2020年高中數(shù)學《指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)》導學案 北師大版必修1

第2課時　指數(shù)擴充及其運算性質(zhì) 1.經(jīng)歷冪指數(shù)由正整數(shù)逐步擴充到實數(shù)的過程,理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義. 2.掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化. 3.掌握冪的運算性質(zhì). 我們知道考古學家是通過對生物化石的研究判斷生物的發(fā)展和進化的,那么他們又怎樣判斷它們所處的年代呢? 當生物死亡后,它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,考古學家獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關系P=(,這樣就能推斷它們所處的年代.在科學領域中,常常需要研究這一類問題. 問題1:情景中不一定為整數(shù),不為整數(shù)它還有意義嗎?下面我們就來學習新知識——分數(shù)指數(shù)冪. 分數(shù)指數(shù)冪的定義:給定正實數(shù)a,對于任意給定的整數(shù)m、n(m、n互素),存在唯一的正實數(shù)b,使得bn=am,b叫作a的　　　　次冪,記作　　　　　　,它就是分數(shù)指數(shù)冪.  0的正分數(shù)指數(shù)冪等于　　　,0的負分數(shù)指數(shù)冪　　　　.  問題2:n次方根的概念:如果xn=a,那么x叫作a的　　　　　　,其中n>1,且n∈N+.  (1)當n是奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個　　　　,負數(shù)的n次方根是一個　　　　,因此a的n次方根用符號　　　　表示.  (2)當n是偶數(shù)時,正數(shù)的n次方根有兩個,它們　　　　,可用符號　　　　表示.負數(shù)沒有偶次方根.  (3)當n為奇數(shù)時=　　　　,當n為偶數(shù)時=　　　　　　.  問題3:(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是: =　　　　(a>0,m,n∈N+,n>1).  (2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿,我們規(guī)定: =　　　　(a>0,m,n∈N+,n>1).  問題4:在初中,我們學過正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),當指數(shù)為任意實數(shù)時,這些運算性質(zhì)還適用. 實際上,當a>0,b>0時,對任意實數(shù)m、n,我們可以將指數(shù)運算的性質(zhì)歸結為三條: (1)am·an=　　　　;  (2)(am)n=　　　　;  (3)(ab)n=　　　　.  1.下列運算中,正確的是(　　). A.=a-b　　 B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b 2.下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化,正確的是(　　). A.-=(-x B.=- C.(=(x,y≠0) D.=(x<0) 3.已知y=(3x-2+(2-3x+,則實數(shù)x,y依次為　　　　.  4.化簡(··÷. 分數(shù)指數(shù)冪與根式 用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式: (1)a2·;(2)a3·. 用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡 化簡下面各式: (1); (2)÷(1-2)·; (3); (4)+. 用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求值 已知x+x-1=3,求x2+x-2的值. 用分數(shù)指數(shù)冪表示根式(a>0,b>0)的結果是　　　　.  已知a<b<0,n>1,n∈N+,化簡+. 若已知x3+x-3=2,你能求出x+x-1的值嗎? 1.若+(a-4)0有意義,則a的取值范圍是(　　). A.a≥2　　　　　　 B.a≥2且a≠4 C.a≠2 D.a≠4 2.下列各式中成立的一項是(　　). A.()7=n7 B.= C.=(x+y D.= 3.若5=,5=,則52a-b=　　　　.  4.化簡:(1)()(-3)÷(). (2)(a>0). 　　(2020年·陜西卷)設函數(shù)f(x)=則f(f(-4))=　　　　.  考題變式(我來改編):         答案 第2課時　指數(shù)擴充及其運算性質(zhì) 知識體系梳理 問題1:　b=　0　沒有意義 問題2:n次方根　(1)正數(shù)　負數(shù)　　(2)互為相反數(shù)　±　(3)a　|a|= 問題3:(1)　(2) 問題4:(1)am+n　(2)amn　(3)anbn 基礎學習交流 1.B　在根式運算中,要看清是偶次方根還是奇次方根的運算,它們的運算性質(zhì)是不一樣的.這四個都是偶次方根的運算,當a≥0時,=a,∵a2+b2≥0,所以只有B項是正確的,其余都不對. 2.C　對A,-=-,故A錯;對B,==,故B錯;C是正確的;對D,==(-x(x<0),故D是錯的. 3.,　根據(jù)根式的性質(zhì)知,要使(3x-2有意義,則3x-2≥0,要使(2-3x有意義,則2-3x≥0,故2-3x=0,此時x=,y=. 4.解:原式=··÷=·=a0·b0=1. 重點難點探究 探究一:【解析】(1)a2·=a2·==. (2)a3·=a3·==. 【小結】牢記分數(shù)指數(shù)冪的定義和有理數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)是解題的關鍵. 探究二:【解析】(1)原式=[·(( = = =. (2)原式=÷(1-)· =·· =··=a. (3)原式= = ===3+. (4)原式=+ =+ =+ ===1. 【小結】(1)在冪的運算過程中,要注意乘法公式的運用,常用的乘法公式有完全平方、平方差、立方和與立方差公式. (2)考查根式的運算能力.復合根式要化簡,必須將被開方數(shù)配成完全平方式,從內(nèi)層逐步“去掉”根式,如本探究(3),同時還要注意=|a|,如果分母中含有根號應化簡后再有理化. (3)注意靈活應用分式化簡的方法和技巧,例如:①把分子、分母分解因式,可約分的先約分;②利用分式的基本性質(zhì)化繁分式為簡分式,化異分母為同分母;③把適當?shù)膸讉€分式先化簡,各個擊破;④用換元法使分式簡化. 探究三:【解析】由x+x-1=3,兩邊平方得: (x+x-1)2=32,x2+2+x-2=9,∴x2+x-2=7. 【小結】在指數(shù)冪的求值運算中,要運用整體的思想去分析,把已知和未知聯(lián)系起來,進而求得未知. 思維拓展應用 應用一:　=(a-1=. 應用二:①當n是奇數(shù)時,原式=(a-b)+(a+b)=2a; ②當n是偶數(shù)時,原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. 　　應用三:x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1) =(x+x-1)[(x+x-1)2-2-1] =(x+x-1)[(x+x-1)2-3]=2, 令x+x-1=m,則方程變形為m(m2-3)=2, 則有m3-3m-2=m3+1-3(m+1)=(m+1)(m2-m+1)-3(m+1)=(m+1)(m2-m-2)=(m+1)2(m-2), 則方程變形為(m+1)2(m-2)=0. 即得m=-1或m=2. 若m=-1,則x+x-1=-1,此時方程無解,舍去, 若m=2,則x+x-1=2,解得x=1,故x+x-1=2. 基礎智能檢測 1.B　∵a-2≥0,a-4≠0,∴a≥2且a≠4,故選B. 2.D　()7=n7m-7,(-3)4=34,x3+y3≠(x+y)3. 3.　由5=,5=,得5a=2,5b=3. ∴52a-b===. 4.解:(1)原式=-9=-9ab0=-9a. (2)原式====. 全新視角拓展 4　∵f(-4)=()-4=16,∴f(f(-4))=f(16)==4.