貴州省貴陽市高中數(shù)學(xué) 2.2用樣本估計(jì)總體學(xué)案4（無答案）新人教版必修3（通用）

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1、專題用樣本估計(jì)整體 1.基礎(chǔ)知識 1. 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 1.樣本、個體等概念 （1） 總體、個體、樣本與樣本容量：所要考察的對象的全體叫做總體；總體中每一個考察對象叫做個體；從總體中所抽取的一部分個體叫做這個總體的一個樣本；樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量，樣本容量沒有單位． (2）抽樣和普查：采用調(diào)查樣本的方式來收集數(shù)據(jù)，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查；而通過調(diào)查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的調(diào)查稱為全面調(diào)查，也叫普查． 2.頻率分布直方圖 a. 頻數(shù)：將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫改組的頻數(shù)。 頻率：每組數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的個數(shù)的商叫改組的頻率。 b. 樣本的頻

2、率分布：根據(jù)隨機(jī)所抽樣本大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值情況），就叫做樣本的頻率分布。 c. 樣本頻率分布表：將樣本的容量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計(jì)算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，叫做樣本頻率分布表。 d. 頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計(jì)圖叫做頻率分布直直方圖。 e. 頻率分布折線圖：把頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖。 f. 總體密度曲線：如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，曲線中所表示的頻率分布就

3、越接近于總體在各個小組內(nèi)所取值的個數(shù)與總數(shù)比值的大小。這條光滑的曲線就叫做總體密度曲線。 2. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 a. 平均數(shù)：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)。 b. 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 c. 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序依次排列，當(dāng)數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，處在最中間的一個數(shù)或當(dāng)數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 d. 方差：方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)。 e. 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。 3. 莖葉圖：它是一種將樣本將數(shù)組中數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不

4、變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數(shù)，每個數(shù)具體是多少。 4. 求一組數(shù)據(jù)的頻率分布的步驟及頻率分布直方圖的畫法 a. 求一組數(shù)據(jù)的頻率分布的步驟：（1）計(jì)算極差 （2）決定組距與組數(shù) （3）決定分點(diǎn) （4）列頻率分布表 b. 頻率分布直方圖畫法：（1）先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系，以橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表述頻率與組距的比值（2）把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組的組距，得到頻率分布直方圖。 5. 標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計(jì)算方法及應(yīng)用 （1）算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) （2）算出每個樣本數(shù)

5、據(jù)與樣本平均數(shù)的差 （3）算出 （4）算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 6．幾個常用公式 (1)有關(guān)平均數(shù)的幾個計(jì)算公式： ①一般公式： ②簡化公式：(其中是的平均數(shù)，a為接 近樣本平均數(shù)的較“整”的常數(shù)，直接計(jì)算繁鎖時適用)． ③加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式： 其中(相同數(shù)據(jù)較多時適用) (2)極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)，方差有一個較復(fù)雜的計(jì)算公式： 標(biāo)準(zhǔn)差是方差開平方后得到的值，它的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)的數(shù)量單位一致． 2.典型例題 1. 概念記憶。 例1在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示（ ）． A．頻率/樣本容量 B．組距×頻率

6、 C．頻率 D．頻率/組距 例2 已知樣本10，8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12，那么頻率為0.2的范圍為（ ） A 5.5—7.5 B 7.5—9.5 C 9.5—11.5 D 11.5—13.5 例3用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是（　?。? A．總體容量越大，估計(jì)越精確 B．總體容量越小，估計(jì)越精確 C．樣本容量越大，估計(jì)越精確 D．樣本容量越小，估計(jì)越精確 2. 頻率分布直方圖繪制與應(yīng)用 ①頻率分布直方圖是用小長方形的　　來表示在各個區(qū)間內(nèi)取值

7、的頻率．直角坐標(biāo)系中的縱軸表示　　　　的比值，即小長方形面積＝　　×　?。筋l率； ②各組頻率的和等于　　，即所有長方形面積的和等于　?。? ③頻率分布表在數(shù)量表示上比較　　，但不夠　　　、　　，不利于分析數(shù)據(jù)分布的　　　??； ④從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的　　　　，但是從直方圖本身得不出　　　　　?。? 2．連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的　　　，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條　　　曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條　　　曲線為______密度曲線．總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供

8、更加精細(xì)的信息． 例：從全校參加科技知識競賽的學(xué)生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布．將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小組的小長方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后邊一組的頻數(shù)是6. 請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題： (1)樣本的容量是多少？ (2)列出頻率分布表； (3)成績落在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)最多？并求該小組的頻數(shù)、頻率； (4)估計(jì)這次競賽中，成績不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比． 【變式訓(xùn)練】1.某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下. 壽命（h） 100～200 200～300 300～40

9、0 400～500 500～600 個 數(shù) 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）估計(jì)元件壽命在100～400 h以內(nèi)的在總體中占的比例； （4）估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的在總體中占的比例. 3. 莖葉圖的應(yīng)用 將所有的兩位數(shù)的 位數(shù)字作為莖(若是三位數(shù)，則將 數(shù)字作為莖)， 位數(shù)字作為葉，若是兩組數(shù)據(jù)，則共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下排列，共莖的葉一般按從大到小或從小到大同行列出． 在制作莖葉圖時，重復(fù)的數(shù)字要 記錄，不能遺漏，特別是葉的部分，同一數(shù)據(jù)出現(xiàn)幾次，就

10、要在圖中 例“某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢? 甲：512　554　528　549　536　556　534　541　522　538 乙：515　558　521　543　532　559　536　548　527　531 (1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績；(2)分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分 【變式訓(xùn)練】為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗(yàn)，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下： (1)在這個問題中，總體、個體、樣本和樣本容量各是什么？做出莖葉圖。 (2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半

11、徑． 4. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn) 最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)； (2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)依次排列，把 數(shù)據(jù)(或 的平均數(shù))叫做中位數(shù)，中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分； (3)平均數(shù)：x1，x2，…，xn的平均數(shù)＝___________________________ 注：由于眾數(shù)僅能刻畫某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多， 對極端值不敏感，而 又受極端值左右，因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來估計(jì)總體數(shù)字特征的準(zhǔn)確性． 標(biāo)準(zhǔn)差與方差 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的

12、大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．s＝____________________________________________ 例：甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價． 【變式訓(xùn)練】甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2） 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲

13、 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 。 【知識點(diǎn)總結(jié)】 1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同 (1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量， 是最重要的量． (2) 的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起 的變動，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì)． (3)眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的 ，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題． (4)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的 有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能

14、不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． 2．莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn) (1)所有數(shù)據(jù)信息都 在莖葉圖中看到． (2)莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況． 3．利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的 相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值． (2)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中 ． (3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是 的橫坐標(biāo)． 3.當(dāng)堂檢測

15、 1．一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組別與頻數(shù)如下： 組別 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本在(20,50]上的頻率為 (　　) A．12%　　　　　　　　　B．40% C．60% D．70% 2．甲、乙兩名同學(xué)在五次《數(shù)學(xué)基本能力》測試中，成績統(tǒng)計(jì)用莖葉圖表示如下，若甲、乙兩人的平均成績分別是X甲、X乙，則下列結(jié)論正確的是

16、 (　　) A．X甲＞X乙，甲比乙成績穩(wěn)定 B．X甲＞X乙，乙比甲成績穩(wěn)定 C． X甲＜X乙，甲比乙成績穩(wěn)定 D．X甲＜X乙，乙比甲成績穩(wěn)定 3.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，時速在[50,60)的汽車大約有（ ） A．30輛 B．40輛 C．60輛 D．80輛 4．(2020·福建高考)一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如

17、下： 組別 頻數(shù) (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 (30,40] 15 (40,50] 16 (50,60] 13 (60,70] 7 則樣本數(shù)據(jù)落在(10,40]上的頻率為(　　) A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64 5．甲、乙兩射擊運(yùn)動員進(jìn)行比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動員射擊的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)，他們的成績頻率分布條形圖如下： 由乙擊中8環(huán)及甲擊中10環(huán)的概率與甲擊中環(huán)數(shù)的平均值都正確的一組數(shù)據(jù)依次是 (　　)A．

18、0.35　0.25　8.1 B．0.35　0.25　8.8 C．0.25　0.35　8.1 D．0.25　0.35　8.8 6．(2020·四川高考)設(shè)矩形的長為a，寬為b，其比滿足b：a＝≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中．下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本： 甲批次：0.598　0.625　0.628　0.595　0.639 乙批次：0.618　0.613　0.592　0.622　0.620 根據(jù)上述兩個樣本來估計(jì)兩個批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是(　　) A．甲批次的總

19、體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C．兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D．兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定 二、填空題 7．已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5.若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是____________． 8．某地教育部門為了解學(xué)生在數(shù)學(xué)答卷中的有關(guān)信息，從上次考試的10 000名考生的數(shù)學(xué)試卷中，用分層抽樣的方法抽取500人，并根據(jù)這500人的數(shù)學(xué)成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)．則這10 000人中數(shù)學(xué)成績在[140,150

20、]段的約是________人． 9．(2020·珠海模擬)如圖是CBA籃球聯(lián)賽中，甲乙兩名運(yùn)動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，則平均得分高的運(yùn)動員是________. 三、解答題 10．甲、乙兩臺機(jī)床同時加工直徑為100 mm的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，從產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取6件進(jìn)行測量，測得數(shù)據(jù)如下(單位 mm)： 甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100 (1)分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差； (2)根據(jù)(1)的

21、計(jì)算結(jié)果，說明哪一臺機(jī)床加工的這種零件更符合要求． 11．甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間，他們參加的5項(xiàng)預(yù)賽成績記錄如下： 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)； (2)從甲、乙兩人的成績中各隨機(jī)抽取一個，求甲的成績比乙高的概率； (3)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？說明理由． 12．從高三學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下(單位：分)：[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100),8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖；(3)估計(jì)成績在[60,90)分的學(xué)生比例；(4)估計(jì)成績在85分以下的學(xué)生比例．