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1．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．
解：∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
∴此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a.
(1)當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1.
(2)當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)
2、min≥a，即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[－3,1]．
2.如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4，直線m：kx－y＋1＝0.
(1)求證：直線m與圓O有兩個相異交點；
(2)設直線m與圓O的兩個交點為A、B，求△AOB面積S的最大值．
解：(1)證明：直線m：kx－y＋1＝0可化為y－1＝kx，
故該直線恒過點(0,1)，而(0,1)在圓O：x2＋y2＝4內(nèi)部，
所以直線m與圓O恒有兩個不同交點．
(2)圓心O到直線m的距離為d＝，而圓O的半徑r＝2，
故弦AB的長為|AB|＝2＝2，
故△AOB面積S＝|AB|×d＝×2×
3、d
＝＝
而d2＝，因為1＋k2≥1，所以d2＝∈(0,1]，
顯然當d2∈(0,1]時，S單調(diào)遞增，
所以當d2＝1，即k＝0時，S取得最大值，此時直線m的方程為y－1＝0.
3.四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示．
(1)在四棱錐中，E為線段PD的中點，求證：PB∥平面AEC；
(2)在四棱錐中，F(xiàn)為線段PA上的點，且＝λ，則λ為何值時，PA⊥平面DBF？并求此時幾何體F－BDC的體積．
解： (1)證明：四棱錐P－ABCD的直觀圖如圖所示．
連接AC、BD，設交點為O，連接OE，
∵OE為△DPB的中位線，
∴OE∥PB.
∵EO?平面EAC，PB?平面EAC，∴
4、PB∥平面AEC.
(2)過O作OF⊥PA，垂足為F.
在Rt△POA中，
PO＝1，AO＝，PA＝2，
∵PO2＝PF·PA,1＝2PF，
∴PF＝，F(xiàn)A＝，λ＝＝.
又∵PA⊥BD，∴PA⊥平面BDF.
當＝時，在△PAO中，過F作FH∥PO，
則FH⊥平面BCD，F(xiàn)H＝PO＝.
S△BCD＝×2×＝.
∴V＝S△BCD·FH＝××＝.
4．已知函數(shù)f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的值域和最小正周期；
(2)若對任意x∈，使得m＋2＝0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)f(x)＝2sincos(x＋)－2cos2
＝sin－
＝sin－cos－
5、
＝2sin－.
∵－1≤sin≤1.
∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π.
即f(x)的值域為，最小正周期為π.
(2)當x∈時，2x＋∈，
故sin∈，
此時f(x)＋＝2sin∈.
由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋＝－，
∴≤－≤2，即，
解得－≤m≤－1.
即實數(shù)m的取值范圍是.
5．某網(wǎng)站對一商品進行促銷，該商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．
(1)將一個星期的商品銷售
6、利潤表示成x的函數(shù)；
(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
解：(1)設商品降低x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知條件，24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．
(2)根據(jù)(1)，我們有f′(x)＝－18x2 ＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
7、f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
故當x＝12時，f(x)達到極大值11664，
因為f(0)＝9072，f(12)＝11664，
所以定價為30－12＝18元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．
6．設F1、F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點．
(1)設橢圓C上點(，)到兩點F1、F2的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
(2)設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPM·kPN的值是否與點P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．
解：(1)由于點在橢圓上，得＋＝1，
又2a＝4，
所以橢圓C的方程為＋＝1，
焦點坐標分別為(－1,0)，(1,0)．
(2)無關(guān)．證明如下：過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，則點M、N關(guān)于坐標原點對稱，
設M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．
因為M、N、P在橢圓上，應滿足橢圓方程，
即＋＝1，＋＝1，
所以kPM·kPN＝·＝＝－，
故kPM·kPN的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線l無關(guān)．
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