《2020年高考數(shù)學(xué)《數(shù)列》專題 數(shù)列求和學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)《數(shù)列》專題 數(shù)列求和學(xué)案（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5課時(shí) 數(shù)列求和
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有下列幾種方法：
1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝ ＝ ．
2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
① 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝ ．
② 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝ ．
3．倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列與原數(shù)列相加．主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和有公因子可提的數(shù)列求和．
4．錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．
5．裂項(xiàng)求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可直接求和的數(shù)列．
典型例題
例1. 已知數(shù)列：1，，，，…，，求它的
2、前n項(xiàng)的和Sn．
解：∵ an＝1＋＋＋……＋
＝ ∴an＝2－
則原數(shù)列可以表示為：
(2－1)，，，，…前n項(xiàng)和Sn＝(2－1)＋＋＋…＋
＝2n－
＝2n－＝2n－2
＝＋2n－2
變式訓(xùn)練1.數(shù)列前n項(xiàng)的和為 （ ）
A． B．
C． D．
答案:B。解析：
例2. 求Sn＝1＋＋＋…＋．
解：∵ an＝＝
＝2(－)
∴ Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝
變式訓(xùn)練2：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，若前n項(xiàng)之和為10，則項(xiàng)數(shù)n為（ ）
A．11 B．99
C．120
3、 D．121
解：C .an＝＝，
∴Sn＝，由＝10，∴＝11，
∴n＝11
例3. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
解：取n＝1，則a1＝a1＝1
又Sn＝可得：＝
∵an≠－1(n∈N*) ∴an＝2n－1
∴Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n ①
2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n＋1②
①－②得：
∴－Tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1
＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(1
4、－n)·2n＋2
∴Tn＝6＋(n－1)·2n＋2
變式訓(xùn)練3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求數(shù)列{an}和{bn}通項(xiàng)公式．
⑵ 設(shè)Cn＝，求數(shù)列{Cn}前n項(xiàng)和Tn ．
解：（1）當(dāng)n＝1時(shí)a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通項(xiàng)公式為an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差數(shù)列，設(shè){bn}的公比為q，則b1qd＝b1，d＝4，∴ q＝，故bn＝b1qn－1＝
（2）∵Cn＝＝
∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1
5、
∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－n＋（2n－1）4n
兩式相減 3Tn＝
∴ Tn＝．
例4. 求Sn＝1!＋2·2！＋3·3?。玭·n?。?
解： an＝n·n!＝(n＋1)!－n!
∴ Sn＝(n＋1)!－1!＝(n＋1)!－1
變式訓(xùn)練4.以數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn(an、an＋1)均在一次函數(shù)y＝2x＋k的圖象上，數(shù)列{bn}滿足條件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．
⑴ 求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
⑵ 設(shè)數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．
解：⑴由題意，
6、an＋1＝2an＋k
∴ bn＝an＋1－an＝2an＋k－an＝an＋k
bn＋1＝an＋1＋k＝2an＋2k＝2bn
∵ b1≠0，∴ ＝2
∴ {bn}是公比為2的等比數(shù)列．
⑵ 由⑴知an＝bn－k
∵ bn＝b1·2n－1 ∴ Tn＝
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(b1＋b2＋…＋bn)－nk
＝Tn－nk＝b1(2n－1)－nk
∵ ∴
解得：k＝8
歸納小結(jié)
1．求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”．其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的方冪和，從而可用基本求和公式；其二是消項(xiàng)，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項(xiàng)的和．
2．對(duì)通項(xiàng)中含有(－1)n的數(shù)列，求前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)注意討論n的奇偶性．
3．倒序相加和錯(cuò)位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和用到的方法，在復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視．
2020年高考數(shù)學(xué)《數(shù)列》專題 數(shù)列求和學(xué)案
