2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí) 3.1 課后限時作業(yè)

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1、 一、選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分） 1. 曲線y＝xex＋1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是 (　　) A．x－y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x－2y＋2＝0 解析：由題可得，y′＝ex＋xex，當(dāng)x＝0時，導(dǎo)數(shù)值為1，故所求的切線方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0. 答案：A 2.某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為f(t)=,則在時刻t=10 min的降雨強(qiáng)度為

2、 ( ) A. mm/min B.mm/min C. mm/min D.1 mm/min 解析：本小題考查了導(dǎo)數(shù)定義的實(shí)際應(yīng)用問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.由題意可知t=10 min時的降雨強(qiáng)度即是t=10時的導(dǎo)數(shù)值，即f′(10)= . 答案：A 3.設(shè)曲線在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行，則a等于 ( ) A.1 B. C.2

3、 D. 解析：設(shè)曲線在點(diǎn)(1,a)處的切線的斜率為,則,又直線2x-y-6=0的斜率=2,依題意得2a=2,因此a=1. 答案：A 4. 曲線y＝x3－3x上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是 (　　) A．(－1,2) B．(1，－2) C．(1,2) D．(－1,2)或(1，－2) 解析：令y′＝0，得x＝±1. 答案：D 5. 下列結(jié)論中正確的是 (　　) A．若y＝cos，

4、則y′＝－sin B．若y＝cos 5x，則y′＝－5sin x C．若y＝sin x2，則y′＝2xcos x2 D．若y＝xsin 2x，則y′＝xsin 2x 解析：若y＝cos，則y′＝sin；若y＝cos 5x，則y′＝－5sin 5x；若y＝sin x2，則y′＝2xcos x2；若y＝xsin 2x，則y′＝(sin 2x＋2xcos 2x)．故應(yīng)選C. 答案：C 6.（2020·遼寧）已知點(diǎn)P在曲線上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是 (

5、 ) A. B. C. D. 解析：即tan α≥-1,所以. 答案：D 二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分） 7. 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為y＝，則它在x＝1時的速度為 . 解析：因?yàn)閥′＝′＝＝， 所以y′|x＝1＝－. 答案：－ 8. 如圖所示，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y＝－2x＋9，則f(4)＋f′(4)的值為 . 解析：因?yàn)閒(4)＝－2×4＋9＝1，f′(4)＝－2，所以f(4)＋f′(4)＝1＋(－2)＝－1. 答案：-1

6、 9.若f(x)=excos x，則f′(x)= . 解析：用求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式可得f′(x)=-exsin x+excos x. 答案：-exsin x+excos x 10.(2020屆·江蘇無錫質(zhì)檢)若曲線f(x)=ax3+ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 解析：在（0，+∞)上有解， 即在（0，+∞)上有解，所以a∈(-∞,0). 答案：(-∞,0) 三、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分） 11. 已知曲線方程為y＝x2， (1)求過A(2,4)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程． (2)求過B(3,5)點(diǎn)

7、且與曲線相切的直線方程． 解：(1)因?yàn)锳(2,4)在y＝x2上，由y＝x2得y′＝2x，所以y′|x＝2＝4. 因此所求直線的方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)方法1：設(shè)過B(3,5)與曲線y＝x2相切的直線方程為y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k. 由得x2－kx＋3k－5＝0. Δ＝k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0，所以k＝2或k＝10. 所求的直線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 方法2：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)， y＝x2得y′＝2x，所以y′|x＝x0＝2x0， 由已知kPB＝2x0，即＝

8、2x0， 將y0＝x代入上式整理得x0＝1或x0＝5， 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，(5,25)， 所以所求直線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 12. 點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離． 解：根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)P(x0，y0)，該切點(diǎn)P即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖． 則在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1， 即y′|x＝x0＝1.因?yàn)閥′＝(ex)′＝ex， 所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)． 利用點(diǎn)到直線的距離公式得距離為. B組 一、選擇題(本大題共2小

9、題，每小題8分，共16分) 1. 若點(diǎn)P在拋物線y＝3x2＋4x＋2上，A(0，－3)、B(－1，－1)，要使△ABP的面積最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 (　　) A. B. C．(－1,1) D．(0,2) 解析：欲使△ABP的面積最小，則必須使P點(diǎn)到直線AB的距離最近．因此作直線AB的平行直線，與拋物線相切時的切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義：y′＝kAB，即6x＋4＝－2，得x＝－1，故P點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1,1)．故應(yīng)選C. 答

10、案：C 2.已知二次函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象大致形狀是 ( ) 解析：本題是導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的綜合問題，從圖上可以看出，二次函數(shù)f(x)在(-∞,0)上遞增， f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞減，故f′(x)<0.故選B. 答案：B 二、填空題（本大題共2小題，每小題8分，共16分） 3. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0，則a＝____，b＝__ _. 解析：方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當(dāng)x＝2時，y＝，又f′(x)＝a＋. 所以解得

11、 答案：1 3 4.（2020屆·龍巖質(zhì)檢）已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(0)＞0.若對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥0，則的最小值為__ __. 解析：由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)>0，所以b>0. 又因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有f(x)≥0， 所以a>0且Δ＝b2－4a≤0，即b2≤4a. 所以＝＝＋＋1≥2＋1≥2＋1＝2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝且b2＝4a，即a＝1，b＝2時，“＝”成立， 即當(dāng)a＝1，b＝2時，有最小值2. 答案：2 三、解答題（本大題共2小題，每小題14分，共28分） 5. 已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，

12、a∈R)在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直，求a的值和切線l的方程． 解：因?yàn)閒(x)＝x3－2x2＋ax， 所以f′(x)＝x2－4x＋a. 由題意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有兩個相等的根， 所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3， 所以f′(x)＝x2－4x＋a＝－1化為x2－4x＋4＝0， 解得x＝2，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝2. 所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝， 所以切線l的方程為y－＝－(x－2)，即3x＋3y－8＝0. 6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=2x2. (1)x<0時，求f(x)的表達(dá)式； (2)令g(x)=ln x,問是否存在x0,使得f(x),g(x)在x=x0處的切線互相平行？若存在，請求出x0的值；若不存在，請說明理由. 解：（1）當(dāng)x<0時，-x>0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2. (2)若f(x),g(x)在x=x0處的切線互相平行，則f′(x0)=g′(x0).又由題知x>0, 則f′(x0)=4x0=g′(x0)=,解得x0=.因?yàn)閤>0,所以x0=.