2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí) 第八章 章末強(qiáng)化訓(xùn)練

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1、 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分） 1.下列說(shuō)法正確的是 ( ) A.△ABC中，已知A（1，1），B（4，1），C（2，3）,則AB邊上的高的方程是x=2 B.方程y=x2(x≥0)的曲線是拋物線 C.已知平面上兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|= |AB|，則P點(diǎn)的軌跡是雙曲線 D.第一、三象限角平分線的方程是y=x 解析：高為線段，A錯(cuò),B、C均只是曲線的一部分. 答案：D 2.已知直線mx+4y-2=0，2x-5y+n=0互相垂直，垂足為P(1

2、,p)，則m-n+p的值為 ( ) A.24 B.20 C.0 D.-4 解析：直線2x-5y+n=0的斜率為，由兩條直線垂直，得到直線mx+4y-2=0的斜率為- ，所以- =- ，得m=10.又因?yàn)辄c(diǎn)P（1,p）在直線mx+4y-2=0和2x-5y+n=0上，代入得到p=-2,n=-12.所以m-n+p=20. 答案：B 3.由直線y=x+1上的點(diǎn)向圓(x-3)2+(y+2)2=1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為 ( ) A. B.3 C

3、. D.2 解析：設(shè)直線上的點(diǎn)到圓心的距離為d，切線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A的半徑為1，所以l2+12=d2,所以當(dāng)d最小時(shí)，切線長(zhǎng)l最短，此時(shí)d的長(zhǎng)是圓心到直線的距離，即=3，此時(shí)切線長(zhǎng)為. 答案：A 4.已知橢圓E的短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率等于 ( ) A. B. C. D. 解析：由題意可得b=3,a+c=9或a-c=9，解得a=5,b=3,c=4,所以橢圓E的離心率等于. 答案：B 5.拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1

4、，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 ( ) A. B. C. D.0 解析：M到焦點(diǎn)的距離為1，則其到準(zhǔn)線距離也為1.又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為y=-,所以M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. 答案：B 6. 雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，則它的離心率是 (　　) A. B. C．2 D. 解析：由題意知，雙曲線的漸近線為y＝±x， 所以×＝－1，所以a2＝b2， 所以c2＝a2＋b2＝2a2，所以c＝a，所以e＝＝.故應(yīng)選A. 答案：A 7. 圓心在拋物

5、線y2＝2x(y>0)上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及x軸都相切的圓的方程是(　　) A．x2＋y2－x－2y＋1＝0 　B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y－＝0 　D．x2＋y2－x－2y＋＝0 解析：因?yàn)閳A與拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線及x軸都相切，所以圓心到焦點(diǎn)F的距離就是圓心到x軸的距離，故圓心的坐標(biāo)可設(shè)為，半徑為y0(y0>0)．因?yàn)閳A心在y2＝2x上(且y>0)，得y＝2×，即y0＝1.所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，故圓的方程為 2＋(y－1)2＝1，即：x2＋y2－x－2y＋＝0，故應(yīng)選D. 答案： D 8.（2020屆·沈陽(yáng)質(zhì)檢）已知方程ax2＋by2

6、＝ab和ax＋by＋c＝0(其中ab≠0，a≠b，c>0)，它們所表示的曲線可能是 (　　) 解析：B中由雙曲線知，a、b異號(hào)，直線的斜率為－>0，符合．故應(yīng)選B. 答案：B 9.（2020屆·濱州質(zhì)檢）平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命題乙是：“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么 (　　) A．甲是乙成立的充分不必要條件 B．甲是乙成立的必要不充分條件 C．甲是乙成立的充要條件 D．甲是乙成立的非充分非必

7、要條件 解析：當(dāng)|PA|＋|PB|是定值，且|PA|＋|PB|>|AB|時(shí)才是橢圓，故充分性不成立．若點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，則必有|PA|＋|PB|為定值，故必要性成立，故應(yīng)選B. 答案：B 10.（2020屆·青島質(zhì)檢）橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且·的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝，則橢圓的離心率e的取值范圍是 (　　) A. B. C. D.

8、 解析：設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x，y)， 則·＝x2＋y2－c2， 由＋＝1，得y2＝b2－，0≤x2≤a2. 所以·＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2，x2∈[0，a2]， 當(dāng)x2＝a2時(shí)，(·)max＝b2，c2≤b2≤3c2， 所以≤e≤，故選B. 答案：B 二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分） 11.（2020屆·龍巖質(zhì)檢）已知方程＋＝1的圖象是雙曲線，那么k的取值范圍是 . 解析：由(2－k)(k－1)<0可得． 答案：k<1或k>2 12. 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線y＝2x＋1截得的弦長(zhǎng)

9、為，則此拋物線的方程為 . 解析：設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，設(shè)拋物線為y2＝mx， 則(2x＋1)2＝mx，整理，得： 4x2＋(4－m)x＋1＝0， x1＋x2＝，x1x2＝， ① |AB|＝＝＝＝， 將①代入，解得：m＝12或m＝－4. 故所求拋物線為y2＝12x或y2＝－4x. 答案：y2＝12x或y2＝－4x 13.（2020·北京）橢圓=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4,則|PF2|=;∠F1PF2的大小為 . 解析：本題主要考

10、查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算 答案：2 120° 14.（2020屆·合肥質(zhì)檢）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)， ||＝1，且·＝0，則||的最小值是 . 解析：因?yàn)椤ぃ?，所以⊥，在直角三角形PAM中，||2＝||2－||2＝||2－1，而A點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)P為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，||取得最小值a－c＝5－3＝2，故||的最小值為＝. 答案： 15.（2020·江西）過(guò)拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線

11、分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，則＝ . 解析：由已知條件可得直線AB的方程為y＝x＋，代入拋物線方程x2＝2py可得 x2－px－p2＝0. 設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)， 解方程可得xA＝－p，xB＝p，則yA＝，yB＝， 所以＝＝＝. 解析：如右圖， 作AA1⊥x軸,BB1⊥x軸. 則AA1∥FO∥BB1, 答案： 三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟） 16.（13分）根據(jù)下列條件，求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)過(guò)點(diǎn)(－2,3)； (2)與拋物線y2＝

12、12x關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)． 解：(1)設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)或y2＝－2px(p>0)． 將點(diǎn)(－2,3)代入拋物線方程x2＝2py， 得2p＝，所以x2＝y(tǒng). 將點(diǎn)(－2,3)代入拋物線方程y2＝－2px， 得2p＝，所以y2＝－x. 所以滿足條件(1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＝y(tǒng)或y2＝－x. (2)拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)F (3,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F1(0,3)． 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y. 17.（2020屆·泉州質(zhì)檢）(13分）若A、B是拋物線y2＝4x上不同的兩點(diǎn)，弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱(chēng)弦A

13、B是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”，已知當(dāng)x>2，點(diǎn)P(x,0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦”．給定x0>2.試證明：點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同． 證明：設(shè)AB為點(diǎn)P(x0,0)的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，則y＝4x1，y＝4x2. 兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 因?yàn)閤1≠x2，所以y1＋y2≠0. 設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M(xM，yM)，則 k＝＝＝. 從而AB的垂直平分線l的方程為y－ym＝－(x－xM)． 又點(diǎn)P(x0,0)在直線l上，所以－yM＝－(x0－xM)

14、． 而yM≠0，于是xM＝x0－2. 故點(diǎn)P(x0,0)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0－2. 18.(13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x,y）是橢圓+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S=x+y的最大值. 解：方法一：轉(zhuǎn)化為求直線y=-x+S的截距的最大值.聯(lián)立x2+3y2=3, y=-x+S,消去y得 4x2-6Sx+3S2-3=0， 判別式Δ=36S2-4×4×(3S2-3)=0, 得S2=4,S=±2， 所以S=x+y的最大值為2. 方法二：由橢圓+y2=1,即+y2=1， 聯(lián)想到三角函數(shù)的平方關(guān)系,進(jìn)行三角換元得 x=cos φ, y=sin φ(φ為參數(shù)

15、). 故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cos φ,sin φ）,其中0≤φ<2π. 因此S=x+y=cos φ+sin φ=2（cos φ+sin φ）=2sin（φ+）, 所以當(dāng)φ=時(shí)，S取最大值2. 19.（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y＝x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓＋＝1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10. (1)求圓C的方程． (2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為(m,n),則m<0,n>0, 所以圓C的方

16、程為(x+2)2+(y-2)2=8. 因?yàn)閳A與橢圓的交點(diǎn)在橢圓上，則2a=10,a=5. 所以橢圓的方程為=1. (2)由橢圓=1,所以F（4，0）， 若存在，則F在OQ的中垂線上， 又O、Q在圓C上，所以O(shè)、Q關(guān)于直線CF對(duì)稱(chēng). 直線CF的方程為y-2=- (x+2),即x+3y-4=0, 所以存在，Q的坐標(biāo)為. 20.（2020·全國(guó)Ⅱ）(14分）已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為. (1)求a、b的值； （2）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有=+成立？若存在，求

17、出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由. 解：(1)設(shè)F(c,0),當(dāng)l的斜率為1時(shí)， 其方程為x-y-c=0, . (2)C上存在點(diǎn)P,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有=+成立. 由（1）知C的方程為2x2+3y2=6. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). ①當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1). C上的點(diǎn)使=+成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1+x2,y1+y2），且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6, 故2x1x2+3y1y2+3=0. ① 將y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化簡(jiǎn)得 （2+3k2）

18、x2-6k2x+3k2-6=0, l的方程為x+y-2=0; 當(dāng)k=2時(shí)，,l的方程為x-y-2=0. ②當(dāng)l垂直于x軸時(shí),由=（2，0）知，C上不存在點(diǎn)P使=+成立. 綜上，C上存在點(diǎn)使=+成立，此時(shí)l的方程為x±y-2=0. 21.（14分）已知橢圓C：=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，0）、 B（2，0），離心率e=. (1)求橢圓C的方程； （2）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P是其上的動(dòng)點(diǎn). ①當(dāng)△PF1F2內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)； ②若直線l：y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在

19、直線x=4上. (1)解：由題意知a=2,e=,所以c=1,b=. 故橢圓E的方程為=1. (2)①解：|F1F2|=2，設(shè)F1F2邊上的高為h, 則S△PF1F2=×2×h=h. 設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)椤鱌F1F2的周長(zhǎng)為定值6， 所以R×6=3R=S△PF1F2. 當(dāng)P在橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，h最大為， 故S△PF1F2的最大值為， 于是R的最大值為，此時(shí)內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為（0,±）. ②證明：將直線l:y=k(x-1)代入橢圓E的方程=1， 并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4(k2-3)=0. 設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)為M（x1,y1）,N(x2，y2), 下面說(shuō)明P、Q兩點(diǎn)重合，即證明P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等. 因?yàn)閥1=k(x1-1),y2=k(x2-1), 因此結(jié)論成立. 綜上可知，直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.