【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第三篇導數(shù)及其應用 第3講　導數(shù)的應用(二)教案 理 新人教版

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1、第3講　導數(shù)的應用(二) 【2020年高考會這樣考】 1．利用導數(shù)求函數(shù)的極值． 2．利用導數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值． 3．利用導數(shù)解決某些實際問題． 【復習指導】 本講復習時，應注重導數(shù)在研究函數(shù)極值與最值中的工具性作用，會將一些實際問題抽象為數(shù)學模型，從而用導數(shù)去解決．復習中要注意等價轉化、分類討論等數(shù)學思想的應用. 基礎梳理 1．函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法 一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時， ①如果在x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，那么f

2、(x0)是極小值． (2)求可導函數(shù)極值的步驟 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值，如果左右兩側符號一樣，那么這個根不是極值點． 2．函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值． (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． (3)設函數(shù)

3、f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下： ①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 3．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)； (2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值； (4)回歸實際問題作答． 兩個注意 (1)注意實際

4、問題中函數(shù)定義域的確定． (2)在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較． 三個防范 (1)求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結論；另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念． (2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取極值的既不充分也不必要條件． 如①y＝|x|在x＝0處取得極小值，但在x＝0處不可導； ②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點． (3)若y＝f(x)可導，則f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取極值的必

5、要條件． 雙基自測 1．(2020·福建)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　　)． A．2 B．3 C．6 D．9 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，可知函數(shù)f(x)在x＝1處的導數(shù)值為零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab≤2＝2＝9，當且僅當a＝b＝3時取到等號． 答案　D 2．已知函數(shù)f(x)＝x4－x3＋2x2，則f(x)(　　)． A．有極大值，無極小值 B．有極大值，有極小值 C．有極小值，無極大值 D．無極小值，

6、無極大值 解析　f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2 f′(x)，f(x)隨x變化情況如下 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)  0   因此有極小值無極大值． 答案　C 3．(2020·山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(　　)． A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 解析　y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．

7、當0＜x＜9時，y′＞0；當x＞9時，y′＜0，則當x＝9時，y取得最大值，故選C. 答案　C 4．(2020·廣東)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值． 解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) 當x＜0時，f′(x)＞0，當0＜x＜2時，f′(x)＜0，當x＞2時，f′(x)＞0，故當x＝2時取得極小值． 答案　2 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝________. 解析　∵f(x)在x＝1處取極值，∴f′(1)＝0， 又f′(x)＝， ∴f′(1)＝＝0， 即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3. 答案　3

8、　　 考向一　函數(shù)的極值與導數(shù) 【例1】?(2020·重慶)設f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [審題視點] 由條件x＝－為y＝f′(x)圖象的對稱軸及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符號求其極值． 解　(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b. 從而f′(x)＝62＋b－， 即y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱， 從而由題設條件知－＝－，解得a＝3. 又由于f′(1)＝0，即

9、6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. 當x∈(－∞，－2)時，f′(x)＞0， 故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)； 當x∈(－2,1)時，f′(x)＜0， 故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0， 故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21， 在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6. 運用導

10、數(shù)求可導函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟： (1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值． 【訓練1】 (2020·安徽)設f(x)＝，其中a為正實數(shù)． (1)當a＝時，求f(x)的極值點； (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 解　對f(x)求導得f′(x)＝ex.① (1)當a＝時，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝. 綜合①，可知 x

11、 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以，x1＝是極小值點，x2＝是極大值點． (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，結合①與條件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立． 因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并結合a＞0，知0＜a≤1. 考向二　函數(shù)的最值與導數(shù) 【例2】?已知a為實數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)求導函數(shù)f′(x)； (2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值． [審題視點] 先化簡再求導，求極值、端點

12、值，進行比較得最值． 解　(1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax－4. (2)因為f′(－1)＝0，所以a＝， 有f(x)＝x3－x2－4x＋2，所以f′(x)＝3x2－x－4. 令f′(x)＝0，所以x＝或x＝－1. 又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0， 所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分別為、－. 一般地，在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值，若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，則f(

13、a)是最大值，f(b)是最小值． 【訓練2】 函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象 在點P(1,0)處的切線與直線3x＋y＝0平行 (1)求a，b； (2)求函數(shù)f(x)在[0，t](t>0)內(nèi)的最大值和最小值． 解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax 由已知條件 即解得 (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2， f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， f′(x)與f(x)隨x變化情況如下： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  2  －2  由f(x)＝f(0)解得

14、x＝0，或x＝3 因此根據(jù)f(x)的圖象 當03時，f(x)的最大值為f(t)＝t3－3t2＋2，最小值為 f(2)＝－2. 考向三　用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 【例3】?(2020·江蘇)請你設計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切

15、去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． [審題視點] 由實際問題抽象出函數(shù)模型，利用導數(shù)求函數(shù)最優(yōu)解，注意變量的實際意義． 解　設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以當x＝15時，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(

16、20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20. 當x∈(0,20)時，V′＞0；當x∈(20,30)時，V′＜0. 所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值． 此時＝.即包裝盒的高與底面邊長的比值為. 在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量、建立函數(shù)關系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結果應與實際情況相符合，用導數(shù)求解實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點． 【訓練3】 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中，每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：y

17、＝x3－x＋8(00. 則當x＝80時，f(x)取到最小值f(8

18、0)＝11.25(升) 因此當汽車以80千米/小時行駛時耗油最省，最小耗油量為11.25升． 　　 難點突破7——有關導數(shù)熱點問題的求解策略 導數(shù)的工具性使得導數(shù)在高考中的應用有得天獨厚的優(yōu)勢，特別是在研究函數(shù)的性質、相切問題以及實際優(yōu)化的問題方面．近年，各地高考都從不同的方面對導數(shù)內(nèi)容進行考查，既有考查導數(shù)的小題，又有考查導數(shù)綜合應用的大題．這些問題構成了高考試卷中一道亮麗的風景線． 一、研究曲線切線的導數(shù)問題 導數(shù)的幾何意義是我們解決有關直線與曲線相切的問題以及切線的斜率問題的有力武器，它使得復雜的圖象關系問題轉化為簡單的函數(shù)問題、因而常常與導函數(shù)在切點的函數(shù)值一起作為列出方程

19、的重要依據(jù)． 【示例】? (2020·遼寧)設函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2 (1)求a、b的值； (2)證明：f(x)≤2x－2. 二、研究函數(shù)性質的導數(shù)問題 導數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，常常用來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題． 【示例】? (2020·陜西)設f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值； (2)討論g(x)與g的大小關系； (3)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)＜對任意x＞0成立． ▲解決實際問題的導數(shù)問題(教師備選) 對

20、于實際問題中的一些優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大、用料最省等問題，常常需要將實際問題抽象為數(shù)學問題，然后化為函數(shù)的最值來解決，而求解函數(shù)最值最有效的方法是導數(shù)法，因此，導數(shù)被廣泛地應用于實際生活中的一些優(yōu)化問題的求解過程，成為求解這些優(yōu)化問題的首選． 【示例】? 如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比． (1)將此枕木翻轉90°(即寬度變?yōu)榱撕穸?，枕木的安全負荷會變大嗎？為什么？ (2)現(xiàn)有一根橫截面為半圓(半圓的半徑為R)的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？