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1、九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第四講 明快簡捷—構(gòu)造方程的妙用
有些數(shù)學問題雖然表面與一元二次方程無關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運用一元二次方程豐富的知識與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是：
1．利用根的定義構(gòu)造
當已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個變元看成是關(guān)于某個字母的一元二次方程的兩根．
2．利用韋達定理逆定理構(gòu)造
若問題中有形如，的關(guān)系式時，則、可看作方程的兩實根．
3．確定主元構(gòu)造
對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關(guān)于某個字母的一元二次方程．
成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當?shù)淖冃?、廣泛
2、的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果．
注： 許多數(shù)學問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運用已知條件，以已知條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運用數(shù)學知識，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法．
【例題求解】
【例1】 已知、是正整數(shù)，并且，，則 ．
思路點撥 ，變形題設(shè)條件，可視、為某個一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解
3、．
【例2】 若，且有及，則的值是( )
A． B． C． D．
思路點撥 第二個方程可變形為，這樣兩個方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入手．
【例3】 已知實數(shù)、滿足，且，求的取值范圍．
思路點撥 由兩個等式可求出、的表達式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間．
【例4】 已知實數(shù)、、滿足，．
4、
(1)求、、中最大者的最小值；
(2)求的最小值．
思路點撥 不妨設(shè)a≥b，a≥c，由條件得，．構(gòu)造以b、c為實根的一元二次方程，通過△≥0探求的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解(2)．
注： 構(gòu)造一元二次方程，在問題有解的前提下，運用判別式△≥0，建立含參數(shù)的不等式，
縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用．
【例5】 試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個四位數(shù)．
思路點撥 設(shè)前后兩個二位數(shù)分別為，，則有，將此
5、方程整理成關(guān)于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，運用判別式確定 (或)的取值范圍．
學歷訓(xùn)練
1．若方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和是，則的取值范圍是 ．
2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的兩個根，則m的值是 ．
3．已知、滿足，，則= ．
4．已知，，，則的值為( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD
6、的面積S的最小值為( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如圖，菱形A6CD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO、BO的長分別是關(guān)于的方程的根，則m的值為( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3
7．已知，，其中、為實數(shù)，求的值．
8．已知和是正整數(shù)，并且滿足條件，，求的值．
9．已知，，其中m、n為實數(shù)，則＝ ．
7、
10．如果、、為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式與，那么的取值范圍是 ．
11．已知，則= ，= ．；
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長為根的一元二次方程是 ．
13．已知、、均為實數(shù)，且，，求的最小值．
14．設(shè)實數(shù)、、滿足，求的取值范圍．
15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且．
(1)求∠B的度數(shù)；
(2)設(shè)點M為梯形對角線AC上一點，DM的延長線與BC相交于點F，當，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程．
16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值，那么當與△BDE之間滿足什么關(guān)系時，存在直線DE，有幾條?
參考答案
九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第四講 明快簡捷—構(gòu)造方程的妙用
