【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)教案 理 新人教版

第3講　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二) 【2020年高考會這樣考】 1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值． 2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值． 3．利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值與最值中的工具性作用，會將一些實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，從而用導(dǎo)數(shù)去解決．復(fù)習(xí)中要注意等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法 一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時， ①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； ②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值． (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號一樣，那么這個根不是極值點． 2．函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值． (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值． (3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下： ①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 3．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值； (4)回歸實際問題作答． 兩個注意 (1)注意實際問題中函數(shù)定義域的確定． (2)在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較． 三個防范 (1)求函數(shù)最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過認真比較才能下結(jié)論；另外注意函數(shù)最值是個“整體”概念，而極值是個“局部”概念． (2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取極值的既不充分也不必要條件． 如①y＝|x|在x＝0處取得極小值，但在x＝0處不可導(dǎo)； ②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點． (3)若y＝f(x)可導(dǎo)，則f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取極值的必要條件． 雙基自測 1．(2020·福建)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于(　　)． A．2 B．3 C．6 D．9 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，可知函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab≤2＝2＝9，當且僅當a＝b＝3時取到等號． 答案　D 2．已知函數(shù)f(x)＝x4－x3＋2x2，則f(x)(　　)． A．有極大值，無極小值 B．有極大值，有極小值 C．有極小值，無極大值 D．無極小值，無極大值 解析　f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2 f′(x)，f(x)隨x變化情況如下 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)  0   因此有極小值無極大值． 答案　C 3．(2020·山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(　　)． A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 解析　y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．當0＜x＜9時，y′＞0；當x＞9時，y′＜0，則當x＝9時，y取得最大值，故選C. 答案　C 4．(2020·廣東)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值． 解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) 當x＜0時，f′(x)＞0，當0＜x＜2時，f′(x)＜0，當x＞2時，f′(x)＞0，故當x＝2時取得極小值． 答案　2 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取極值，則a＝________. 解析　∵f(x)在x＝1處取極值，∴f′(1)＝0， 又f′(x)＝， ∴f′(1)＝＝0， 即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3. 答案　3 　　 考向一　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 【例1】?(2020·重慶)設(shè)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [審題視點] 由條件x＝－為y＝f′(x)圖象的對稱軸及f′(1)＝0求得a，b的值，再由f′(x)的符號求其極值． 解　(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b. 從而f′(x)＝62＋b－， 即y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱， 從而由題設(shè)條件知－＝－，解得a＝3. 又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12. (2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)． 令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. 當x∈(－∞，－2)時，f′(x)＞0， 故f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)； 當x∈(－2,1)時，f′(x)＜0， 故f(x)在(－2,1)上為減函數(shù)； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0， 故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21， 在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6. 運用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟： (1)先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值． 【訓(xùn)練1】 (2020·安徽)設(shè)f(x)＝，其中a為正實數(shù)． (1)當a＝時，求f(x)的極值點； (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 解　對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝ex.① (1)當a＝時，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝. 綜合①，可知 x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以，x1＝是極小值點，x2＝是極大值點． (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立． 因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并結(jié)合a＞0，知0＜a≤1. 考向二　函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 【例2】?已知a為實數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)； (2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值． [審題視點] 先化簡再求導(dǎo)，求極值、端點值，進行比較得最值． 解　(1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得f′(x)＝3x2－2ax－4. (2)因為f′(－1)＝0，所以a＝， 有f(x)＝x3－x2－4x＋2，所以f′(x)＝3x2－x－4. 令f′(x)＝0，所以x＝或x＝－1. 又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0， 所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分別為、－. 一般地，在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)必有最大值與最小值，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值，若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，則f(a)是最大值，f(b)是最小值． 【訓(xùn)練2】 函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b的圖象 在點P(1,0)處的切線與直線3x＋y＝0平行 (1)求a，b； (2)求函數(shù)f(x)在[0，t](t>0)內(nèi)的最大值和最小值． 解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax 由已知條件 即解得 (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2， f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， f′(x)與f(x)隨x變化情況如下： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  2  －2  由f(x)＝f(0)解得x＝0，或x＝3 因此根據(jù)f(x)的圖象 當0<t≤2時，f(x)的最大值為f(0)＝2 最小值為f(t)＝t3－3t2＋2； 當2<t≤3時，f(x)的最大值為f(0)＝2， 最小值為f(2)＝－2； 當t>3時，f(x)的最大值為f(t)＝t3－3t2＋2，最小值為 f(2)＝－2. 考向三　用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 【例3】?(2020·江蘇)請你設(shè)計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設(shè)AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值． [審題視點] 由實際問題抽象出函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最優(yōu)解，注意變量的實際意義． 解　設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)．由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以當x＝15時，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20. 當x∈(0,20)時，V′＞0；當x∈(20,30)時，V′＜0. 所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值． 此時＝.即包裝盒的高與底面邊長的比值為. 在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合，用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點． 【訓(xùn)練3】 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中，每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米． (1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解　(1)設(shè)汽車以x千米/小時的速度行駛時，其耗油量為 f(x)＝ ＝＋－(0<x≤120) f(40)＝17.5(升) 因此從甲地到乙地要耗油17.5升． (2)f′(x)＝－＝ ＝ 又0<x≤120，令f′(x)＝0 解得x＝80，當0<x<80時，f′(x)<0； 當80<x≤120時，f′(x)>0. 則當x＝80時，f(x)取到最小值f(80)＝11.25(升) 因此當汽車以80千米/小時行駛時耗油最省，最小耗油量為11.25升． 　　 難點突破7——有關(guān)導(dǎo)數(shù)熱點問題的求解策略 導(dǎo)數(shù)的工具性使得導(dǎo)數(shù)在高考中的應(yīng)用有得天獨厚的優(yōu)勢，特別是在研究函數(shù)的性質(zhì)、相切問題以及實際優(yōu)化的問題方面．近年，各地高考都從不同的方面對導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進行考查，既有考查導(dǎo)數(shù)的小題，又有考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的大題．這些問題構(gòu)成了高考試卷中一道亮麗的風(fēng)景線． 一、研究曲線切線的導(dǎo)數(shù)問題 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是我們解決有關(guān)直線與曲線相切的問題以及切線的斜率問題的有力武器，它使得復(fù)雜的圖象關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題、因而常常與導(dǎo)函數(shù)在切點的函數(shù)值一起作為列出方程的重要依據(jù)． 【示例】? (2020·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2 (1)求a、b的值； (2)證明：f(x)≤2x－2. 二、研究函數(shù)性質(zhì)的導(dǎo)數(shù)問題 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的有力工具，常常用來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題． 【示例】? (2020·陜西)設(shè)f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值； (2)討論g(x)與g的大小關(guān)系； (3)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)＜對任意x＞0成立． ▲解決實際問題的導(dǎo)數(shù)問題(教師備選) 對于實際問題中的一些優(yōu)化問題，如成本最低、利潤最大、用料最省等問題，常常需要將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后化為函數(shù)的最值來解決，而求解函數(shù)最值最有效的方法是導(dǎo)數(shù)法，因此，導(dǎo)數(shù)被廣泛地應(yīng)用于實際生活中的一些優(yōu)化問題的求解過程，成為求解這些優(yōu)化問題的首選． 【示例】? 如圖所示，一根水平放置的長方體枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比． (1)將此枕木翻轉(zhuǎn)90°(即寬度變?yōu)榱撕穸?，枕木的安全負荷會變大嗎？為什么？ (2)現(xiàn)有一根橫截面為半圓(半圓的半徑為R)的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？