高中數學 2、1-3-2函數的極值與導數同步檢測 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 1.3.2 函數的極值與導數 一、選擇題 1．已知函數f(x)在點x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是(　　) A．導數為零的點一定是極值點 B．如果在點x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極小值 C．如果在點x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值 D．如果在點x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極大值 [答案]　C [解析]　導數為0的點不一定是極值點，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，

2、故應選C. 2．函數y＝1＋3x－x3有(　　) A．極小值－2，極大值2 B．極小值－2，極大值3 C．極小值－1，極大值1 D．極小值－1，極大值3 [答案]　D [解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x) 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1 當x<－1時，y′<0，函數y＝1＋3x－x3是減函數， 當－10，函數y＝1＋3x－x3是增函數， 當x>1時，y′<0，函數y＝1＋3x－x3是減函數， ∴當x＝－1時，函數有極小值，y極?。剑?. 當x＝1時，函數有極大值，y極大＝3. 3．設x0為f(x)的極值點，則下列說法正確的是(　

3、　) A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不為0 [答案]　C [解析]　如：y＝|x|，在x＝0時取得極小值，但f′(0)不存在． 4．對于可導函數，有一點兩側的導數值異號是這一點為極值的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　只有這一點導數值為0，且兩側導數值異號才是充要條件． 5．對于函數f(x)＝x3－3x2，給出命題： ①f(x)是增函數，無極值； ②f(x)是減函數，無極值； ③f(x)的遞增區(qū)

4、間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)； ④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值． 其中正確的命題有(　　) A．1個　　　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 [答案]　B [解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0

5、極小值為2 [答案]　D [解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1， 函數f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調遞減， ∴當x＝－1時，取極大值－2，當x＝1時，取極小值2. 7．函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 [答案]　A [解析]　由f′(x)的圖象可知，函數f(x)在區(qū)間(a，b)內，先增，再減，再增，最后再減，故函數f(x)在區(qū)間(

6、a，b)內只有一個極小值點． 8．已知函數y＝x－ln(1＋x2)，則函數y的極值情況是(　　) A．有極小值 B．有極大值 C．既有極大值又有極小值 D．無極值 [答案]　D [解析]　∵y′＝1－(x2＋1)′ ＝1－＝ 令y′＝0得x＝1，當x>1時，y′>0， 當x<1時，y′>0， ∴函數無極值，故應選D. 9．已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數f(x)的極值是(　　) A．極大值為，極小值為0 B．極大值為0，極小值為 C．極大值為0，極小值為－ D．極大值為－，極小值為0 [答案]　A [解析]　由題意得，

7、f(1)＝0，∴p＋q＝1① f′(1)＝0，∴2p＋q＝3② 由①②得p＝2，q＝－1. ∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1 ＝(3x－1)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，極大值f＝，極小值f(1)＝0. 10．下列函數中，x＝0是極值點的是(　　) A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ [答案]　B [解析]　y＝cos2x＝，y′＝－sin2x， x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右負， ∴x＝0是函數的極大值點． 二、填空題 11．函數y＝的極大值為____

8、__，極小值為______． [答案]　1 －1 [解析]　y′＝， 令y′>0得－11或x<－1， ∴當x＝－1時，取極小值－1，當x＝1時，取極大值1. 12．函數y＝x3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________． [答案]　a＋4　a－4 [解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)， 令y′>0，得x>或x<－， 令y′<0，得－

9、b＝________. [答案]　－3 －9 [解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韋達定理應有 14．已知函數f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點，則a的取值范圍是________． [答案]　(－2,2) [解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1， 可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2， y＝f(x)的大致圖象如圖 觀察圖象得－2

10、值，如有試寫出極值． [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. x變化時，f′(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 極大值 f(－1) 減 極小值 f(3) 增 (1)由表可得函數的遞減區(qū)間為(－1,3)； (2)由表可得，當x＝－1時，函數有極大值為f(－1)＝16；當x＝3時，函數有極小值為f(3)＝－16. 16．設函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在

11、x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應的極值． [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. ∵x＝±1是函數的極值點，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有 又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1， 此時函數的表達式為f(x)＝x3－x. ∴f′(x)＝x2－. 令f′(x)＝0，得x＝±1. 當x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大 值1  極小 值－1  由上表可以

12、看出，當x＝－1時，函數有極大值1；當x＝1時，函數有極小值－1. 17．已知函數f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值． (1)討論f(1)和f(－1)是函數f(x)的極大值還是極小值； (2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程． [解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意， f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x， f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. 若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞

13、，－1)上是增函數， f(x)在(1，＋∞)上是增函數． 若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,1)上是減函數． ∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值． (2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上． 設切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝x－3x0. ∵f′(x0)＝3(x－1)，故切線的方程為 y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到點A(0,16)在切線上，有 16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化簡得x＝－8，解得x0＝－2. ∴切點為M(－2，－2)， 切線方程為9x－y＋16＝0.

14、 18．(2020·北京文，18)設函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4. (1)當a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)內無極值點，求a的取值范圍． [解析]　本題考查了函數與導函數的綜合應用． 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4. (1)當a＝3時，由(*)式得， 解得b＝－3，c＝12. 又∵曲線y＝f(x)過原點，∴d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內無極值點”等價于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9) 解得a∈[1,9]， 即a的取值范圍[1,9]．