2020年高中數(shù)學(xué)《指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修1

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1、第2課時(shí)　指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì) 1.經(jīng)歷冪指數(shù)由正整數(shù)逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的過(guò)程,理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義. 2.掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化. 3.掌握冪的運(yùn)算性質(zhì). 我們知道考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究判斷生物的發(fā)展和進(jìn)化的,那么他們又怎樣判斷它們所處的年代呢? 當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,考古學(xué)家獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系P=(,這樣就能推斷它們所處的年代.在科學(xué)領(lǐng)域中,常常需要研究這一類問(wèn)題. 問(wèn)題1

2、:情景中不一定為整數(shù),不為整數(shù)它還有意義嗎?下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)——分?jǐn)?shù)指數(shù)冪. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義:給定正實(shí)數(shù)a,對(duì)于任意給定的整數(shù)m、n(m、n互素),存在唯一的正實(shí)數(shù)b,使得bn=am,b叫作a的　　　　次冪,記作　　　　　　,它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.? 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于　　　,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪　　　　.? 問(wèn)題2:n次方根的概念:如果xn=a,那么x叫作a的　　　　　　,其中n>1,且n∈N+.? (1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)　　　　,負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)　　　　,因此a的n次方根用符號(hào)　　　　表示.? (2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè),它們　　　　,可用符

3、號(hào)　　　　表示.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.? (3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)=　　　　,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)=　　　　　　.? 問(wèn)題3:(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是: =　　　　(a>0,m,n∈N+,n>1).? (2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿,我們規(guī)定: =　　　　(a>0,m,n∈N+,n>1).? 問(wèn)題4:在初中,我們學(xué)過(guò)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),當(dāng)指數(shù)為任意實(shí)數(shù)時(shí),這些運(yùn)算性質(zhì)還適用. 實(shí)際上,當(dāng)a>0,b>0時(shí),對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,我們可以將指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)歸結(jié)為三條: (1)am·an=　　　　;? (2)(am)n=　　　　;? (3)(ab)n=　　　　

4、.? 1.下列運(yùn)算中,正確的是(　　). A.=a-b　　 B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b 2.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,正確的是(　　). A.-=(-x B.=- C.(=(x,y≠0) D.=(x<0) 3.已知y=(3x-2+(2-3x+,則實(shí)數(shù)x,y依次為　　　　.? 4.化簡(jiǎn)(··÷. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式: (1)a2·;(2)a3·. 用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn)下面各式: (1); (2)÷(1-2)·; (3); (4)+.

5、 用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求值 已知x+x-1=3,求x2+x-2的值. 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示根式(a>0,b>0)的結(jié)果是　　　　.? 已知a1,n∈N+,化簡(jiǎn)+. 若已知x3+x-3=2,你能求出x+x-1的值嗎? 1.若+(a-4)0有意義,則a的取值范圍是(　　). A.a≥2　　　　　　 B.a≥2且a≠4 C.a≠2 D.a≠4 2.下列各式中成立的一項(xiàng)是(　　). A.()7=n7 B.= C.=(x+y D.= 3.若5=,5=,則52a

6、-b=　　　　.? 4.化簡(jiǎn):(1)()(-3)÷(). (2)(a>0). 　　(2020年·陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(-4))=　　　　.? 考題變式(我來(lái)改編): ? ? ? ? 答案 第2課時(shí)　指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì) 知識(shí)體系梳理 問(wèn)題1:　b=　0　沒(méi)有意義 問(wèn)題2:n次方根　(1)正數(shù)　負(fù)數(shù)　　(2)互為相反數(shù)　±　(3)a　|a|= 問(wèn)題3:(1)　(2) 問(wèn)題4

7、:(1)am+n　(2)amn　(3)anbn 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 1.B　在根式運(yùn)算中,要看清是偶次方根還是奇次方根的運(yùn)算,它們的運(yùn)算性質(zhì)是不一樣的.這四個(gè)都是偶次方根的運(yùn)算,當(dāng)a≥0時(shí),=a,∵a2+b2≥0,所以只有B項(xiàng)是正確的,其余都不對(duì). 2.C　對(duì)A,-=-,故A錯(cuò);對(duì)B,==,故B錯(cuò);C是正確的;對(duì)D,==(-x(x<0),故D是錯(cuò)的. 3.,　根據(jù)根式的性質(zhì)知,要使(3x-2有意義,則3x-2≥0,要使(2-3x有意義,則2-3x≥0,故2-3x=0,此時(shí)x=,y=. 4.解:原式=··÷=·=a0·b0=1. 重點(diǎn)難點(diǎn)探究 探究一:【解析】(1)a2·=a2·==.

8、 (2)a3·=a3·==. 【小結(jié)】牢記分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義和有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 探究二:【解析】(1)原式=[·(( = = =. (2)原式=÷(1-)· =·· =··=a. (3)原式= = ===3+. (4)原式=+ =+ =+ ===1. 【小結(jié)】(1)在冪的運(yùn)算過(guò)程中,要注意乘法公式的運(yùn)用,常用的乘法公式有完全平方、平方差、立方和與立方差公式. (2)考查根式的運(yùn)算能力.復(fù)合根式要化簡(jiǎn),必須將被開(kāi)方數(shù)配成完全平方式,從內(nèi)層逐步“去掉”根式,如本探究(3),同時(shí)還要注意=|a|,如果分母中含有根號(hào)應(yīng)化簡(jiǎn)后再有理化. (3)注意靈活

9、應(yīng)用分式化簡(jiǎn)的方法和技巧,例如:①把分子、分母分解因式,可約分的先約分;②利用分式的基本性質(zhì)化繁分式為簡(jiǎn)分式,化異分母為同分母;③把適當(dāng)?shù)膸讉€(gè)分式先化簡(jiǎn),各個(gè)擊破;④用換元法使分式簡(jiǎn)化. 探究三:【解析】由x+x-1=3,兩邊平方得: (x+x-1)2=32,x2+2+x-2=9,∴x2+x-2=7. 【小結(jié)】在指數(shù)冪的求值運(yùn)算中,要運(yùn)用整體的思想去分析,把已知和未知聯(lián)系起來(lái),進(jìn)而求得未知. 思維拓展應(yīng)用 應(yīng)用一:　=(a-1=. 應(yīng)用二:①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),原式=(a-b)+(a+b)=2a; ②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. 　　

10、應(yīng)用三:x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1) =(x+x-1)[(x+x-1)2-2-1] =(x+x-1)[(x+x-1)2-3]=2, 令x+x-1=m,則方程變形為m(m2-3)=2, 則有m3-3m-2=m3+1-3(m+1)=(m+1)(m2-m+1)-3(m+1)=(m+1)(m2-m-2)=(m+1)2(m-2), 則方程變形為(m+1)2(m-2)=0. 即得m=-1或m=2. 若m=-1,則x+x-1=-1,此時(shí)方程無(wú)解,舍去, 若m=2,則x+x-1=2,解得x=1,故x+x-1=2. 基礎(chǔ)智能檢測(cè) 1.B　∵a-2≥0,a-4≠0,∴a≥2且a≠4,故選B. 2.D　()7=n7m-7,(-3)4=34,x3+y3≠(x+y)3. 3.　由5=,5=,得5a=2,5b=3. ∴52a-b===. 4.解:(1)原式=-9=-9ab0=-9a. (2)原式====. 全新視角拓展 4　∵f(-4)=()-4=16,∴f(f(-4))=f(16)==4.