山東省鄆城縣實驗中學2020學年高中數(shù)學 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 新人教A版選修2-3

《山東省鄆城縣實驗中學2020學年高中數(shù)學 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 新人教A版選修2-3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《山東省鄆城縣實驗中學2020學年高中數(shù)學 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入學案 新人教A版選修2-3（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 導學目標： 1.理解復數(shù)的基本概念.2.理解復數(shù)相等的充要條件.3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義． 自主梳理 1．數(shù)系的擴充 數(shù)系擴充的脈絡是：________→________→________，用集合符號表示為________?________?________，實際上前者是后者的真子集． 2．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的________和________．若________，則a＋bi為實數(shù)，若___

2、_____，則a＋bi為虛數(shù)，若________________，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?____________(a，b，c，d∈R)． (4)復平面 建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面．______叫做實軸，______叫做虛軸．實軸上的點表示________；除原點外，虛軸上的點都表示________；各象限內的點都表示____________． 復數(shù)集C和復平面內________組成的集合是一一對應的，復數(shù)集C與復平面內所有以________為起

3、點的向量組成的集合也是一一對應的． (5)復數(shù)的模 向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________. 3．復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________； ④除法：＝＝ ＝______________

4、__________(c＋di≠0)． (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________. 自我檢測 1．(2020·山東)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)在復平面內對應的點所在象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2020·廣東)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z等于(　　) A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i 3．(2020·大綱全國)

5、復數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復數(shù)，則z－z－1等于(　　) A．－2i B．－i C．i D．2i 4．(2020·重慶)復數(shù)等于(　　) A．－－i B．－＋i C.－i D.＋i 5．(2020·江蘇)設復數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z的實部是________. 探究點一　復數(shù)的基本概念 例1　設m∈R，復數(shù)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)． (1)若z為實數(shù)，則m＝________； (2)若z為純虛數(shù)，則m＝________. 變式遷移1　已知復數(shù)z＝＋(a2－5a－6)i (a∈R)，

6、試求實數(shù)a分別取什么值時，z分別為： (1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)． 探究點二　復數(shù)的四則運算 例2　(2020·全國Ⅱ)復數(shù)2等于(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 變式遷移2　計算： (1)； (2)； (3). 例3　(2020·唐山模擬)計算：＋2 012＋. 變式遷移3　(1)(2010·四川)i是虛數(shù)單位，計算i＋i2＋i3等于(　　) A．－1 B．1

7、 C．－i D．i (2)(2020·福建)i是虛數(shù)單位，()4等于(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 (3)i是虛數(shù)單位，＋等于(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 探究點三　復數(shù)的點坐標表示 例4　如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求： (1)所表示的復數(shù)，所表示的復數(shù)； (2)對角線所表示的復數(shù)； (3)求B點對應的復數(shù)． 變式遷移4　(2020·江蘇蘇北四市期末)復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(

8、2c－6)i在復平面內對應的點分別為A，B，C，若∠BAC是鈍角，則實數(shù)c的取值范圍為________________． 2．乘法法則：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法則：＝＝＋i(c＋di≠0)．特別地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 3．進行復數(shù)運算時，熟記以下結果有助于簡化運算過程： (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N)； (2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.

9、 (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2020·江西)若z＝，則復數(shù)等于(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 2．(2020·北京)在復平面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是(　　) A．－4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 3．(2020·平頂山調研)若θ∈(，)，則復數(shù)(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在復平面內所對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

10、 D．第四象限 4．(2020·課標全國)復數(shù)的共軛復數(shù)是(　　) A．－i B.i C．－i D．i 5．下面四個命題： ①0比－i大； ②兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)，當且僅當其和為實數(shù)； ③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1； ④如果讓實數(shù)a與ai對應，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，則復數(shù)的虛部為______． 7．已知復數(shù)z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若為實數(shù)，則實數(shù)m＝________

11、. 8．(2020·上海九校聯(lián)考)復數(shù)z＝x＋yi (x，y∈R)滿足|z－1|＝x，則復數(shù)z對應的點Z(x，y)的軌跡方程為__________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知|z|－z＝1－2i，求復數(shù)z. 10．(12分)(2020·上海)已知復數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求z2. 11．(14分)已知m∈R，復數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當m為何值時，(1)z∈R；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對應的

12、點位于復平面第二象限；(4)z對應的點在直線x＋y＋3＝0上． 學案72　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 自主梳理 1．自然數(shù)系　有理數(shù)系　實數(shù)系　N　Q　R　2.(1)實部 虛部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0　(2)a＝c，b＝d (3)a＝c，b＝－d　(4)x軸　y軸　實數(shù)　純虛數(shù)　非純虛數(shù)　所有的點　原點O　(5)|z|　|a＋bi|　 3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i?、?ac－bd)＋(ad＋bc)i?、? (2)　z2＋z1　z1＋(z2＋z3) 自我檢測 1．D　[∵z＝＝＝＝－i，

13、 ∴復數(shù)z對應的點的坐標為(，－)，在第四象限．] 2．B　[方法一　設z＝x＋yi， 則(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2， 故應有解得故z＝1－i. 方法二　z＝＝＝1－i.] 3．B　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2， ∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.] 4．C　[＝＝＝ ＝＝－i.] 5．1 解析　設z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i， 得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　根據復數(shù)z為實數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的概念，利用它們的充要條件可分別求出相應的m值．

14、利用概念解題時，要看準實部與虛部． (1)1或2　(2)－ 解析　z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)若z為實數(shù)，則m2－3m＋2＝0.∴m＝1或2. (2)若z為純虛數(shù)，則 解得m＝－. 變式遷移1　解　(1)當z為實數(shù)時，則有， ∴，∴a＝6，即a＝6時，z為實數(shù)． (2)當z為虛數(shù)時， 則有a2－5a－6≠0且a2－1≠0， ∴a≠－1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6. ∴當a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)時， z為虛數(shù)． (3)當z為純虛數(shù)時，有，∴. ∴不存在實數(shù)a使z為純虛數(shù)． 例2　解題導引　復數(shù)的

15、加減運算類似于實數(shù)中的多項式的加減運算(合并同類項)，復數(shù)的乘除運算是復數(shù)運算的難點，在乘法運算中要注意i的冪的性質，區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法運算中，關鍵是“分母實數(shù)化”(分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù))，此時要注意區(qū)分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2與(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止實數(shù)中的相關公式與復數(shù)運算混淆，造成計算失誤． A　[2＝2＝2 ＝(1－2i)2＝－3－4i.] 變式遷移2　解　(1)＝＝－1－3i. (2)＝ ＝＝＝＋i. (3)＝＝＝ ＝－－i. 例3　解題導引　注意in (n∈N)的

16、周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1 (其中k∈N)，以及(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i等運算結果在解題中的應用，運算的最后結果化為a＋bi (a，b∈R)的形式． 解　原式＝＋1 006＋ ＝＋1 006＋0 ＝i＋(－i)1 006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i. 變式遷移3　(1)A　(2)C　(3)D 解析　(1)i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1. (2)()4＝[()2]2＝()2＝1. (3)＋＝＋ ＝＝＝－1. 例4　解題導引　根據復平面內的點、向量及向量對應的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應

17、的復數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可． 解　(1)∵＝－，∴所表示的復數(shù)為－3－2i. ∵＝，∴所表示的復數(shù)為－3－2i. (2)∵＝－，∴所表示的復數(shù)為 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵＝＋＝＋， ∴表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B點對應的復數(shù)為1＋6i. 變式遷移4　c>且c≠9 解析　在復平面內三點坐標分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是鈍角得·<0且B、A、C不共線，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>，其中當c＝9時，＝(6,8)＝－2，三點共

18、線，故c≠9. 課后練習區(qū) 1．D　[∵z＝＝＝2－i， ∴＝2＋i.] 2．C　[復數(shù)6＋5i對應A點的坐標為(6,5)，－2＋3i對應B點的坐標為(－2,3)．由中點坐標公式知C點坐標為(2,4)，∴點C對應的復數(shù)為2＋4i.] 3．B　[由三角函數(shù)線知識得當θ∈(，)時， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故選B.] 4．C　[方法一　∵＝＝ ＝i， ∴的共軛復數(shù)為－i. 方法二　∵＝＝＝i. ∴的共軛復數(shù)為－i.] 5．A　[(1)中實數(shù)與虛數(shù)不能比較大??； (2)兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)時其和為實數(shù)，但兩個復數(shù)的和為實數(shù)時這兩個復數(shù)不一定是

19、共軛復數(shù)； (3)x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1是錯誤的，因為沒有標明x，y是否是實數(shù)； (4)當a＝0時，沒有純虛數(shù)和它對應．] 6．－1 解析?。剑剑剑璱， 故虛部為－1. 7．－ 解析?。剑? ＝是實數(shù)，∴6＋4m＝0，故m＝－. 8．y2＝2x－1 解析　由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x， 故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1. 9．解　設z＝a＋bi (a、b∈R)， 則－(a＋bi)＝1－2i.(5分) 由兩復數(shù)相等的充要條件得 解得.(10分) 所以所求復數(shù)為z＝＋2i.(12分) 10．解　(z1－2)(

20、1＋i)＝1－i?z1＝2－i.(4分) 設z2＝a＋2i，a∈R， 則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分) 11．解　(1)當z為實數(shù)時，則有m2＋2m－3＝0且m－1≠0 得m＝－3，故當m＝－3時，z∈R.(2分) (2)當z為純虛數(shù)時，則有 解得m＝0，或m＝2. ∴當m＝0或m＝2時，z為純虛數(shù)．(4分) (3)當z對應的點位于復平面第二象限時，則有， 解得m<－3或1