歷年高考數(shù)學真題考點歸納 2020年 第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線2

歷年高考真題考點歸納 2020年 第九章 解析幾何 第二節(jié) 圓錐曲線2 三、解答題 1.（2020上海文）23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分. 已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點. （1）若點滿足，求點的坐標； （2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點； （3）設點在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構作過中點的直線，使得與橢圓的兩個交點、滿足？令，，點的坐標是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的坐標. 解析：(1) ； (2) 由方程組，消y得方程， 因為直線交橢圓于、兩點， 所以D>0，即， 設C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點坐標為(x0,y0)， 則， 由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因為，所以， 故E為CD的中點； (3) 因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程． ，直線OF的斜率，直線l的斜率， 解方程組，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)． 2.（2020湖南文）19.（本小題滿分13分） 為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖4）?？疾旆秶紸、B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域。 （I） 求考察區(qū)域邊界曲線的方程： （II） 如圖4所示，設線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍。問：經(jīng)過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？ 3.（2020浙江理）(21) （本題滿分15分）已知m＞1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點. （Ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程； （Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，，的重心分別為.若原點在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點與圓的位置關系等基礎知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （Ⅰ）解：因為直線經(jīng)過，所以,得， 又因為，所以， 故直線的方程為。 （Ⅱ）解：設。 由，消去得 則由，知， 且有。 由于， 故為的中點， 由， 可知 設是的中點，則， 由題意可知 即 即 而 所以 即 又因為且 所以。 所以的取值范圍是。 4.（2020全國卷2理）（21）（本小題滿分12分） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為． （Ⅰ）求C的離心率； （Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切． 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關系，既考查考生的基礎知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力. 【參考答案】 【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定. 5.（2020陜西文）20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）求橢圓C的方程； (Ⅱ)設n 為過原點的直線，l是與n垂直相交與點P，與橢圓相交于A,B兩點的直線 立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請說明理由。 6.（2020遼寧文）（20）（本小題滿分12分） 設，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓 相交于,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為. （Ⅰ）求橢圓的焦距； （Ⅱ）如果,求橢圓的方程. 解：（Ⅰ）設焦距為，由已知可得到直線l的距離 所以橢圓的焦距為4. （Ⅱ）設直線的方程為 聯(lián)立 解得 因為 即 得 故橢圓的方程為 7.（2020遼寧理）(20)（本小題滿分12分） 設橢圓C：的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,. (I) 求橢圓C的離心率； (II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程. 解： 設，由題意知＜0，＞0. （Ⅰ）直線l的方程為 ，其中. 聯(lián)立得 解得 因為，所以. 即 得離心率 . ……6分 （Ⅱ）因為，所以. 由得.所以，得a=3，. 橢圓C的方程為. ……12分 8.（2020全國卷2文）（22）（本小題滿分12分） 已知斜率為1的直線1與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求C的離心率； （Ⅱ）（Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|=17證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切。 【解析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識，考查學生運用所學知識解決問題的能力。 （1）由直線過點（1，3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于BD兩點的中點為（1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標公式找出A,B的關系式即求得離心率。 （2）利用離心率將條件|FA||FB|=17，用含A的代數(shù)式表示，即可求得A，則A點坐標可得（1，0），由于A在X軸上所以，只要證明2AM=BD即證得。 （2020江西理數(shù)）21. （本小題滿分12分） 設橢圓，拋物線。 （1） 若經(jīng)過的兩個焦點，求的離心率； （2） 設A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個交點，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。 【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。 （1）由已知橢圓焦點(c,0)在拋物線上，可得：，由 。 (2)由題設可知M、N關于y軸對稱，設,由的垂心為B，有 。 由點在拋物線上，，解得： 故，得重心坐標. 由重心在拋物線上得：，，又因為M、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。 9.（2020安徽文數(shù)）17、（本小題滿分12分） 橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸， 焦點在軸上，離心率。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。 【命題意圖】本題考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線的點斜式方程與一般方程，點到直線的距離公式等基礎知識；考查解析幾何的基本思想、綜合運算能力. 【解題指導】（1）設橢圓方程為，把點代入橢圓方程，把離心率用表示，再根據(jù)，求出，得橢圓方程；（2）可以設直線l上任一點坐標為，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等得. 解：（Ⅰ）設橢圓E的方程為 【規(guī)律總結】對于橢圓解答題，一般都是設橢圓方程為，根據(jù)題目滿足的條件求出，得橢圓方程，這一問通常比較簡單；（2）對于角平分線問題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程. 10.（2020重慶文數(shù)）（21）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分. ） 已知以原點為中心，為右焦點的雙曲線的離心率. （Ⅰ）求雙曲線的標準方程及其漸近線方程； （Ⅱ）如題（21）圖，已知過點的直線：與過點（其中）的直線：的交點在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，求的值. 11.（2020浙江文）（22）、（本題滿分15分）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p>0） 的焦點F在直線上。 （I）若m=2，求拋物線C的方程 （II）設直線與拋物線C交于A、B，△A,△的重心分別為G,H 求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的焦點在以線段GH為直徑的圓外。 12.（2020重慶理）（20）（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分） 已知以原點O為中心，為右焦點的雙曲線C的離心率。 （I） 求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程； （II） 如題（20）圖，已知過點的直線與過點（其中）的直線的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點，求的面積。 13.（2020北京文）（19）（本小題共14分） 已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。 （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標； （Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值。 解：（Ⅰ）因為，且，所以 所以橢圓C的方程為 （Ⅱ）由題意知 由 得 所以圓P的半徑為 解得 所以點P的坐標是（0，） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程。因為點在圓P上。所以 設，則 當，即，且，取最大值2. 14.（2020北京理）（19）（本小題共14分） 在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于. (Ⅰ)求動點P的軌跡方程； (Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。 （I）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為. 設點的坐標為 由題意得 化簡得 . 故動點的軌跡方程為 （II）解法一：設點的坐標為，點，得坐標分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為 令得，. 于是得面積 又直線的方程為，， 點到直線的距離. 于是的面積 當時，得 又， 所以=，解得。 因為，所以 故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為. 解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為 則. 因為, 所以 所以 即 ，解得 因為，所以 故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標為. 15.（2020四川理）（20）（本小題滿分12分） 已知定點A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由. 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎知識，考察平面機襲擊和的思想方法及推理運算能力. 解：(1)設P(x,y)，則 化簡得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分 (2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0) 與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得 (3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由題意知3－k2≠0且△＞0 設B(x1,y1),C(x2,y2)， 則 y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] ＝k2(＋4) ＝ 因為x1、x2≠－1 所以直線AB的方程為y＝(x＋1) 因此M點的坐標為() ,同理可得 因此 ＝ ＝0 ②當直線BC與x軸垂直時，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3) AB的方程為y＝x＋1,因此M點的坐標為()， 同理可得 因此＝0 綜上＝0，即FM⊥FN 故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點F………………………………………………12分 16.（2020天津文）（21）（本小題滿分14分） 已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值. 【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分14分. （Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b. 由題意可知，即ab=2. 解方程組得a=2，b=1. 所以橢圓的方程為. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2,0）.設點B的坐標為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）. 于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得 . 由，得.從而. 所以. 由，得. 整理得，即，解得k=. 所以直線l的傾斜角為或. （ii）解：設線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標為. 以下分兩種情況： （1）當k=0時，點B的坐標是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是 由，得。 （2）當時，線段AB的垂直平分線方程為。 令，解得。 由，， ， 整理得。故。所以。 綜上，或 17.（2020天津理）（20）（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。 （1） 求橢圓的方程； （2） 設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值 【解析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分 （1）解：由，得，再由，得 由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1 所以橢圓的方程為 (2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2), 于是A,B兩點的坐標滿足方程組 由方程組消去Y并整理，得 由得 設線段AB是中點為M，則M的坐標為 以下分兩種情況： （1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是 （2）當K時，線段AB的垂直平分線方程為 令x=0，解得 由 整理得 綜上 18.（2020廣東理） 21．（本小題滿分14分） 設A(),B()是平面直角坐標系xOy上的兩點，先定義由點A到點B的一種折線距離p(A,B)為. 當且僅當時等號成立，即三點共線時等號成立. （2）當點C(x, y) 同時滿足①P+P= P，②P= P時，點是線段的中點. ，即存在點滿足條件。 19.（2020廣東理）20．（本小題滿分為14分） 一條雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點。 （1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程式； （2）若過點H(0, h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值。 故，即。 （2）設，則由知，。 將代入得 ，即， 由與E只有一個交點知，，即 。 同理，由與E只有一個交點知，，消去得，即，從而，即。 20.（2020廣東文）21.（本小題滿分14分） 已知曲線,點是曲線上的點， 21.（2020福建文）19．（本小題滿分12分） 已知拋物線C：過點A （1 , -2）。 （I）求拋物線C 的方程，并求其準線方程； （II）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由。 22.（2020全國卷1理）（21）(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關于軸的對稱點為D. （Ⅰ）證明：點F在直線BD上； （Ⅱ）設，求的內(nèi)切圓M的方程 . 23.（2020湖北文）20.（本小題滿分13分） 已知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。 （Ⅰ）求曲線C的方程 （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。 24.（2020山東理）（21）（本小題滿分12分） 如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和. （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明； （Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為 。 【命題意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力， 25.（2020湖南理）19.（本小題滿分13分） 為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地。視冰川面為平面形，以過A,B兩點的直線為x軸，線段AB的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖6）在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過km區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過km區(qū)域。 （Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程； （Ⅱ）如圖6所示，設線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間。 化 融 區(qū) 域 P3(8,6) 已 冰 B（4，0） A（-4,0） x （，-1）P1 26.（2020湖北理）19(本小題滿分12分) 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都 是1. (Ⅰ)求曲線C的方程； （Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。 27.（2020安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分） 已知橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸，焦點 在軸上，離心率。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程； (Ⅲ)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？ 若存在，請找出；若不存在，說明理由。 28.（2020江蘇卷）18、（本小題滿分16分） 在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。 （1）設動點P滿足,求點P的軌跡； （2）設，求點T的坐標； （3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。 [解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。 （1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由，得 化簡得。 故所求點P的軌跡為直線。 （2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，） 直線MTA方程為：，即， 直線NTB 方程為：，即。 聯(lián)立方程組，解得：， 所以點T的坐標為。 （3）點T的坐標為 直線MTA方程為：，即， 直線NTB 方程為：，即。 分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到， 解得：、。 （方法一）當時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）； 當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。 所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。 （方法二）若，則由及，得， 此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。 若，則，直線MD的斜率， 直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。 因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。