【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學 第2章章末綜合檢測 新人教B版必修2

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1、 (時間：120分鐘；滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．直線3ax－y－1＝0與直線(a－)x＋y＋1＝0垂直，則a的值是(　　) A．－1或　　　　　　　　　 B．1或 C．－或－1 D．－或1 解析：選D.由3a(a－)＋(－1)×1＝0，得a＝－或a＝1. 2．直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標系中的圖形大致是圖中的(　　) 解析：選C.直線l1：ax－y＋b＝0，斜率為a，在y軸上的截距為b， 設(shè)k1＝a，m1＝b.直線l2：bx－y＋a

2、＝0，斜率為b，在y軸上的截距為a， 設(shè)k2＝b，m2＝a. 由A知：因為l1∥l2，k1＝k2>0，m1>m2>0，即a＝b>0，b>a>0，矛盾． 由B知：k1<0m2>0，即a<0a>0，矛盾． 由C知：k1>k2>0，m2>m1>0，即a>b>0，可以成立． 由D知：k1>k2>0，m2>0>m1，即a>b>0，a>0>b，矛盾． 3．已知點A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是(　　) A．6－2 B．8 C．4 D．10 解析：選B.點A關(guān)于x軸對稱點A′(－1，－1)，A′

3、與圓心(5,7)的距離為＝10.∴所求最短路程為10－2＝8. 4．圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含 解析：選D.圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑為1，圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心距0<2－1＝1，所以兩圓內(nèi)含． 5．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直線l：x－y＋3＝0，當直線l被圓C截得的弦長為2時，a的值等于(　　) A. B.－1 C．2－ D.＋1 解析：選B.圓心(a,2)到直線l：x－y＋3＝0的距離d＝＝，依題意2＋2＝4，解得a＝－

4、1. 6．與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線是(　　) A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 解析：選D.∵所求直線平行于直線2x＋3y－6＝0， ∴設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋c＝0， 由＝， ∴c＝8，或c＝－6(舍去)， ∴所求直線方程為2x＋3y＋8＝0. 7．若直線y－2＝k(x－1)與圓x2＋y2＝1相切，則切線方程為(　　) A．y－2＝(1－x) B．y－2＝(x－1) C．x＝1或y－2＝(1－x) D．x＝1或y－2＝(x－1) 解析：選B.數(shù)形結(jié)合答案容易錯選D，

5、但要注意直線的表達式是點斜式，說明直線的斜率存在，它與直線過點(1,2)要有所區(qū)分． 8．圓x2＋y2－2x＝3與直線y＝ax＋1的公共點有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．隨a值變化而變化 解析：選C.直線y＝ax＋1過定點(0,1)，而該點一定在圓內(nèi)部． 9．過P(5,4)作圓C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切線，切點分別為A、B，四邊形PACB的面積是(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：選B.∵圓C的圓心為(1,1)，半徑為. ∴|PC|＝＝5， ∴|PA|＝|PB|＝＝2， ∴S＝×2××2＝10. 10．若直線mx＋

6、2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－4＝0的周長，則mn的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(0，－1) C．(－∞，1) D．(－∞，－1) 解析：選C.圓x2＋y2－4x－2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，直線mx＋2ny－4＝0始終平分圓周，即直線過圓心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，當m＝1時等號成立，此時n＝1，與“m≠n”矛盾，所以mn＜1. 11．已知直線l：y＝x＋m與曲線y＝有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－2

7、,2) B．(－1,1) C．[1，) D．(－，) 解析：選C. 曲線y＝表示單位圓的上半部分，畫出直線l與曲線在同一坐標系中的圖象，可觀察出僅當直線l在過點(－1,0)與點(0,1)的直線與圓的上切線之間時，直線l與曲線有兩個交點． 當直線l過點(－1,0)時，m＝1； 當直線l為圓的上切線時，m＝(注：m＝－，直線l為下切線)． 12．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為(　　) A．4 B．2 C. D. 解析：選A.∵點P在圓上， ∴切線l的斜率k＝－＝－＝.

8、 ∴直線l的方程為y－4＝(x＋2)， 即4x－3y＋20＝0. 又直線m與l平行， ∴直線m的方程為4x－3y＝0. 故兩平行直線的距離為d＝＝4. 二、填空題(本大題共4小題，請把答案填在題中橫線上) 13．過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是________． 解析：易求得AB的中點為(0,0)，斜率為－1，從而其垂直平分線為直線y＝x，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，這條直線應該過圓心，將它與直線x＋y－2＝0聯(lián)立得到圓心O(1,1)，半徑r＝|OA|＝2. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4 14．過點P(－2,0)作直線l交圓x2＋y2

9、＝1于A、B兩點，則|PA|·|PB|＝________. 解析：過P作圓的切線PC，切點為C，在Rt△POC中，易求|PC|＝，由切割線定理，|PA|·|PB|＝|PC|2＝3. 答案：3 15．若垂直于直線2x＋y＝0，且與圓x2＋y2＝5相切的切線方程為ax＋2y＋c＝0，則ac的值為________． 解析：已知直線斜率k1＝－2，直線ax＋2y＋c＝0的斜率為－.∵兩直線垂直，∴(－2)·(－)＝－1，得a＝－1.圓心到切線的距離為，即＝，∴c＝±5，故ac＝±5. 答案：±5 16．若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍

10、是__________． 解析：將圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化為標準方程， 得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓心為(1，－2)，半徑為1.若直線與圓無公共點，即圓心到直線的距離大于半徑，即d＝＝＞1， ∴m＜0或m＞10. 答案：(－∞，0)∪(10，＋∞) 三、解答題(本大題共6小題，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．三角形ABC的邊AC，AB的高所在直線方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，頂點A(1,2)，求BC邊所在的直線方程． 解：AC邊上的高線2x－3y＋1＝0， 所以kAC＝－. 所以AC的方程為y－2＝－(x－1)， 即3x

11、＋2y－7＝0， 同理可求直線AB的方程為x－y＋1＝0. 下面求直線BC的方程， 由得頂點C(7，－7)， 由得頂點B(－2，－1)． 所以kBC＝－，直線BC：y＋1＝－(x＋2)， 即2x＋3y＋7＝0. 18．一束光線l自A(－3,3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射后與圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共點． (1)求反射光線通過圓心C時，光線l所在直線的方程； (2)求在x軸上，反射點M的橫坐標的取值范圍． 解：圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝1. (1)圓心C關(guān)于x軸的對稱點為C′(2，－2)，過點A，C′的直線的方程x＋y＝0即為光線l所在直

12、線的方程． (2)A關(guān)于x軸的對稱點為A′(－3，－3)， 設(shè)過點A′的直線為y＋3＝k(x＋3)． 當該直線與圓C相切時，有＝1，解得k＝或k＝， 所以過點A′的圓C的兩條切線分別為y＋3＝(x＋3)，y＋3＝(x＋3)． 令y＝0，得x1＝－，x2＝1， 所以在x軸上反射點M的橫坐標的取值范圍是[－，1]． 19．已知圓x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)此方程表示圓，求m的取值范圍； (2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值； (3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程． 解：(1)方程x2＋y2－

13、2x－4y＋m＝0，可化為 (x－1)2＋(y－2)2＝5－m， ∵此方程表示圓， ∴5－m＞0，即m＜5. (2) 消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0， 化簡得5y2－16y＋m＋8＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0. 將①②兩式代入上式得 16－8×＋5×＝0， 解之得m＝. (3)由m＝，代入5y2－16y＋m＋8＝0， 化簡整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝，y2＝. ∴x1

14、＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝. ∴M，N， ∴MN的中點C的坐標為. 又|MN|＝ ＝， ∴所求圓的半徑為. ∴所求圓的方程為2＋2＝. 20. 已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖． (1)求a、b間關(guān)系； (2)求|PQ|的最小值； (3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程． 解：(1)連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形， 又|PQ|＝|PA|， 所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2 ＝1＋|PA|2， 所以a2＋

15、b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2， 故2a＋b－3＝0. (2)由(1)知，P在直線l：2x＋y－3＝0上， 所以|PQ|min＝|PA|min，為A到直線l的距離， 所以|PQ|min＝＝. (或由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得|PQ|min＝.) (3)以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點與l垂直的直線l′與l的交點P0，所以r＝－1＝－1， 又l′：x－2y＝0， 聯(lián)立l：2x＋y－3

16、＝0得P0(，)． 所以所求圓的方程為(x－)2＋(y－)2＝(－1)2. 21．有一圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點A(3,6)，且經(jīng)過點B(5,2)，求此圓的方程． 解：法一：由題意可設(shè)所求的方程為(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因為此圓過點(5,2)，將坐標(5,2)代入圓的方程求得λ＝－1，所以所求圓的方程為x2＋y2－10x－9y＋39＝0. 法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則圓心為C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得 解得所以所求圓的方程為(x－5)2＋(y－)2＝. 法三：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋

17、Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圓上，得 解得 所以所求圓的方程為x2＋y2－10x－9y＋39＝0. 法四：設(shè)圓心為C，則CA⊥l，又設(shè)AC與圓的另一交點為P，則CA的方程為y－6＝－(x－3)， 即3x＋4y－33＝0. 又因為kAB＝＝－2， 所以kBP＝，所以直線BP的方程為x－2y－1＝0. 解方程組得所以P(7,3)． 所以圓心為AP的中點(5，)，半徑為|AC|＝. 所以所求圓的方程為(x－5)2＋(y－)2＝. 22．如圖在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (

18、1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程； (2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等．試求所有滿足條件的點P的坐標． 解：(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因為圓C1被直線l截得的弦長為2，所以d＝＝1. 由點到直線的距離公式得d＝， 從而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－， 所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0. (2

19、)設(shè)點P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－(x－a)．因為圓C1和C2的半徑相等，且圓C1被直線l1截得的弦長與圓C2被直線l2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即 ＝， 整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因為k的取值有無窮多個，所以 或 解得或 這樣點P只可能是點P1或點P2. 經(jīng)檢驗點P1和P2滿足題目條件．