【走向高考】2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 12-6數(shù)學(xué)歸納法課后作業(yè) 理 北師大版

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1、 【走向高考】2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 12-6數(shù)學(xué)歸納法(理)課后作業(yè) 北師大版 一、選擇題 1．若命題p(n)對n＝k成立，則它對n＝k＋2也成立，又已知命題p(1)成立，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．p(n)對所有自然數(shù)n都成立 B．p(n)對所有正偶數(shù)n成立 C．p(n)對所有正奇數(shù)n都成立 D．p(n)對所有大于1的自然數(shù)n成立 [答案]　C 2．下列代數(shù)式(其中k∈N＋)能被9整除的是(　　) A．6＋6·7k　　　　　　　　 B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) [答案]　D [解析]　對于選項D3(2＋7k)，(1)當(dāng)k＝

2、1時，顯然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假設(shè)當(dāng)k＝n時，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36. 這就是說，k＝n＋1時命題也成立． 由(1)(2)可知，命題對任何k∈N＋都成立． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2(n∈N＋)”，從n＝k到n＝k＋1時，左邊添加的代數(shù)式為(　　) A．k＋1 B．k＋2 C．k＋1＋k D．2(k＋1) [答案]　C [解析]　在由n＝k到n＝k＋1時，左邊式子為1＋2＋3＋…＋k＋k＋1＋k＋…＋2＋1，因此，左邊添加的式子為k＋1＋k. 4．在用數(shù)學(xué)歸納法

3、證明多邊形內(nèi)角和定理時，第一步應(yīng)驗證(　　) A．n＝1成立 B．n＝2成立 C．n＝3成立 D．n＝4成立 [答案]　C [解析]　凸n邊形的內(nèi)角和為(n－2)π，最少邊的凸n邊形為三角形，所以應(yīng)驗證n＝3時成立． 5．某學(xué)生在證明等差數(shù)列前n項和公式時，證法如下： (1)當(dāng)n＝1時，S1＝a1顯然成立． (2)假設(shè)n＝k時，公式成立，即 Sk＝ka1＋d. 當(dāng)n＝k＋1時， Sk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1 ＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋a1＋(k－1)k＋a1＋kd ＝(k＋1)a1＋(d＋2d＋…＋kd) ＝(k＋1)a1＋d ＝

4、(k＋1)a1＋d. ∴n＝k＋1時公式成立． ∴由(1)(2)知，對n∈N＋，公式都成立． 以上證明錯誤的原因是(　　) A．當(dāng)n取第一個值1時，證明不對 B．歸納假設(shè)的寫法不對 C．從n＝k到n＝k＋1的推理中未用歸納假設(shè) D．從n＝k到n＝k＋1的推理有錯誤 [答案]　C [解析]　由數(shù)學(xué)歸納法的原理易知選C. 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成(　　) A．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 B．假設(shè)當(dāng)n＝2k(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 C．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1(k∈N＋)時，

5、xn＋yn能被x＋y整除 D．假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N＋)時，xn＋yn能被x＋y整除 [答案]　D [解析]　①顯然，當(dāng)n＝1時，命題成立，即x1＋y1能被x＋y整除 ②假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N＋)時命題成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1則當(dāng)n＝2k＋1時， x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)

6、可知當(dāng)n為正奇數(shù)時xn＋yn能被x＋y整除． 二、填空題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)時，從k到k＋1，左邊需要增加的代數(shù)式為________． [答案]　2(2k＋1) [解析]　當(dāng)n＝k時左邊的最后一項是2k，n＝k＋1時左邊的最后一項是2k＋2，而左邊各項都是連續(xù)的，所以n＝k＋1時比n＝k時左邊少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代數(shù)式是＝2(2k＋1)． 8．(改編題)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時，對式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為：_____

7、___. [答案]　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 [解析]　首先必須應(yīng)用歸納假設(shè)，然后采用配湊法． 三、解答題 9．證明凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)＝n(n－3)(n≥4)． [證明]?、賜＝4時，f(4)＝×4×(4－3)＝2. 四邊形有兩條對角線，命題成立． ②假設(shè)n＝k時命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4)， 當(dāng)n＝k＋1時凸k＋1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點Ak＋1，增加的對角線條數(shù)是頂點Ak＋1與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加了對角線條數(shù)(k＋1－3)＋1＝k－1， f(k＋1)＝k(k－

8、3)＋k－1 ＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2) ＝(k＋1)[(k＋1)－3]． 故n＝k＋1時，命題成立， 由①，②可知，對于n≥4，n∈N＋命題成立. 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 [答案]　D [解析]　∵當(dāng)n＝k時，左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2， 當(dāng)n＝k＋1時， 左側(cè)＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2， ∴當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上

9、 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 2．在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾由6顆珠寶(圖中圓圈表示珠寶)構(gòu)成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形，第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形，第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷前10件首飾所用珠寶總顆數(shù)為(　　) A．190　 　B．715　 　C．725　 　D．385 [答案]　B [解析]　由條件可知前5件首飾的珠寶

10、數(shù)依次為：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首飾的珠寶數(shù)為一個以1為首項，4為公差的等差數(shù)列的前n項和，通項an＝4n－3.由此可歸納出第n件首飾的珠寶數(shù)為＝2n2－n.則前n件首飾所用的珠寶總數(shù)為2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n) ＝. 當(dāng)n＝10時，總數(shù)為715. 二、填空題 3．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次計算出a2，a3，a4后，歸納、猜測得出an的表達式為________． [答案]　an＝ [解析]　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝， 猜測an＝. 4．(2020·青島二模)利用數(shù)學(xué)歸納

11、法證明不等式1＋＋＋…＋2， 這就是說

12、，當(dāng)n＝k＋1時不等式成立． 根據(jù)①②可知an≥2對所有n≥2成立． 6．(2020·江蘇卷)已知△ABC的三邊長都為有理數(shù) (1)求證：cosA是有理數(shù)； (2)對任意正整數(shù)n，求證cosnA是有理數(shù)． [解析]　本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力． 解：(1)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝ 是有理數(shù)． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)． ①當(dāng)n＝1時，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理數(shù)． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，coskA和

13、sinA·sinkA都是有理數(shù)． 當(dāng)n＝k＋1時，由 cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA， sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA) ＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA， 及①和歸納假設(shè)，知cos(k＋1)A與sinA·sin(k＋1)A都是有理數(shù)． 即當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立． 綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)． 7．在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．

14、 (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}、{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋<. [解析]　考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行歸納、總結(jié)、推理、論證的能力． (1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1， 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時，結(jié)論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝(k＋2)2， ∴當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． (2)＝<， n≥2時，由①知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n， 故＋＋…＋<＋[＋＋…＋] ＝＋[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝＋(－)<＋＝. 綜上，原不等式成立．