2020高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第一部分專(zhuān)題八 探索性問(wèn)題

專(zhuān)題八 探索性問(wèn)題 近年來(lái)，隨著社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的迅速發(fā)展，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)全面發(fā)展的開(kāi)拓型、創(chuàng)造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)放型問(wèn)題隨之產(chǎn)生。于是，探索性問(wèn)題成了近幾年來(lái)高考命題中的熱點(diǎn)問(wèn)題，它既是高等學(xué)校選拔高素質(zhì)人材的需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造能力、開(kāi)拓能力的任務(wù)所要求的。實(shí)際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，知識(shí)的形成過(guò)程也是觀(guān)察、分析、歸納、類(lèi)比、猜想、概括、推證的探索過(guò)程，其探索方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。 一般地，對(duì)于雖給出了明確條件，但沒(méi)有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探索者通過(guò)觀(guān)察、分析、歸納出結(jié)論或判斷結(jié)論的問(wèn)題（探索結(jié)論）；或者雖給出了問(wèn)題的明確結(jié)論，但條件不足或未知，需要解題者尋找充分條件并加以證明的問(wèn)題（探索條件），稱(chēng)為探索性問(wèn)題。此外，有些探索性問(wèn)題也可以改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化；或者改變結(jié)論，探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化；或者給出一些實(shí)際中的數(shù)據(jù)，通過(guò)分析、探討解決問(wèn)題。 探索性問(wèn)題一般有以下幾種類(lèi)型：猜想歸納型、存在型問(wèn)題、分類(lèi)討論型。 猜想歸納型問(wèn)題是指在問(wèn)題沒(méi)有給出結(jié)論時(shí)，需要從特殊情況入手，進(jìn)行猜想后證明其猜想的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件出發(fā)，通過(guò)觀(guān)察、試驗(yàn)、不完全歸納、猜想，探討出結(jié)論，然后再利用完全歸納理論和要求對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明。其主要體現(xiàn)是解答數(shù)列中等與n有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。 存在型問(wèn)題是指結(jié)論不確定的問(wèn)題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來(lái)，可能不存在，則需要說(shuō)明理由。解答這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們可以先假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無(wú)矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。代數(shù)、三角、幾何中，都可以出現(xiàn)此種探討“是否存在”類(lèi)型的問(wèn)題。 分類(lèi)討論型問(wèn)題是指條件或者結(jié)論不確定時(shí)，把所有的情況進(jìn)行分類(lèi)討論后，找出滿(mǎn)足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見(jiàn)于含有參數(shù)的問(wèn)題，或者情況多種的問(wèn)題。 探索性問(wèn)題，是從高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的新題型，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類(lèi)問(wèn)題的橋梁和向?qū)?，通常需要綜合運(yùn)用歸納與猜想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要重視對(duì)這一問(wèn)題的訓(xùn)練，以提高我們的思維能力和開(kāi)拓能力。 【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的類(lèi)型，并畫(huà)出曲線(xiàn)簡(jiǎn)圖。 【分析】由圓、橢圓、雙曲線(xiàn)等方程的具體形式，結(jié)合方程kx＋y＝4的特點(diǎn)，對(duì)參數(shù)k分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況進(jìn)行討論。 【解】由方程kx＋y＝4，分k>1、k＝1、0<k<1、k＝0、k<0五種情況討論如下： ① 當(dāng)k>1時(shí)，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，a＝2，b＝; ② 當(dāng)k＝1時(shí)，表示圓，圓心在原點(diǎn)，r＝2； ③ 當(dāng)0<k<1時(shí)，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，a＝，b＝2； ④ 當(dāng)k＝0時(shí)，表示兩條平行直線(xiàn) y＝±2； ⑤ 當(dāng)k<0時(shí)，表示雙曲線(xiàn)，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上。 所有五種情況的簡(jiǎn)圖依次如下所示： 【注】分類(lèi)討論型問(wèn)題，把所有情況分類(lèi)討論后，找出滿(mǎn)足條件的條件或結(jié)論。 【例2】給定雙曲線(xiàn)x－＝1， ① 過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線(xiàn)L與所給雙曲線(xiàn)交于P及P，求線(xiàn)段PP的中點(diǎn)P的軌跡方程； ② 過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線(xiàn)m，使m與所給雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)Q、Q，且點(diǎn)B是線(xiàn)段Q、Q的中點(diǎn)？這樣的直線(xiàn)m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由。 【分析】?jī)蓡?wèn)都可以設(shè)直線(xiàn)L的點(diǎn)斜式方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立成方程組，其解就是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用韋達(dá)定理求解中點(diǎn)坐標(biāo)等。 ∴ x＋x＝＝2×2 ∴k＝2 代入消y后的方程計(jì)算得到：△<0， ∴滿(mǎn)足題中條件的直線(xiàn)m不存在。 【注】本題綜合性比較強(qiáng)，將解析幾何知識(shí)進(jìn)行了橫向綜合。對(duì)于直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題和有關(guān)交點(diǎn)弦長(zhǎng)及其中點(diǎn)的問(wèn)題，一般可以利用韋達(dá)定理和根的判別式求解。本題屬于存在型問(wèn)題，其一般解法是：假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無(wú)矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。在解題思路中，分析法與反證法起了關(guān)鍵作用。這類(lèi)問(wèn)題一般是先列出條件組，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化解組。 【例3】設(shè){a}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為S，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，a與2的等差中項(xiàng)等于S與2的等比中項(xiàng)。 ① 寫(xiě)出數(shù)列{a}的前3項(xiàng)； ② 求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）； ③ 令b＝（＋） (n∈N)，求(b＋b＋…＋b－n)。 【分析】由題意容易得到＝，由此而求得a、a、a，通過(guò)觀(guān)察猜想a，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。求出a后，代入不難求出b，再按照要求求極限。 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由題意有＝＝ ∴ ()＝2(a＋2k) 即a－4a＋4－16k＝0 由a>0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2， 所以n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立。 綜上所述，上述結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)n都成立。 ③ 設(shè)c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2） ＝[（－1）＋(－1)]＝－ b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝（1－）+（－）＋…＋(－)＝1－ ∴(b＋b＋…＋b－n)＝(1－)＝1 【注】本題求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于猜想歸納型問(wèn)題，其一般思路是：從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況出發(fā)，推測(cè)出結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格證明。第③問(wèn)對(duì)極限的求解，使用了“裂項(xiàng)相消法”，設(shè)立新的數(shù)列c具有一定的技巧性。 此外，本題第②問(wèn)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，屬于給出數(shù)列中S與a的函數(shù)關(guān)系式求a，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題我們還可以直接求解，解答思路是由a＝S－S的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，再發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特征或者通過(guò)構(gòu)造新的數(shù)列求解。具體的解答過(guò)程是： 由題意有＝，整理得到S＝(a＋2)，所以S＝(a＋2)， ∴ a＝S－S＝[(a＋2)－(a＋2)] 整理得到(a＋a)( a－a－4)＝0 由題意a>0可以得到：a－a－4＝0,即a－a＝4 ∴數(shù)列{a}為等差數(shù)列，其中a＝2，公差d＝4，即通項(xiàng)公式為a＝4n－2。 【例4】已知x>0，x≠1，且x＝ (n∈N)，比較x與x的大小。 【分析】比較x與x的大小，采用“作差法”，判別差式的符號(hào)式，分情況討論。 【解】x－x＝－x＝ 由x>0及數(shù)列{x}的定義可知，x>0，所以x－x與1－x的符號(hào)相同。 假定x<1，當(dāng)n＝1時(shí)，1－x>0；假設(shè)n＝k時(shí)1－x>0，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 所以，對(duì)一切自然數(shù)n都有x<x。 【注】本題對(duì)1－x的符號(hào)的探討，由于其與自然數(shù)n有關(guān)，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法解決。一般地，探索性問(wèn)題與自然數(shù)n有關(guān)時(shí)，我們可以用歸納→猜想→證明的方法解出。