江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學二輪復習 專題強化訓練7

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1、專題強化訓練7 1.在中，三個內(nèi)角所對的邊分別為，已知， ，且。 （1）求角B的大小； （2）若的外接圓的半徑為1，求的面積。 解(1)(2) 2.已知函數(shù)f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為． （1）求函數(shù)y=f（x）的解析式； （2）當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的值域． 解：（1）∵f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）=λ﹣3 =cos（2ωx+）+﹣3，…（2分）又∵函數(shù)f（x）的最大值為2，可得：+﹣3=2，解得：λ=5，最小正周期為=，解得：ω=， ∴f（x）=cos（3x+）﹣…（6分） （2）

2、∵，∴，…（9分） ∴，…（13分）∴， 所以f（x）的值域是．…（14分） 3.已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），記函數(shù)f（x）=（+）?（﹣）．若函數(shù)y=f（x）的周期為4，且經(jīng)過點M（1，）． （1）求ω的值； （2）當﹣1≤x≤1時，求函數(shù)f（x）的最值． 解：（1）f（x）=（+）?（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由題意得：周期，故； （2）∵圖象過點M（1，），∴﹣cos（2φ）=， 即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，則f（x）=﹣cos（）． 當﹣1≤x≤1時，，∴． ∴當x=﹣時，f（x）min=﹣1

3、，當x=1時，． 4.在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為，且 （1）求角A的值；（2）若三角形面積為，且，求三角形ABC的周長. 解:（1）因為 ，由正弦定理得 ， 即=sin(A+C) ． …………4分 因為B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以． 因為B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以，因為，所以． ………………7分 （2）△ABC的面積為，且 由， ．所以……………12分 周長

4、 ………………14分 A B C x O 5.如圖已知四邊形AOCB中,,,點B位于第一象限，若△BOC為正三角形.（1）若求點A的坐標； （2）記向量與的夾角為，求的值. 解：（1）………………2分 ………………5分 點坐標為………………7分 （2）向量…9分……12分因此，………………14分 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinB+acosB=c． （Ⅰ）求角A的大?。? （Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值為2，將y=f（x）的圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長到

5、原來的倍后便得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）的最小正周期為π．當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的值域． 解：（Ⅰ）△ABC中，∵， ∴，∵C=π﹣（A+B）， ∴=， ∴，∵0＜A＜π，∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，∴λ﹣3=2，從而λ=5， ∴， 從而，∴，∴．當時，， ∴，從而， ∴f（x）的值域為． 7.如圖所示，角為鈍角，且，點分別在角的兩邊上． （Ⅰ）若，求的長； （Ⅱ）設(shè)，且，求的值． 解：（Ⅰ）因為角為鈍角，且，所以…………2分 在中，由， 得……………………5分 解得或(舍)，即的長為2………………7分 （Ⅱ）由，得………………

6、…………………………………9分 又，………………………………11分 所以 …………………………………14分 8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2． （1）求tanC的值； （2）若△ABC的面積為3，求b的值． 解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：， ∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得， ∴a2=b2﹣=，即a=． ∴cosC===． ∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2． （2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3． 9.在銳角中,角、、所對的邊長分別為、、向量

7、,且.(1)求角的大小; (2)若面積為,,求的值. 解：(1) 為銳角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由題設(shè),得 聯(lián)立, 解得或 10. 已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R），且函數(shù)f（x）的最大值為2，最小正周期為，并且函數(shù)f（x）的圖象過點（，0）． （1）求函數(shù)f（x）解析式； （2）設(shè)△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（）=2，c=，求a+2b的取值范圍． 解：（1）根據(jù)題意得：A=2，ω=4

8、，即f（x）=2sin（4x+φ）， 把（，0）代入得：2sin（+φ）=0，即sin（+φ）=0， ∴+φ=0，即φ=﹣， 則f（x）=2sin（4x﹣）； （2）由f（）=2sin（C﹣）=2，即sin（C﹣）=1， ∴C﹣=，即C=，由正弦定理得： ==2R，即=2R=1， ∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（﹣A）=sinA+2sincosA﹣2cossinA=sinA+cosA﹣sinA=cosA，∵＜cosA＜1，即＜cosA＜， ∴a+2b的范圍為（，）． 11. 已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sin

9、β），=（﹣1，0）． （1）求向量的長度的最大值；（2）設(shè)α=，且⊥（），求cosβ的值． 解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），則||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）． ∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2． 當cosβ=﹣1時，有|b+c|=2，所以向量的長度的最大值為2． （2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ）， ?（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα． ∵⊥（），∴?（）=0，即cos（α﹣β）=cosα． 由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z）， ∴β

10、=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1． 12. 已知函數(shù)． （1）設(shè)，且，求θ的值； （2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面積為，求sinA+sinB的值． 解：（1）==．（3分） 由 得 于是（k∈Z） 因為 所以 （7分） （2）因為C∈（0，π），由（1）知．（9分） 因為△ABC的面積為，所以，于是．① 在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b． 由余弦定理得，所以a2+b2=7．② 由①②可得或于是．（12分） 由正弦定理得， 所以．（14分） 15.在三角形中，角，，所對的邊分別是，，．已知，．

11、 （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解】（1）由余弦定理，，……………………………………………………3分將，代入，解得：．………………………………………………………………6分 （2）由正弦定理，， 由正弦定理可得，， 將，代入解得．………………………………………………………………14分 16.如圖，是等邊三角形，點在邊的延長線上，且，. （1）求長度；（2）求的值. 解：（1）設(shè)，中有余弦定理： ， ∴，，即； （2），中由余弦定理：， ∴，∴. 17.如圖，在平面上，點，點在單位圓上，（） （1）若點，求的值； （2

12、）若，，求. （1）由于，，所以， ， 所以， 所以 ； （2）由于,, 所以, . 所以，所以， 所以. 18.已知向量=（5cosα，4），=（3，4tanα），其中α∈（，π）． （1）若∥，求sin2α的值； （2）若||=5，向量=（2，0），求證：（+）⊥． （1）解：∵=（5cosα，4），=（3，4tanα），且， ∴5cosα?4tanα﹣12=0，得20sinα=12，sin， ∵α∈（，π），∴cosα=，∴sin2α=2sinα

13、cosα=； （2）證明：，得cosα=﹣，則sinα=，tanα=﹣， ∴=（5cosα，4）=（﹣3，4），=（3，4tanα）=（3，﹣）， 則，∵=（2，0），∴（+）?=0×． 則（+）⊥． 19.已知△ABC的角A，B，C的對邊依次為a，b，c，若滿足， （Ⅰ）求∠C大??； （Ⅱ）若c=2，且△ABC為銳角三角形，求a2+b2取值范圍． 解：（Ⅰ）∵tanA?tanB﹣tanA﹣tanB=， ∴=﹣，即tan（A+B）=﹣tanC=﹣， ∴tanC=，∵∠C為三角形的內(nèi)角，則∠C=； （II）∵∠A與∠B為銳角，且∠A+∠B=π﹣∠C=，即∠B=﹣∠A， ∴

14、＜∠A＜，∴＜2∠A﹣＜，∵c=2，sinC=， ∴由正弦定理===得：a=sinA，b=sinB， ∴a2+b2=（sinA+sinB）=[sinA+sin（﹣A）]=+sin（2A﹣）， ∵＜2∠A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，即＜+sin（2A﹣）≤8，則a2+b2的范圍為（，8]． 20.已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=． （1）求tan的值；（2）求sinα的值． 解：（1）∵，且，∴，解得， ∵，∴，∴，∴． （2）∵，， ∴， 又，故， ∴， ∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）

15、sinβ=． 21.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑，B，C為不同于P，Q的兩點，如圖所示， 記∠PAB=θ． （1）若BC=，求四邊形PBCQ的面積的最大值； （2）若BC=1，求?的最大值． 解：（1）∵，∴∠BAC=；由∠PAB=θ得∠CAQ=； ∴S四邊形PBCQ=S△PAB+S△ABC+S△CAQ == =； ∵，∴當時，S四邊形PBCQ取得最大值； （2）當BC=1時，∠BAC=，∠PAC=； ∴ = =﹣1 = ==；∵； ∴時，取得最大值． 江蘇省啟東中學高三數(shù)學二輪專題強化訓練2020.1

16、 題型二實際應用問題 1.如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心，AB為直徑)，現(xiàn)計劃對其進行改建．在AB的延長線上取點D，OD＝80 m，在半圓上選定一點C，改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為S m2．設(shè)∠AOC＝x rad． (1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x)，并指出x的取值范圍； (2)試問∠AOC多大時，改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值． A B O C D (1)因為扇形?AOC的半徑為?40 m，∠AOC＝x?rad， 所以?扇形AOC的面積S扇形AO

17、C＝＝800x，0＜x＜π． …………… 2分 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x， 所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．…… 5分從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． …………………7分 2. 無錫市政府決定規(guī)劃地鐵三號線，該線起于惠山區(qū)惠山城鐵站，止于無錫新區(qū)碩放空港產(chǎn)業(yè)園內(nèi)的無錫機場站，全長28公里，目前惠山城鐵站和無錫機場站兩個站點已經(jīng)建好，余下的工程是在已經(jīng)建好的站點之間鋪設(shè)軌道和等距離修建?？空?，經(jīng)有關(guān)部門預算，修建一個?？空镜馁M

18、用為6400萬元，鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩個?？空局g的軌道費用為，設(shè)余下工程的總費用為萬元.（?？空疚挥谲壍纼蓚?cè)，不影響軌道總長度）（1）試將表示成的函數(shù)； （2）需要建多少個?？空静拍苁构こ藤M用最小，并求最小值. (1)設(shè)需要修建個停靠站，則個?？空緦?8公里的軌道分成相等的段， ， ， 化簡得 （萬元） 當且僅當，即，取等號， 答：需要建13個停車站才能使工程費用最小，最小值費用為128028萬元. 3.如圖所示，某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個活動中心，其中米．活動中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形，上部分是以

19、為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米，其中該太陽光線與水平線的夾角滿足. （1）若設(shè)計米，米，問能否保證上述采光要求？ F A B E D G C ←南 居 民 樓 活 動 中 心 （2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計與的長度，可使得活動中心的截面面積最大？（注：計算中取3） 解：如圖所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系． （1）因為，，所以半圓的圓心為， 半徑．設(shè)太陽光線所在直線方程為，

20、 即， ...............2分 則由， 解得或（舍）. 故太陽光線所在直線方程為， ...............5分 令，得米米. 所以此時能保證上述采光要求. ...............7分 （2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為． 方法一：設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即，由， 解得或（舍）.

21、 ...............9分 故太陽光線所在直線方程為， 令，得，由，得. ...............11分 所以 . 當且僅當時取等號. 所以當米且米時，可使得活動中心的截面面積最大. ...............16分 方法二：欲使活動中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長EG恰為米，則此時點為， 設(shè)過點G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即．

22、 ...............10分 由直線與半圓H相切，得． 而點H(r，h)在直線的下方，則3r＋4h－100＜0， 即，從而． ...............13分 又. 當且僅當時取等號. 所以當米且米時，可使得活動中心的截面面積最大. ...............16分 L A B O M L L a b 4.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的．位于該市的某大學與市中心的距離，且．現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站，

23、在OB上設(shè)一站B，鐵路在部分為直線段，且經(jīng)過大學．其中，，． （1）求大學與站的距離； （2）求鐵路段的長． （1）在中，，且，， 由余弦定理得， ，即大學與站的距離為； （2），且為銳角，， 在中，由正弦定理得，, 即，，， ， ，，， 又， ， 在中，， 由正弦定理得，， 即，，即鐵路段的長為．

24、 5.一個玩具盤由一個直徑為2米的半圓O和一個矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所示，小球從A點出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點E處，經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi)，落點記為F，設(shè)∠AOE=θ弧度，小球從A到F所需時間為T． （1）試將T表示為θ的函數(shù)T（θ），并寫出定義域； （2）求時間T最短時θ的值． 6.如圖，O為總信號源點，A，B，C是三個居民區(qū)，已知A，B都在O的正東方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =． （1）求居民區(qū)A與C的距離； （2）現(xiàn)要經(jīng)過點O鋪設(shè)一條總光纜直線E

25、F（E在直線OA的上方），并從A，B，C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF．假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為m（m為常數(shù)）．設(shè)∠AOE = θ（0≤θ <），鋪設(shè)三條分光纜的總費用為w（元）． ① 求w關(guān)于θ的函數(shù)表達式； ② 求w的最小值及此時的值． 7.如圖，摩天輪的半徑為，點距地面的高度為，摩天輪作逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處. （1）試確定在時刻（）時點距離地面的高度； （2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點距離地面超過？ （1）以為原點建系，在內(nèi)轉(zhuǎn)過的

26、角為， ∴以為始邊，為終邊的角為，故點縱坐標為， ∴距地面高度為； （2）令即，∴，， ∴，.答：一圈內(nèi)有2分鐘超過. 8.如圖，有一塊矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個商業(yè)區(qū)，其中頂點為商業(yè)區(qū)四個入口，且入口在邊上（不包含頂點），入口分別在邊上，，，矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。 （1）設(shè)，以點為坐標原點，直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示。 ①求直線的方程 ②求的取值范圍。 （2）設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為，綠化區(qū)域的面積為，問入口如何選址，即為何值時，可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大？ 9.圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面

27、（陰影部分）示意圖，其中四邊形是矩形，弧是半圓，凹槽的橫截面的周長為．若凹槽的強度等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)，． （1）寫出關(guān)于函數(shù)表達式，并指出的取值范圍； （2）求當取何值時，凹槽的強度最大． 【解】（Ⅰ）易知半圓的半徑為，故半圓的弧長為． 所以，得……2分 依題意知：得 所以，（）．……6分 （Ⅱ）依題意，設(shè)凹槽的強度為，橫截面的面積為，則有 ，，………………………………………………9分 因為， 所以，當時，，當時，， 所以當，凹槽的強度最大．…………………………………………13分 答：所以當，凹槽的強度最大．…………………………14分 9. 如

28、圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為大海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭．已知，，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km， km．現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭B，使得水上旅游線路AB（直線）經(jīng)過小島Q． （1）求水上旅游線路AB的長； （2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個圓形強水波P，水波生成t h時的半徑為（其中，R）．強水波開始生成時，一游輪以 km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問強水波是否會波及游輪的航行，并說明理由． 解：（1）以點O為坐標原點，直線OM為軸，建立直角坐標系如圖所示． 則由題設(shè)得：，直線ON的方程為 ．由，解得，所以．2分故直線AQ

29、的方程為， 由得即，故， … 5分 答：水上旅游線的長為km． ………6分 （2）設(shè)試驗產(chǎn)生的強水波圓P，由題意可得P（3，9），生成小時時，游輪在線段AB上的點C處，則，所以．若強水波不會波及游輪的航行即 即， ………………………………………10分 當時恒成立，當. ，， 當且僅當時等號成立，所以當時恒成立，即強水波不會波及游輪的航行．……14分答：在時，強水波不會波及游輪的航行． …………………15分 10. 如圖所示，某市準備在一個湖泊的一側(cè)修建一條直路OC；另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O(shè)為頂點，x軸為對稱軸，開口

30、向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]時的圖象，圖象的最高點為B（5，），DF⊥OC，垂足為F． （I）求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式； （II）若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點P落在曲線OD上何處時，水上樂園的面積最大？ 解：（Ⅰ）對于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）由圖象可知，A=，ω==， 將（5，），代入y=sin（x+φ）得：， |φ|＜，所以φ=，所以函數(shù)的解析式為y=sin（x）． （Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4） 從而得曲線OD的方程為y2=4x，（

31、0≤x≤4）． 設(shè)點P（）（0≤t≤4），則矩形PMFE的面積為S=，0≤t≤4． 因為S′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈時S′＞0，S遞增， t∈時S′＜0，S遞減， 所以當t=，S最大，此時點P的坐標． 11. 某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品，經(jīng)銷時間共60個月，市場調(diào)研表明，該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤（單位：萬元），為了獲得更多的利潤，企業(yè)將每月獲得的利潤投入到次月的經(jīng)營中，記第x個月的當月利潤率，例如：． （1）求g（10）； （2）求第x個月的當月利潤率g（x）； （3）該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪個月的當月利潤率最大，并求該月的當月利潤率． 解：（1）由題

32、意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1 g（x）===． （2）當1≤x≤20時，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1 ∴g（x）====． 當21≤x≤60時， g（x）= ==== ∴當?shù)趚個月的當月利潤率； （3）當1≤x≤20時，是減函數(shù)， 此時g（x）的最大值為當21≤x≤60時， 當且僅當時，即x=40時，，又∵， ∴當x=40時， 所以，該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，第40個月的當月利潤率最大，最大值為． 12.如圖，太湖一個角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長 度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：

33、 方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中； 方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中； （1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積； （2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積； （3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由. （1）設(shè)，則，即，所以 . （2）設(shè).由余弦定理，得,所以,所以,當且僅當時，“=”成立.所以 ,即. 答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應選擇方案一. 13.一房產(chǎn)商競標得一塊扇形OPQ地皮，其圓心角∠POQ=，半徑為R=200m，房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓，為使得地皮的使用率最大，準備了兩種設(shè)計方案如圖，方案一：矩形ABCD的一邊AB在半徑

34、OP上，C在圓弧上，D在半徑OQ；方案二：矩形EFGH的頂點在圓弧上，頂點G，H分別在兩條半徑上．請你通過計算，為房產(chǎn)商提供決策建議． 【解答】解：按方案一：如圖，連OC，設(shè)， 在Rt△OBC中， BC=Rsinx，OB=Rcosx，則DA=Rsinx 在Rt△OAD中，，得， 則，設(shè)矩形ABCD的面積為y，則 y=AB?BC==sin（2x+）﹣， 由得． 所以當，即時． 按方案二：如圖作∠POQ的平分線分別交EF，GH于點M，N，連OE． 設(shè)，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα 在Rt△ONH中，，得， 則，設(shè)矩形EFGH的面積為S，

35、則S=2ME?MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）= 由，則，所以當，即時∵，即ymax＞Smax 江蘇省啟東中學高三數(shù)學二輪專題強化訓練2020.1 題型三解析幾何 1. 已知橢圓C: ，離心率為，左準線方程是，設(shè)O為原點，點A在橢圓C上，點B在直線y＝2上，且OA⊥OB． （1）求橢圓C的方程； （2）求ΔAOB面積取得最小值時，線段AB的長度； （2）由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k， 若k＝0，則A(，0)或(－，0)，

36、B(0，2)，此時ΔAOB面積為，AB＝．6分 若k≠0，則直線OA：y＝kx與橢圓聯(lián)立得： (1＋2)＝2，可得OA＝ 直線OB：y＝x與y＝2聯(lián)立得：B(－2k，2)，則OB＝2， 10分 SΔOAB＝OA×OB＝，令t＝>1， 12分 則SΔOAB＝， 所以SΔOAB的最小值為，在k＝0時取得，此時AB＝． ..........14分 2. 在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過橢圓的焦點. （1）求橢圓的標準方程； （2）設(shè)直線交橢圓于兩點，為弦的中點，，記直線的斜率分

37、別為，當時，求的值. 解：（1）因，所以橢圓的焦點在軸上， 又圓經(jīng)過橢圓的焦點，所以橢圓的半焦距， ……………3分 所以，即，所以橢圓的方程為. ……………6分 （2）方法一：設(shè)，，， 聯(lián)立，消去，得， 所以，又，所以， 所以，， 10分 . …… 方法二：設(shè)，，， 則， 兩式作差，得， 又，，∴，∴，又，在直線上，∴，∴，①又在直線上，∴，② 由①②可得，. …10分 3. 已知橢圓E： +=1過點D（1，）

38、，且右焦點為F（1，0）右頂點為A，過點F的弦為BC，直線BA，直線CA分別交直線l：x=m（m＞2）于P、Q兩點． （1）求橢圓方程； （2）若FP⊥FQ，求m的值． 解：（1）右焦點為F（1，0），可得 c=1，左焦點F'為（﹣1，0）， 由橢圓的定義可得2a=|DF|+|DF'|=+=4， 即有a=2，b==，則橢圓的方程為+=1； （2）當BC垂直于x軸，即有B（1，﹣），C（1，）， 設(shè)P（m，s），Q（m，t），A（2，0），F(xiàn)（1，0）， 由B，A，P共線，可得kAB=kAP， 即為=，即有s=（m﹣2）， 即有P（m，（m﹣2）），=（m﹣1，（m﹣2

39、））， 同樣可得Q（m，﹣（m﹣2）），=（m﹣1，﹣（m﹣2））， FP⊥FQ即為=0， 即有（m﹣1）2﹣（m﹣2）2=0， 解得m=4； 當直線CB與x軸不垂直，則設(shè)直線CB的斜率為k，（k≠0） ∴直線CB的方程為y=k（x﹣1），k≠0， 又設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），P（m，y3），Q（m，y4）， 聯(lián)立，消y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， ∴x1+x2=，x1x2=， ∴y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=， 又∵A、B、P三點共線， ∴y3=（m﹣2）?，同理y4=（m﹣2）?， ∴=（m﹣1，（m﹣2）?），=（m﹣

40、1，（m﹣2）?）， 由于=0，即為=（m﹣1）2+（m﹣2）2?=0， 分別代入x1+x2，x1x2，y1y2，可得（m﹣1）2﹣（m﹣2）2=0， 解得m=4．綜上可得m=4． 4. 設(shè)橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點，以線段為直徑作圓．若圓與軸相交于不同的兩點，求的面積； （3）如圖，、、、是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點．設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值． （1）圓的方程為， 直線與圓O相切， ，即，又， ， ， 橢圓的方程為；

41、 （2）由題意，可得， 圓的半徑，， 的面積為； （3）由題意可知， 的斜率為，直線的方程為， 由，得， 其中，，， 則直線的方程為， 令，則， 即， 直線的方程為， 由，解得，， 的斜率 ， （定值）． 5. 如圖，在平面直角坐標系中， 已知圓，橢圓， 為橢圓右頂點．過原點且異于坐標軸的直線與橢圓交于兩點，直線與圓的另一交點為，直線與圓的另一交點為，其中．設(shè)直線的斜

42、率分別為．（1）求的值； （2）記直線的斜率分別為，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由； （3）求證：直線必過點． 6.橢圓的方程為，為坐標原點，直線與橢圓交于點，點為線段的中點. （1）若分別為的左頂點和上頂點，且的斜率為，求的標準方程； （2）若，且，求面積的最大值. 解：（1）設(shè)， 則，兩式相減，得， 即，又，， 代入化簡，得，故的標準方程為. （2）設(shè)直線， 由方程組 ① ，，， ， ②設(shè)直線與軸的交點為， 則，令， 設(shè)，則：. 當時，即時，的面積取得最大值1. 7. 在平面直角坐標系中，設(shè)為橢圓上的點，直線與圓：均相切.

43、 （1）若橢圓的兩條準線間的距離為8，焦距為2 .①求橢圓的方程； ②若，且，求圓的方程.（2）若橢圓的離心率為，，求的最小值. 8. 如圖，在平面直角坐標系中，橢圓：（）的離心率為，點，分別為橢圓的上頂點、右頂點，過坐標原點的直線交橢圓于、兩點，交于點，其中點在第一象限，設(shè)直線的斜率為． （1）當時，證明直線平分線段；（2）已知點，則： ①若，求；②求四邊形面積的最大值． 【解】（1）點 橢圓的方程為 設(shè)，，則， 的直線方程為： （2）①設(shè)點到直線的距離為，， 則 …………………………………………………6分 ，即 由，解得；由，解得…………8分 ，即

44、 或．………………………10分 ②點到直線的距離 點到直線的距離 ………………12分 …………………………14分 當且僅當時取等號所以四邊形面積的最大值為．………………………16分 9. 已知圓O：與軸負半軸的交點為A，點P在直線l：上，過點P作圓O的切線，切點為T. （1）若a＝8，切點,求直線AP的方程； （2）若PA=2PT，求實數(shù)a的取值范圍. 解：（1）由題意，直線PT切于點T，則OT⊥PT，又切點T的坐標為， 所以，， ………………………………………3分 故直線PT的方程為，即. 所以解得即， …………………5分 所以直線AP

45、的斜率為， 故直線AP的方程為， 即. …………………………………………7分 （2）設(shè)，由PA＝2PT，可得， 即，滿足PA＝2PT的點P的軌跡是一個圓， ……11分所以，即， 解得. …………………………………………15分10. ）已知橢圓E：的離心率為，且過點，設(shè)橢圓的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，直線AB被以原點為圓心的圓O所截得的弦長為．（1）求橢圓E的方程及圓O的方程； （2）若M是準線l上縱坐標為t的點，求證：存在一個異于M的點Q，對于圓O上任意一點N，有為定值；且當M在直線l上運動時，點Q在一個定圓上．

46、 （1）解：∵橢圓E：的離心率為， ∴a=2k，c=，b2=2k2，∴橢圓E：，把點代入得k2=2， ∴橢圓E方程：．圓的方程：x2+y2=4 （2）證明：橢圓E的右準線l的方程為x=4． 設(shè)l上取定的點M為（4，t），圓O上任意的一點N為（x0，y0），定點Q為（x，y）． ∵NM與NQ的比是常數(shù)且Q不同于M， ∴NQ2=λNM2，λ是正的常數(shù)（λ≠1）， 即（x0﹣x）2+（y0﹣y）2=λ（x0﹣4）2+λ（y0﹣t）2， 即x02+y02﹣2xx0﹣2yy0+x2+y2=λ（x02+y02+16+t2﹣8x0﹣2ty0）． 將x02+y02=4代入，有﹣2xx0﹣2y

47、y0+x2+y2+4=﹣8λx0﹣2λty0+（20+t2）λ． 又∵有無數(shù)組（x0，y0）， ∴， 由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2﹣（20+t2）λ+4=0， ∴（λ﹣1）[（16+t2）λ﹣4]=0． 又∵λ≠1，∴λ=，即存在一個定點Q（不同于點M），使得對于圓O上的任意一點N，均有為定值． 將16+t2=代入③，得x2+y2+4=（+4）λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即（x﹣）2+y2=， 故點Q在圓心（，0），半徑為的定圓上． 定值為：，Q在圓心，半徑為的定圓上 11.如圖所示，已知圓的圓心在直線上，且該

48、圓存在兩點關(guān)于直線對稱，又圓與直線相切，過點的動直線與圓相交于兩點，是的中點，直線與相交于點． （1）求圓的方程；（2）當時，求直線的方程； （3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由． （2）當直線與軸垂直時，易知符合題意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為， 即連接，則， ∵，∴， 由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴直線的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴所求直線的方程為或．．．．．．．．．．．．．．10分 12. 如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e

49、=．過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8． （Ⅰ）求橢圓E的方程． （Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q．試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由． 解：（Ⅰ）∵過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8． ∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴橢圓E的方程為． （Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0 ∵動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0） ∴m≠0，△=0

50、，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0 ∴4k2﹣m2+3=0①此時x0==，y0=，即P（，） 由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此時P（0，），Q（4，），以PQ為直徑的圓為（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x軸于點M1（1，0）或M2（3，0） 取k=，m=2，此時P（1，），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x﹣）2+（y﹣）2=，交x軸于點M3（1，0）或M4（4，0） 故若滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），證明如下∵ ∴ 故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點M（1，0） 13.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)上頂點A(0，2)，右焦點F(1，0)

51、，設(shè)橢圓上任一點到點Q(0,6)的距離為d． （1）求d的最大值； （2）過點F的直線交橢圓于點S，T兩點，P為直線l上一動點,l為橢圓的右準線． ①若PF⊥ST，求證：直線OP平分線段ST； ②設(shè)直線PS，PF，PT的斜率分別為k1，k2，k3，問：k1，k2，k3能否成等差數(shù)列？． x O y P F T A l S 已知點P是橢圓C上的任一點，P到直線l1：x=﹣2的距離為d1，到點F（﹣1，0）的距離為d2，且=．（1）求橢圓C的方程； （2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B（A，B都在x軸上

52、方），且 ∠OFA+∠OFB=180°． （i）當A為橢圓C與y軸正半軸的交點時，求直線l的方程； （ii）是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總過該定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由． 【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），∵點P是橢圓C上的任一點， P到直線l1：x=﹣2的距離為d1，到點F（﹣1，0）的距離為d2，且=， ∴d1=|x+2|，d2=，==， 化簡，得=1．∴橢圓C的方程為=1． （2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴kAF==1， ∵∠OFA+∠OFB=180°，∴kBF=﹣1， ∴直線BF的方程為：y=﹣

53、（x+1）=﹣x﹣1， 代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，， 代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），kAB==， ∴直線AB的方程為y=． （ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴kAF+kBF=0，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入=1， 得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴kAF+kBF=+=+ ==0， ∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b =2k×﹣（k+b）×+2b=0， ∴b﹣2k=0，∴直線AB的方程為y=k（x+2）， ∴直線AB總經(jīng)過定點M（﹣2，0）．

54、 15. 已知橢圓的離心率為，一個交點到相應的準線的距離為3，圓N的方程為為半焦距）直線與橢圓M和圓N均只有一個公共點，分別設(shè)為A、B。 （1）求橢圓方程和直線方程； （2）試在圓N上求一點P，使。 16.如圖，已知單位圓（為直角坐標原點），是圓上的動點，點在直線上，且為正三角形. （1）若點是第一象限的點，且，求點的坐標； （2）求的最小值. 解： 由題意，兩點的坐標為. …………………2分 （1）設(shè)點的坐標為，則有 ，且，. ………………………………4分 由已知得， ………………………………6分

55、解得，或 ，即的坐標為或. ………8分 （2）設(shè)點的坐標為，則 ，且，. ……………………10分 所以 江蘇省啟東中學高三數(shù)學二輪專題強化訓練2020.1 題型四函數(shù)與導數(shù) 1. 已知函數(shù)f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax． （1）求函數(shù)f（x）的極值； （2）若a＞0，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一個零點，求實數(shù)a的值； （3）若0＜a＜1，對于區(qū)間[1，2]上的任意兩

56、個不相等的實數(shù)x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范圍． 【解答】解：（1）f′（x）=， 當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，f（x）無極值， 當a＞0時，x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）遞減， x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增， ∴f（x）有極小值f（）=a﹣alna， 綜上：a≤0時，f（x）無極值， a＞0時，f（x）極小值=a﹣alna，無極大值； （2）令h（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，則h′（x）=， ∵a＞0，令h′（x）=0，解得x0=， ∴h（x）在（0，）遞

57、減，在（，+∞）遞增， ∴h（x）在x0處取得極小值h（x0）=0， ∴﹣2alnx0﹣2ax0=0且2﹣2ax0﹣2a=0， 聯(lián)立可得：2lnx0+x0﹣1=0， 令m（x）=2lnx+x﹣1得m′（x）=+1＞0， 故m（x）在（0，+∞）遞增又m（1）=0，x0=1， 即=1，解得：a=； （3）不妨令1≤x1＜x2≤2， 則由（1）得f（x1）＜f（x2） ∴|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2） ?f（x2）﹣f（x1）＞g（x2）﹣g（x1） ?f（x2）﹣g（x2）＞f（x1）﹣g（x1）， 則h（x）在[1，2]遞增，∴h′（x）=≥0在[

58、1，2]恒成立， 即2x2﹣2ax﹣2a≥0在[1，2]恒成立，∴a≤在[1，2]恒成立， 令t=x+1∈[2，3]，則=t+﹣2≥， ∴0＜a≤，∴a的范圍是（0，]． 　2. 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=（n∈N*）．若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2． （Ⅰ）求an和bn； （Ⅱ）設(shè)cn=（n∈N*）．記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn． （i）求Sn； （ii）求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N*） ①， 當n≥2，n∈N*時，②， 由①②知：， 令n=3，則有

59、． ∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{an}為等比數(shù)列，且a1=2， ∴{an}的公比為q，則=4，由題意知an＞0，∴q＞0，∴q=2． ∴（n∈N*）．又由a1a2a3…an=（n∈N*）得： ，， ∴bn=n（n+1）（n∈N*）． （Ⅱ）（i）∵cn===． ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn = = = =； （ii）因為c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0； 當n≥5時， ，而=＞0， 得，所以，當n≥5時，cn＜0， 綜上，對任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4． 3. 設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足. （1）求數(shù)列的通項公式； （

60、2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)，數(shù)列的前n項和為.求. (2) 由 且 所以：， 則：，，?? ?，（7分） 以上n-1個等式相加得： 則：＝2－，又 （9分） 所以： （10分） （3） 由題意知 （11分） 則 以上兩式相減得 （13分） 則 恒成立， （16分） 4.已知數(shù)列的前項積為，即， （1）若數(shù)列為首項為202

61、0，公比為的等比數(shù)列， ①求的表達式；②當為何值時，取得最大值； （2）當時，數(shù)列都有且成立，求證：為等比數(shù)列. 解（1）①由題意知， 所以，（3分） ②記，，即，， ，當時，，當時，， 又因為，所以，當時，，當時，，所以的最大值是,(6分) 此時，而，,,所以, 而， 所以，當時，取得最大值，（9分） （2）當2時，，所以，即，（10分） 已知① 當時，② ①②兩式相除得，化簡得，③ 又因為④ ③④兩式相除得⑤，（12分） ⑤式可化為， 令，所以，，所以, 即，，都成立， 所以為等比數(shù)列.(16分) （當然令，則轉(zhuǎn)而證明為等差數(shù)列，方法雷同，不再贅述

62、） 5. 設(shè)函數(shù)，（）. （1）當時，解關(guān)于的方程（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）； （2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （3）當時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由. （參考數(shù)據(jù)：，） 解：（1）當時，方程即為，去分母，得 ，解得或， ……………2分 故所求方程的根為或. ……………4分 （2）因為， 所以（）， ……………6分 ①當時，由，解得； ②當時，由，解得； ③當時，由，

63、解得； ④當時，由，解得； ⑤當時，由，解得. 綜上所述，當時，的增區(qū)間為； 當時，的增區(qū)間為； 時，的增區(qū)間為. .……………10分 （3）方法一：當時，，， 所以單調(diào)遞增，，， 所以存在唯一，使得，即， .……………12分 當時，，當時，， 所以， 記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增， .……………14分 所以，即， 由，且為整數(shù)，得， 所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .

64、……………16分 方法二：當時，，所以， 由得，當時，不等式有解， .……………12分 下證：當時，恒成立，即證恒成立. 顯然當時，不等式恒成立， 只需證明當時，恒成立. 即證明.令， 所以，由，得， .……………14分 當，；當，； 所以. 所以當時，恒成立. 綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .……………16分 6.若存在常數(shù)、、，使得無窮數(shù)列滿足 則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)、、分別叫做段長、段比、段差. 設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”.

65、 （1）若的首項、段長、段比、段差分別為1、3、、3. ①當時，求； ②當時，設(shè)的前項和為，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （2）設(shè)為等比數(shù)列，且首項為，試寫出所有滿足條件的，并說明理由. （1）①方法一：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3， ，，. ……………3分 方法二：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3， ∴，，，，，，，… ∴當時，是周期為3的周期數(shù)列.∴. ②方法一：∵的首項、段長、段比、段差分別

66、為1、3、1、3， ∴， ∴是以為首項、6為公差的等差數(shù)列， 又， ， ，，設(shè)，則， 又， 當時，，；當時，，， ∴，∴， ……………9分 方法二：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3， ∴，∴，∴是首項為、公差為6的等差數(shù)列， ∴， 易知中刪掉的項后按原來的順序構(gòu)成一個首項為1公差為3的等差數(shù)列， ， ， ………………6分 以下同方法一. （2）方法一：設(shè)的段長、段比、段差分別為、、， 則等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式有， 當時，，即恒成立， ……………12分 ①若，則，； ②若，則，則為常數(shù)，則，為偶數(shù)，，； 經(jīng)檢驗，滿足條件的的通項公式為或. ……………16分 方法二：設(shè)的段長、段比、段差分別為、、， ①若，則，，，， 由，得；由，得， 聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗均合題意. …………