山東省鄆城縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案 新人教A版選修2-3

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義． 自主梳理 1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充 數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)是：________→________→________，用集合符號(hào)表示為________?________?________，實(shí)際上前者是后者的真子集． 2．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的________和________．若________，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若________，則a＋bi為虛數(shù)，若________________，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?____________(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)平面 建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面．______叫做實(shí)軸，______叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)表示________；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示________；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示____________． 復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)________組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以________為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的． (5)復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________. 3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________； ④除法：＝＝ ＝________________________(c＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________. 自我檢測(cè) 1．(2020·山東)復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2020·廣東)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z等于(　　) A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i 3．(2020·大綱全國(guó))復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則z－z－1等于(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i 4．(2020·重慶)復(fù)數(shù)等于(　　) A．－－i B．－＋i C.－i D.＋i 5．(2020·江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部是________. 探究點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的基本概念 例1　設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)． (1)若z為實(shí)數(shù)，則m＝________； (2)若z為純虛數(shù)，則m＝________. 變式遷移1　已知復(fù)數(shù)z＝＋(a2－5a－6)i (a∈R)，試求實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，z分別為： (1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)． 探究點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 例2　(2020·全國(guó)Ⅱ)復(fù)數(shù)2等于(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 變式遷移2　計(jì)算： (1)； (2)； (3). 例3　(2020·唐山模擬)計(jì)算：＋2 012＋. 變式遷移3　(1)(2010·四川)i是虛數(shù)單位，計(jì)算i＋i2＋i3等于(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i (2)(2020·福建)i是虛數(shù)單位，()4等于(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 (3)i是虛數(shù)單位，＋等于(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 探究點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)表示 例4　如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求： (1)所表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)； (2)對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)； (3)求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)． 變式遷移4　(2020·江蘇蘇北四市期末)復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若∠BAC是鈍角，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________________． 2．乘法法則：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法則：＝＝＋i(c＋di≠0)．特別地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 3．進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，熟記以下結(jié)果有助于簡(jiǎn)化運(yùn)算過程： (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N)； (2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i. (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2020·江西)若z＝，則復(fù)數(shù)等于(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 2．(2020·北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　) A．－4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 3．(2020·平頂山調(diào)研)若θ∈(，)，則復(fù)數(shù)(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(2020·課標(biāo)全國(guó))復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是(　　) A．－i B.i C．－i D．i 5．下面四個(gè)命題： ①0比－i大； ②兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)； ③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1； ④如果讓實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，則復(fù)數(shù)的虛部為______． 7．已知復(fù)數(shù)z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________. 8．(2020·上海九校聯(lián)考)復(fù)數(shù)z＝x＋yi (x，y∈R)滿足|z－1|＝x，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x，y)的軌跡方程為__________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知|z|－z＝1－2i，求復(fù)數(shù)z. 10．(12分)(2020·上海)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2. 11．(14分)已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z∈R；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限；(4)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上． 學(xué)案72　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 自主梳理 1．自然數(shù)系　有理數(shù)系　實(shí)數(shù)系　N　Q　R　2.(1)實(shí)部 虛部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0　(2)a＝c，b＝d (3)a＝c，b＝－d　(4)x軸　y軸　實(shí)數(shù)　純虛數(shù)　非純虛數(shù)　所有的點(diǎn)　原點(diǎn)O　(5)|z|　|a＋bi|　 3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i?、?a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i?、? (2)　z2＋z1　z1＋(z2＋z3) 自我檢測(cè) 1．D　[∵z＝＝＝＝－i， ∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)，在第四象限．] 2．B　[方法一　設(shè)z＝x＋yi， 則(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2， 故應(yīng)有解得故z＝1－i. 方法二　z＝＝＝1－i.] 3．B　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2， ∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.] 4．C　[＝＝＝ ＝＝－i.] 5．1 解析　設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i， 得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　根據(jù)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的概念，利用它們的充要條件可分別求出相應(yīng)的m值．利用概念解題時(shí)，要看準(zhǔn)實(shí)部與虛部． (1)1或2　(2)－ 解析　z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)若z為實(shí)數(shù)，則m2－3m＋2＝0.∴m＝1或2. (2)若z為純虛數(shù)，則 解得m＝－. 變式遷移1　解　(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有， ∴，∴a＝6，即a＝6時(shí)，z為實(shí)數(shù)． (2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)， 則有a2－5a－6≠0且a2－1≠0， ∴a≠－1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6. ∴當(dāng)a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)時(shí)， z為虛數(shù)． (3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，有，∴. ∴不存在實(shí)數(shù)a使z為純虛數(shù)． 例2　解題導(dǎo)引　復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式的加減運(yùn)算(合并同類項(xiàng))，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)，在乘法運(yùn)算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法運(yùn)算中，關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”(分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，此時(shí)要注意區(qū)分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2與(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止實(shí)數(shù)中的相關(guān)公式與復(fù)數(shù)運(yùn)算混淆，造成計(jì)算失誤． A　[2＝2＝2 ＝(1－2i)2＝－3－4i.] 變式遷移2　解　(1)＝＝－1－3i. (2)＝ ＝＝＝＋i. (3)＝＝＝ ＝－－i. 例3　解題導(dǎo)引　注意in (n∈N)的周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1 (其中k∈N)，以及(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i等運(yùn)算結(jié)果在解題中的應(yīng)用，運(yùn)算的最后結(jié)果化為a＋bi (a，b∈R)的形式． 解　原式＝＋1 006＋ ＝＋1 006＋0 ＝i＋(－i)1 006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i. 變式遷移3　(1)A　(2)C　(3)D 解析　(1)i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1. (2)()4＝[()2]2＝()2＝1. (3)＋＝＋ ＝＝＝－1. 例4　解題導(dǎo)引　根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可． 解　(1)∵＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i. ∵＝，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i. (2)∵＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵＝＋＝＋， ∴表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i. 變式遷移4　c>且c≠9 解析　在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是鈍角得·<0且B、A、C不共線，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>，其中當(dāng)c＝9時(shí)，＝(6,8)＝－2，三點(diǎn)共線，故c≠9. 課后練習(xí)區(qū) 1．D　[∵z＝＝＝2－i， ∴＝2＋i.] 2．C　[復(fù)數(shù)6＋5i對(duì)應(yīng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,5)，－2＋3i對(duì)應(yīng)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,3)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.] 3．B　[由三角函數(shù)線知識(shí)得當(dāng)θ∈(，)時(shí)， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故選B.] 4．C　[方法一　∵＝＝ ＝i， ∴的共軛復(fù)數(shù)為－i. 方法二　∵＝＝＝i. ∴的共軛復(fù)數(shù)為－i.] 5．A　[(1)中實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大小； (2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時(shí)這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù)； (3)x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1是錯(cuò)誤的，因?yàn)闆]有標(biāo)明x，y是否是實(shí)數(shù)； (4)當(dāng)a＝0時(shí)，沒有純虛數(shù)和它對(duì)應(yīng)．] 6．－1 解析?。剑剑剑璱， 故虛部為－1. 7．－ 解析?。剑? ＝是實(shí)數(shù)，∴6＋4m＝0，故m＝－. 8．y2＝2x－1 解析　由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x， 故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1. 9．解　設(shè)z＝a＋bi (a、b∈R)， 則－(a＋bi)＝1－2i.(5分) 由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得 解得.(10分) 所以所求復(fù)數(shù)為z＝＋2i.(12分) 10．解　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.(4分) 設(shè)z2＝a＋2i，a∈R， 則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分) 11．解　(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有m2＋2m－3＝0且m－1≠0 得m＝－3，故當(dāng)m＝－3時(shí)，z∈R.(2分) (2)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有 解得m＝0，或m＝2. ∴當(dāng)m＝0或m＝2時(shí)，z為純虛數(shù)．(4分) (3)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限時(shí)，則有， 解得m<－3或1<m<2，故當(dāng)m<－3或1<m<2時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限．(8分) (4)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上時(shí)， 則有＋(m2＋2m－3)＋3＝0， 得＝0， 解得m＝0或m＝－1±. ∴當(dāng)m＝0或m＝－1±時(shí)， 點(diǎn)Z在直線x＋y＋3＝0上．(14分)