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1、課時作業(yè)(五十二)
一、選擇題
1.如圖,二面角α-AB-β的大小為60°,PQ?平面α,∠PQB=45°,若PQ=4,則點P到平面β的距離為( )
A.2 B.
C.2 D.3
答案 B
解析 過P向平面β引垂線,垂足為M,則PM為P到β的距離,過M向AB引垂線MN,連結(jié)PN.
則PN⊥AB,∴∠PNM為α—AB—β的平面角,
在Rt△PQN中,∠PQN=45°,∴PN=2,
在Rt△PMN中,∠PNM=60°,∴PM=.
2.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為對角線AD1上任意一點,Q為對角線B1C上任意一點,則PQ的最小
2、值為( )
A.a(chǎn) B.a
C.a D.2a
答案 A
解析 ∵AD1與B1C是異面直線,它們之間的距離為所在兩側(cè)面間的距離a,
∴當PQ為其公垂線時,有最小值a.
3.如圖,正方體A1B1C1D1—ABCD中,O1是上底面A1B1C1D1的中點,若正方體的棱長為2,則O1到平面ABC1D1的距離為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 過A1點作A1E⊥AD1,E為垂足,則A1E=,即為點A1到平面ABC1D1的距離.又∵O1為A1C1的中點,∴O1點到平面ABC1D1的距離為.
4.(09·湖北)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中∠A
3、CB=90°,∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,側(cè)棱CC1的長為1,則該三棱柱的高等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 設(shè)C1在底面ABC上的射影為H,連接C1H,作C1D⊥AC于D,連接HD,作C1E⊥BC于E,連接HE,又∠ACB=90°,則易知四邊形HDCE為矩形.在Rt△C1DC中,C1D=,在Rt△C1EC中,CE=,所以DH=CE=,則C1H==,故選A.
5.設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線,A∈a,B∈b,AB=2,a、b成30°角,在a上取一點P使PA=4,則點P到b的距離等于( )
A.2 B.2
C.2 D.2或2
4、
答案 A
解析 如圖,作a∥a′,PD⊥a′于D,PC⊥b于C,連接CD,∴PD∥AB
∴BC⊥CD,且∠DBC=30°
∴PC2=PD2+CD2=AB2+(PA·sin30°)2=4+4=8,∴PC=2.
6.在△ABC中,AB=15,∠BCA=120°,若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14,則P到α的距離是( )
A.13 B.11
C.9 D.7
答案 B
解析 作PO⊥平面α,垂足為O.
∵PA=PB=PC=14,∴OA=OB=OC
∴O為△ABC的外心,∴OA==5
∴PO==11,故選B.
二、填空題
7.(2020·濟寧
5、)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底面邊長均為2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,則側(cè)棱AA1和截面B1D1DB的距離是________.
答案 a
解析 本題考查直線到平面的距離的求法.如圖所示,
由題可得:cosA1AC·cosBAC=cosA1AB?cosA1AC·cos45°=cos60°?cosA1AC=?∠A1AC=45°,A1A與平面BB1D1的距離等于A1到O1O的距離d,則d=|A1O1|sinA1O1O=|A1O1|·sinA1AC=×sin45°=a.
8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,A
6、A1=4,則C1到A1B的距離為________,A1B1到平面ABC1D1的距離為________.
答案
9.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點C到平面ABC1的距離為________.
答案
解析 如圖,作CD⊥AB,連結(jié)C1D,再作CO⊥C1D,易證CO就是點C到平面ABC1的距離.由AB=1,得CD=,又由∠C1DC=60°,在Rt△OCD中求得:
OC=sin60°=,即點C到平面ABC1的距離為.
10.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,P是空間一點,且P到平面α、β的距離分別是1、2,則點P到l的
7、距離為________.
答案
解析 本題考查簡單多面體的有關(guān)性質(zhì).作PA⊥α于A,PB⊥β于B,平面PAB∩l=O,連結(jié)OP,有l(wèi)⊥平面PAB,PO?平面PAB?PO⊥l,|PO|即為所求?|PO|===.
三、解答題
11.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=a,D、E分別為棱AB、BC的中點,M為棱AA1上的點,二面角M-DE-A為30°.
(1)證明:A1B1⊥C1D;
(2)求MA的長,并求點C到平面MDE的距離.
解析 (1)證明 連結(jié)DC,∵AC=BC且D為AB中點,∴DC⊥AB
由題意可知:C1C⊥AB
∴AB⊥面DC1
8、C
又∵C1D?面DC1C
∴AB⊥C1D
由題意知:AB∥A1B1,∴A1B1⊥C1D
(2)過A作AN⊥ED交ED延長線于N,連MN,由三垂線定理可知:∠MNA即為二面角M-DE-A的平面角,∴∠MNA=30°
還可證得ANEC為長方形
∴AN=EC=
∴tan30°= ∴MA=AN·tan30°=a
由題易知:AC∥面MDE
∴C到面MDE的距離即為點A到面MDE的距離
過A作AQ⊥MN交MN于Q點,可以證得AQ⊥面MDE
∴AQ的長就是C點到面MDE的距離
∴AQ==
==a.
12.(2020·浙江五校)在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=
9、1,AB=2,點E在棱AB上移動.
(1)證明D1E⊥A1D;
(2)點E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離.
解析 (1)證明 (法一)∵AE⊥平面AA1D1D,則A1D⊥AE.又A1D⊥AD1,A1D⊥平面AED1,∴A1D⊥D1E.
(法二)∵AD=AA1,∴A1ADD1為正方形,∴A1D⊥AD1.又∵AE⊥平面AD1,∴AD1為D1E在面AD1內(nèi)的射影.∴D1E⊥A1D
(2)設(shè)點E到平面ACD1的距離為h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=,
故S△AD1C=××=,
而S△ACE=·AE·BC=,
∴VD1-AEC=S△AEC·DD1=S△AD1C·
10、h
∴×1=×h.∴h=.
13.(2020·江蘇卷,理)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求證:PC⊥BC;
(2)求點A到平面PBC的距離.
解析 (1)因為PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得BC⊥DC.
又PD∩DC=D,PD?平面PCD,
DC?平面PCD,所以BC⊥平面PCD.
因為PC?平面PCD,所以PC⊥BC.
(2)連結(jié)AC.設(shè)點A到平面PBC的距離為h.
因為AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.
從而由AB=2,BC=1,得△ABC的面積S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱錐P-ABC的體積
V=S△ABC·PD=.
因為PD⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PD⊥DC.
又PD=DC=1,所以PC==.
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面積S△PBC=.
由V=S△PBCh=··h=,得h=.
因此,點A到平面PBC的距離為