàng)設(shè)情境：在概率論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況。例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是8：00至9：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)……這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個(gè)。 2、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型； （2）幾何概型的概率公式： P（A）=； （3）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 1、 例題分析： 課本例題略 例1 判下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概度是古典概型， 還是幾何概型。 （1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率； （2）如課本P132圖3．3-1中的(2)所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。 分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)。 解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型； （2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型． 例2 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率． 分析：假設(shè)他在0～60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個(gè)時(shí)刻,不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班,他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無關(guān),這符合幾何概型的條件. 解:設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘},我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于[50,60]這一時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率為． 小結(jié)：在本例中，到站等車的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從[0,60]上的均勻分布，X為[0,60]上的均勻隨機(jī)數(shù)． 練習(xí)：1．已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率。 2．兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率． 解：1．由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)= ； 2．記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A)= =． 例3 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油，假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是多少？ 分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機(jī)的而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積，有幾何概型公式可以求得概率。 解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= ==0.004． 答：鉆到油層面的概率是0.004． 例4 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？ 分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的10毫克種子可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算其概率。 解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則 P(A)= ==0.01． 答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01． 例5 取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？ 分析：在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍[0，3]內(nèi)的任意數(shù)，并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果（基本事件）對(duì)應(yīng)[0，3]上的均勻隨機(jī)數(shù)，其中取得的[1，2]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)距離在[1，2]內(nèi)，也就是剪得兩段長(zhǎng)都不小于1m。這樣取得的[1，2]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與[0，3]內(nèi)個(gè)數(shù)之比就是事件A發(fā)生的概率。 解法1：（1）利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND． （2）經(jīng)過伸縮變換，a=a1*3． （3）統(tǒng)計(jì)出[1，2]內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N1和[0，3] 內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)N． （4）計(jì)算頻率fn(A)=即為概率P（A）的近似值． 解法2：做一個(gè)帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標(biāo)上刻度[0，3]（這里3和0重合）．轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤記下指針在[1，2]（表示剪斷繩子位置在[1，2]范圍內(nèi)）的次數(shù)N1及試驗(yàn)總次數(shù)N，則fn(A)=即為概率P（A）的近似值． 小結(jié)：用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍。解法2用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大；解法1用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)． 例6 在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，求這個(gè)正方形的面積介于36cm2 與81cm2之間的概率． 分析：正方形的面積只與邊長(zhǎng)有關(guān)，此題可以轉(zhuǎn)化為在12cm長(zhǎng)的線段AB上任取一點(diǎn)M，求使得AM的長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間的概率． 解：（1）用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組[0，1]內(nèi)均勻隨機(jī)數(shù)a1=RAND． （2）經(jīng)過伸縮變換，a=a1*12得到[0，12]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)． （3）統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和[6，9]內(nèi)隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N1 （4）計(jì)算頻率． 記事件A={面積介于36cm2 與81cm2之間}={長(zhǎng)度介于6cm與9cm之間}，則P（A）的近似值為fn(A)=． 4、課堂小結(jié)：1、幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度成比例； 2、均勻隨機(jī)數(shù)在日常生活中，有著廣泛的應(yīng)用，我們可以利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)，從而來模擬隨機(jī)試驗(yàn)，其具體方法是：建立一個(gè)概率模型，它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數(shù) ）有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)，并通過這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來確定這些量． 5、自我評(píng)價(jià)與課堂練習(xí)： 1．在500ml的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能確定 2．平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率． 3．某班有45個(gè)，現(xiàn)要選出1人去檢查其他班的衛(wèi)生，若每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，則恰好選中學(xué)生甲主機(jī)會(huì)有多大？ 4．如圖3-18所示，曲線y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個(gè)區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個(gè)正方形，向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，利用計(jì)算機(jī)來模擬這個(gè)試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。 6、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)： 1．C（提示：由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件A：“在取出2ml的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比=0.004） 2．解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A，為了確定硬幣的位置，由2a r o M 硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖所示，這樣線段OM長(zhǎng)度（記作OM）的取值范圍就是[o,a]，只有當(dāng)r＜OM≤a時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）== 3．提示：本題應(yīng)用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，請(qǐng)按照下面的步驟獨(dú)立完成。 （1）用1~45的45個(gè)數(shù)來替代45個(gè)人； （2）用計(jì)算器產(chǎn)生1~45之間的隨機(jī)數(shù)，并記錄； （3）整理數(shù)據(jù)并填入下表 試 驗(yàn) 次 數(shù) 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050 1出現(xiàn) 的頻數(shù) 1出現(xiàn) 的頻率 （4）利用穩(wěn)定后1出現(xiàn)的頻率估計(jì)恰好選中學(xué)生甲的機(jī)會(huì)。 4．解：如下表，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例0~1之間的隨機(jī)數(shù)，它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)。如果一個(gè)點(diǎn)（x,y）滿足y≤-x2+1，就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最后一列相應(yīng)地就填上1，否則填0。 x y 計(jì)數(shù) 0.598895 0.940794 0 0.512284 0.118961 1 0.496841 0.784417 0 0.112796 0.690634 1 0.359600 0.371441 1 0.101260 0.650512 1 … … … 0.947386 0.902127 0 0.117618 0.305673 1 0.516465 0.222907 1 0.596393 0.969695 0 7、作業(yè)：根據(jù)情況安排