【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計(jì)】專題8 第40練

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第40練　歸納推理與類比推理 [題型分析高考展望]　歸納推理與類比推理是新增內(nèi)容，在高考中，常以選擇題、填空題的形式考查.題目難度不大，只要掌握合情推理的基礎(chǔ)理論知識(shí)和基本方法即可解決. ?？碱}型精析 題型一　利用歸納推理求解相關(guān)問(wèn)題 例1　(1)(2015陜西)觀察下列等式： 1－＝， 1－＋－＝＋， 1－＋－＋－＝＋＋， … 據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________________________________________________. (2)如圖所示，是某小朋友在用火柴拼圖時(shí)呈現(xiàn)的圖形，其中第1個(gè)圖形用了3根火柴，第2個(gè)圖形用了9根火柴，第3個(gè)圖形用了18根火柴，…，則第2 014個(gè)圖形用的火柴根數(shù)為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 0122 015 B.2 0132 014 C.2 0132 015 D.3 0212 015 點(diǎn)評(píng)　歸納推理的三個(gè)特點(diǎn) (1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊對(duì)象，歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍； (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否準(zhǔn)確，還需要經(jīng)過(guò)邏輯推理和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具； (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題. 變式訓(xùn)練1　(2014陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_______________________________. 題型二　利用類比推理求解相關(guān)問(wèn)題 例2　如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，截下的是一個(gè)直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面中的結(jié)論有____________________. 點(diǎn)評(píng)　類比推理的一般步驟 (1)定類，即找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征； (2)推測(cè)，即用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想； (3)檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)猜想的正確性，要將類比推理運(yùn)用于簡(jiǎn)單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力. 變式訓(xùn)練2　(2015濟(jì)南模擬)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是(　　) A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 高考題型精練 1.(2015西安模擬)我們知道，在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值a，類比上述結(jié)論，邊長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值(　　) A.a B.a C.a D.a 2.已知x>0，觀察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般結(jié)論：x＋≥n＋1(n∈N*)，則a的值為(　　) A.nn B.n2 C.3n D.2n 3.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A.28 B.76 C.123 D.199 4.(2014北京)學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有(　　) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 5.在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間可以得到類似結(jié)論，已知正四面體P—ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則等于(　　) A. B. C. D. 6.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}(bn＝)也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A.dn＝ B.dn＝ C.dn＝ D.dn＝ 7.仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個(gè)○和●中，●的個(gè)數(shù)是________. 8.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為＝n2＋n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù) N(n,3)＝n2＋n， 正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n … 可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝____________. 9.兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α＋sin(π＋α)＝0；三點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋)＝0.由此可以推知：四點(diǎn)等分單位圓時(shí)的相應(yīng)正確關(guān)系為________________________. 10.觀察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 … 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________. 11.觀察下列不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， … 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為________________________________________________. 12.當(dāng)x∈R，|x|<1時(shí)，有如下表達(dá)式： 1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝. 兩邊同時(shí)積分得：1dx＋xdx＋x2dx＋…＋xndx＋…＝dx， 從而得到如下等式： 1＋()2＋()3＋…＋()n+1＋…＝ln 2. 請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法計(jì)算： C＋C()2＋C()3＋…＋C()n+1＝________. 答案精析 第40練　歸納推理與類比推理 ?？碱}型精析 例1　(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋　(2)D 解析　(1)等式左邊的特征：第1個(gè)等式有2項(xiàng)，第2個(gè)有4項(xiàng)，第3個(gè)有6項(xiàng)，且正負(fù)交錯(cuò)，故第n個(gè)等式左邊有2n項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò)，應(yīng)為1－＋－＋…＋－；等式右邊的特征：第1個(gè)有1項(xiàng)，第2個(gè)有2項(xiàng)，第3個(gè)有3項(xiàng)，故第n個(gè)有n項(xiàng)，且由前幾個(gè)的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等式右邊應(yīng)為＋＋…＋. (2)由題意，第1個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為31； 第2個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3(1＋2)； 第3個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3(1＋2＋3)； …… 由此，可以推出，第n個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3(1＋2＋3＋…＋n). 所以第2 014個(gè)圖形所需火柴的根數(shù)為3(1＋2＋3＋…＋2 014) ＝3＝3 0212 015，故選D. 變式訓(xùn)練1　F＋V－E＝2 解析　觀察F，V，E的變化得F＋V－E＝2. 例2　S2＝S＋S＋S 解析　建立從平面圖形到空間圖形的類比，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何的性質(zhì)時(shí)，注意平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)可類比推理空間幾何中線的性質(zhì)，平面幾何中線的性質(zhì)可類比推理空間幾何中面的性質(zhì)，平面幾何中面的性質(zhì)可類比推理空間幾何中體的性質(zhì).所以三角形類比空間中的三棱錐，線段的長(zhǎng)度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S. 變式訓(xùn)練2　C [設(shè)正四面體的每個(gè)面的面積是S，高是h，內(nèi)切球半徑為R，由體積分割可得：SR4＝Sh，所以R＝h.故選C.] 高考題型精練 1.A [正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積.設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個(gè)面的面積為a2，正四面體的體積為a3，則有a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝a.] 2.A [根據(jù)已知，續(xù)寫一個(gè)不等式： x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.故選A.] 3.C [觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3,4,7,11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng). 繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十項(xiàng)為123，即a10＋b10＝123.] 4.B [假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上，設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁，則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣(或4位同學(xué)中必有兩個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)不一樣)，那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好，故滿足條件的學(xué)生不能超過(guò)3人.當(dāng)有3位學(xué)生時(shí)，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人.] 5.C [從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，E為等邊三角形ABC的中心，O為內(nèi)切球與外接球球心. 則AE＝a，DE＝a， 設(shè)OA＝R，OE＝r， 則OA2＝AE2＋OE2， 即R2＝2＋2， ∴R＝a，r＝a， ∴正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，故正四面體P—ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于.] 6.D [若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d， ∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列； 若{cn}是等比數(shù)列，則c1c2…cn＝cq1＋2＋…＋(n－1)＝cq， ∴dn＝＝c1q，即{dn}為等比數(shù)列，故選D.] 7.14 解析　進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝， 易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 8.1 000 解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)＝n2＋n， ∴N(10,24)＝100＋10＝1 100－100＝1 000. 9.sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0 解析　由類比推理可知，四點(diǎn)等分單位圓時(shí)，α與α＋π的終邊互為反向延長(zhǎng)線，α＋與α＋的終邊互為反向延長(zhǎng)線，如圖. 10.12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 解析　觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(－1)n＋1n2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對(duì)值分別為1,3,6,10,15,21，….設(shè)此數(shù)列為{an}，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n個(gè)等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 11.1＋＋＋＋＋< 解析　觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列. ∴第五個(gè)不等式為1＋＋＋＋＋<. 12.[()n＋1－1] 解析　設(shè)f(x)＝Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn＋1， ∴f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n. ∴f＝?0(1＋x)ndx＝0 ＝n＋1－(1＋0)n＋1 ＝， 即C＋C2＋C3＋…＋Cn＋1＝.