【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第18練

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第18練　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [題型分析高考展望]　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考中對三角函數(shù)部分考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要包括三個(gè)大的方面：三角函數(shù)圖象的識別，三角函數(shù)的簡單性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象的平移、伸縮變換.考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度一般為低中檔，在二輪復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化該部分的訓(xùn)練，爭取對該類試題會做且不失分. ?？碱}型精析 題型一　三角函數(shù)的圖象 例1　(1)(2015課標(biāo)全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)(2014湖北)某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系： f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24). ①求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度； ②求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差. 點(diǎn)評　(1)畫三角函數(shù)圖象用“五點(diǎn)法”，由圖象求函數(shù)解析式逆用“五點(diǎn)法”是比較好的方法. (2)對三角函數(shù)圖象主要確定下列信息：①周期；②最值；③對稱軸；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤單調(diào)性；⑥與標(biāo)準(zhǔn)曲線的對應(yīng)關(guān)系. 變式訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，則(　　) A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝ C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝ (2)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為____________. 題型二　三角函數(shù)的簡單性質(zhì) 例2　設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 　點(diǎn)評　解決此類問題首先將已知函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，再將ωx＋φ看成θ， 利用y＝sin θ(或y＝cos θ)的單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)解決相關(guān)問題. 變式訓(xùn)練2　(2014福建)已知函數(shù)f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－. (1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 題型三　三角函數(shù)圖象的變換 例3　已知函數(shù)f(x)＝10sin cos ＋10cos2. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向下平移a(a＞0)個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，且函數(shù)g(x)的最大值為2. ①求函數(shù)g(x)的解析式； ②證明：存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)＞0. 　 點(diǎn)評　對于三角函數(shù)圖象變換問題，平移變換規(guī)則是“左加右減上加下減”并且在變換過程中只變換其中的自變量x，要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位和方向，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的名稱不同時(shí)，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，其次把ωx＋φ寫成ω(x＋)，最后確定平移的單位和方向.伸縮變換時(shí)注意敘述為“變?yōu)樵瓉淼摹边@個(gè)字眼，變換的倍數(shù)要根據(jù)橫向和縱向，要加以區(qū)分. 變式訓(xùn)練3　(2014山東)已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n), 函數(shù)f(x)＝ab，且y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(，)和點(diǎn)(，－2). (1)求m，n的值； (2)將y＝f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 　高考題型精練 1.(2015四川)下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是(　　) A.y＝cos B.y＝sin C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x 2.(2014福建)將函數(shù)y＝sin x的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列說法正確的是(　　) A.y＝f(x)是奇函數(shù) B.y＝f(x)的周期為π C.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 D.y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，0)對稱 3.已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f()等于(　　) A.－ B.－1 C. D.1 4.(2014遼寧)將函數(shù)y＝3sin(2x＋)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(　　) A.在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增 C.在區(qū)間[－，]上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間[－，]上單調(diào)遞增 5.將函數(shù)f(x)＝－4sin的圖象向右平移φ個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ的最小正值為(　　) A. B.π C.π D. 6.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象的解析式為(　　) A.y＝sin 2x B.y＝cos 2x C.y＝sin D.y＝sin 7.若函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且－<φ<，則函數(shù)y＝f 為(　　) A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 C.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 8.(2015湖北)函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 9.函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)y＝sin的圖象重合，則φ＝____________. 10.(2015湖北)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1) 請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式； (2) 將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，求y＝g(x)的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心. 11.(2014重慶)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π. (1)求ω和φ的值； (2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值. 12.(2015重慶)已知函數(shù)f(x)＝sinsin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在上的單調(diào)性. 答案精析 第18練　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) ?？碱}型精析 例1　D [由圖象知， 周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π. 由π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－0，|φ|<)的最小正周期為π， ∴T＝＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sin φ＝， 即sin φ＝(|φ|<)，∴φ＝. (2)觀察圖象可知：A＝2且點(diǎn)(0,1)在圖象上， ∴1＝2sin(ω0＋φ)，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝. 又∵π是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點(diǎn)，∴ω＋＝2π，∴ω＝2. ∴f(x)＝2sin. 例2　解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin. 依題意知＝4，ω>0，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當(dāng)π≤x≤時(shí)，≤2x－≤. 所以－≤sin≤1. 所以－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，－1. 變式訓(xùn)練2　解　(1)因?yàn)?<α<，sin α＝，所以cos α＝. 所以f(α)＝(＋)－＝. (2)因?yàn)閒(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin(2x＋)， 所以T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 例3　解　(1)因?yàn)閒(x)＝10sin cos ＋10cos2 ＝5sin x＋5cos x＋5 ＝10sin＋5， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π. (2)①將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到y(tǒng)＝10sin x＋5的圖象，再向下平移a(a＞0)個(gè)單位長度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的圖象. 又已知函數(shù)g(x)的最大值為2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8. ②要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)＞0，就是要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x∈(α0，π－α0)時(shí)，均有sin x＞. 因?yàn)閥＝sin x的周期為2π， 所以當(dāng)x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)時(shí)，均有sin x＞. 因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1， 所以對任意的正整數(shù)k，都存在正整數(shù)x0∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin x0＞. 亦即，存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0，使得g(x0)＞0. 變式訓(xùn)練3　解　(1)由題意知f(x)＝ab＝msin 2x＋ncos 2x. 因?yàn)閥＝f(x)的圖象過點(diǎn)(，)和(，－2)， 所以 即解得 (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋). 由題意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋). 設(shè)y＝g(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)， 由題意知x＋1＝1，所以x0＝0， 即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2). 將其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1， 因?yàn)?<φ<π，所以φ＝， 因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 所以函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ]，k∈Z. 高考題型精練 1. A [y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確； y＝sin＝cos 2x，最小正周期為π，且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故B不正確； C，D均為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C，D不正確.] 2.D [由題意知，f(x)＝cos x，所以它是偶函數(shù)，A錯(cuò)；它的周期為2π，B錯(cuò)；它的對稱軸是直線x＝kπ，k∈Z，C錯(cuò)；它的對稱中心是點(diǎn)，k∈Z，D對.] 3.C [由圖象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2. 由2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z. 又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(20＋)＝1， 知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)， ∴f()＝tan(2＋)＝tan＝.] 4.B [y＝3sin(2x＋)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π). 令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋ π，k∈Z，則y＝3sin(2x－π)的增區(qū)間為[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z. 令k＝0得其中一個(gè)增區(qū)間為[，π]，故B正確. 畫出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的簡圖，如圖，可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有單調(diào)性，故C，D錯(cuò)誤.] 5.B [依題意可得y＝f(x) ?y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)] ?y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]， 因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線x＝對稱， 所以g＝4，得φ＝π＋π(k∈Z)，故選B.] 6.D [由圖象知A＝1，T＝－＝，T＝π，∴ω＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝?φ＝?f(x)＝sin，則圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象的解析式為y＝sin＝sin.] 7.D [因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則＋φ＝kπ＋，k∈Z.即φ＝kπ－，k∈Z，又－<φ<，則φ＝－，則y＝f＝cos＝cos＝－sin 2x，所以該函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減.] 8.2 解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝sin 2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示. 觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn). 9. 解析　函數(shù)y＝cos(2x＋φ)向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin，即y＝sin向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y＝cos(2x＋φ)，y＝sin向左平移個(gè)單位，得y＝sin＝sin＝－sin＝cos＝cos，即φ＝. 10.解　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin. (2)由(1)知f(x)＝5sin， 因此g(x)＝5sin＝5sin. 因?yàn)閥＝sin x的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z. 即y＝g(x)圖象的對稱中心為，k∈Z，其中離原點(diǎn)O最近的對稱中心為. 11.解　(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，所以f(x)的最小正周期為T＝π，從而ω＝＝2. 又因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱， 所以2＋φ＝kπ＋，k＝0，1，2，…. 由－≤φ<，得k＝0， 所以φ＝－＝－. (2)由(1)得f()＝sin(2－)＝， 所以sin(α－)＝. 由<α<，得0<α－<， 所以cos(α－)＝ ＝ ＝. 所以cos(α＋)＝sin α＝sin[(α－)＋] ＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin ＝＋ ＝. 12.解　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－， 因此f(x)的最小正周期為π，最大值為. (2)當(dāng)x∈時(shí)，0≤2x－≤π，從而 當(dāng)0≤2x－≤，即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)≤2x－≤π，即≤x≤時(shí)，f(x)單調(diào)遞減. 綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減. 第 17 頁 共 17 頁