《2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換教案 理 選修4-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換教案 理 選修4-2(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2020高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)教案:選修4-2矩陣與變換
【2020年高考會這樣考】
1.本部分高考命題的一個熱點(diǎn)是矩陣變換與二階矩陣的乘法運(yùn)算,考題中多考查求平面圖形在矩陣的對應(yīng)變換作用下得到的新圖形,進(jìn)而研究新圖形的性質(zhì).
2.本部分高考命題的另一個熱點(diǎn)是逆矩陣,主要考查行列式的計(jì)算、逆矩陣的性質(zhì)與求法以及借助矩陣解決二元一次方程組的求解問題.
【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】
1.認(rèn)真理解矩陣相等的概念,知道矩陣與矩陣的乘法的意義,并能熟練進(jìn)行矩陣的乘法運(yùn)算.
2.掌握幾種常見的變換,了解其特點(diǎn)及矩陣表示,注意結(jié)合圖形去理解和把握矩陣的幾種變換.
3.熟練進(jìn)行行列式的求值運(yùn)算,會求矩陣的逆矩陣
2、,并能利用逆矩陣解二元一次方程組.
基礎(chǔ)梳理
1.乘法規(guī)則
(1)行矩陣[a11 a12]與列矩陣的乘法規(guī)則:
[a11 a12]=[a11×b11+a12×b21].
(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則:
=.
(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣,其乘法法則如下:
=
(4)兩個二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律,但不滿足交換律和消去律.即(AB)C=A(BC),AB≠BA,由AB=AC不一定能推出B=C.
一般地兩個矩陣只有當(dāng)前一個矩陣的列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等時才能進(jìn)行乘法運(yùn)算.
2.常見的平面變換
恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變
3、變換六個變換.
3.逆變換與逆矩陣
(1)對于二階矩陣A、B,若有AB=BA=E,則稱A是可逆的,B稱為A的逆矩陣;
(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣,則AB也存在逆矩陣,且(AB)-1=B-1A-1.
4.特征值與特征向量
設(shè)A是一個二階矩陣,如果對于實(shí)數(shù)λ,存在一個非零向量α,使Aα=λα,那么λ稱為A的一個特征值,而α稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量.
雙基自測
1.(2020·南通調(diào)研測試)曲線C1:x2+2y2=1在矩陣M=的作用下變換為曲線C2,求C2的方程.
解 設(shè)P(x,y)為曲線C2上任意一點(diǎn),P′(x′,y′)為曲線x2+2y2=1上與P對應(yīng)的點(diǎn),
則
4、=,即?
因?yàn)镻′是曲線C1上的點(diǎn),
所以C2的方程為(x-2y)2+2y2=1.
2.已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個特征向量是,求矩陣A.
解 設(shè)A=,由 =,得
由=3=,得所以
所以A=.
3.(2020·蘇州調(diào)研測試)已知圓C:x2+y2=1在矩陣形A=(a>0,b>0)對應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓+=1,求a,b的值.
解 設(shè)P(x,y)為圓C上的任意一點(diǎn),在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋€點(diǎn)P′(x′,y′),
則= ,即
又因?yàn)辄c(diǎn)P′(x′,y′)在橢圓+=1上,所以+=1.由已知條件可知,x2+y2=1,所以a2=9,b2=4.
因
5、為a>0,b>0,所以a=3,b=2.
4.(2020·南京市模擬)已知a=為矩陣A=屬于λ的一個特征向量,求實(shí)數(shù)a,λ的值及A2.
解 由條件可知 =λ,
所以解得a=λ=2.
因此A=.
所以A2= =.
考向一 矩陣與變換
【例1】?求曲線2x2-2xy+1=0在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程,其中M=,N=.
[審題視點(diǎn)] 先求積MN,再求變換公式.
解 MN==.
設(shè)P(x′,y′)是曲線2x2-2xy+1=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在矩陣MN對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x,y),
則==,
于是x′=x,y′=x+,
代入2x′2-2x′y′+1=0,得xy=1
6、.
所以曲線2x2-2xy+1=0在MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為xy=1.
【訓(xùn)練1】 四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′分別是矩形和平行四邊形,其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(3,2),C(3,-2),D(-1,-2),A′(-1,0),B′(3,8),C′(3,4),D′(-1,-4),求將四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′的變換矩陣M.
解 該變換為切變變換,設(shè)矩陣M為,
則=.所以-k+2=0,解得k=2.
所以M為.
考向二 矩陣的乘法與逆矩陣
【例2】?已知矩陣A=,B=,求(AB)-1.
[審題視點(diǎn)] 求矩陣A=的逆矩陣,一般是設(shè)
A
7、-1=,由 =求得.
解 AB= =.
設(shè)(AB)-1=,則由(AB)·(AB)-1=,
得 =,即=,
所以解得故(AB)-1=.
【訓(xùn)練2】 已知矩陣A=,B=,求矩陣AB的逆矩陣.
解 設(shè)矩陣A的逆矩陣為A-1=,
則 ==,
解之得,a=1,b=-2,c=0,d=1,
所以A-1=.
同理得,B-1=.又(AB)-1=B-1A-1,
所以(AB)-1==.
考向三 矩陣的特征值與特征向量
【例3】?已知矩陣M=,其中a∈R,若點(diǎn)P(1,-2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′(-4,0),求:
(1)實(shí)數(shù)a的值;
(2)矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量.
[審題
8、視點(diǎn)] f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6.
解 (1)由=,
所以2-2a=-4.所以a=3.
(2)由(1)知M=,則矩陣M的特征多項(xiàng)式為
f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4.
令f(λ)=0,得矩陣M的特征值為-1與4.
當(dāng)λ=-1時,?x+y=0.
所以矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為.
當(dāng)λ=4時,?2x-3y=0.
所以矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為.
【訓(xùn)練3】 已知二階矩陣A=,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為a1=,屬于特征值λ2=4的一個特征向量為a2=,求矩陣A.
解 由特征值、特征向量定義可知,Aa1=λ1
9、a1,
即=-1×,得
同理可得解得a=2,b=3,c=2,d=1.
因此矩陣A=.
矩陣的有關(guān)問題及其求解方法
矩陣與變換是理科附加題的選考題,題型主要有矩陣與變換、矩陣的乘積與逆矩陣,求矩陣的特征值與特征向量.熟悉變換問題的解題,掌握矩陣乘法法則和求矩陣特征值與特征向量的方法,會用待定系數(shù)法求逆矩陣.
【示例】? (本題滿分10分)(2020·福建)設(shè)矩陣M=(其中a>0,b>0).
(1)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;
(2)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′:+y2=1,求a,b的值.
用待定系數(shù)法求逆矩陣.
[解答示范
10、] (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=,
則MM-1=.又M=,
所以=,
所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,
即x1=,y1=0,x2=0,y2=,
故所求的逆矩陣M-1=.(5分)
(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′,y′),則 =,即又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線C′上,所以+y′2=1,
則+b2y2=1為曲線C的方程.
又已知曲線C的方程為x2+y2=1,故
又a>0,b>0,所以(10分)
【試一試】 (2020·江蘇)已知矩陣A=,向量β=,求向量α,使得A2α=β.
[嘗試解答] 設(shè)α=,由A2α=β,得=,即解得故α=.