【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科集合與常用邏輯用語(yǔ)】第2練
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第2練 用好邏輯用語(yǔ)、突破充要條件 [題型分析高考展望] 邏輯用語(yǔ)是高考??純?nèi)容,充分、必要條件是重點(diǎn)考查內(nèi)容,題型基本都是選擇題、填空題,題目難度以低、中檔為主.在二輪復(fù)習(xí)中,本部分應(yīng)該重點(diǎn)掌握四種命題的真假判斷、否命題與命題的否定的區(qū)別、含有量詞的命題的否定的求法、充分必要條件的判定與應(yīng)用.這些知識(shí)被考查的概率都較高,特別是充分、必要條件幾乎每年都有考查. 常考題型精析 題型一 命題及其真假判斷 常用結(jié)論: (1)原命題與逆否命題等價(jià),同一個(gè)命題的逆命題、否命題等價(jià);(2)四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為偶數(shù);(3)只有p、q都假,p∨q假,否則為真,只有p、q都真,p∧q真,否則為假;(4)全稱命題的否定為特稱命題,特稱命題的否定為全稱命題,一個(gè)命題與其否定不會(huì)同真假. 例1 (1)(2015安徽)已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行 B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行 C.若α,β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 (2)(2014湖南)已知命題p:若x>y,則-x<-y;命題q:若x>y,則x2>y2.在命題①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命題是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案 (1)D (2)C 解析 (1)對(duì)于A,α,β垂直于同一平面,α,β關(guān)系不確定,A錯(cuò);對(duì)于B,m,n平行于同一平面,m,n關(guān)系不確定,可平行、相交、異面,故B錯(cuò);對(duì)于C,α,β不平行,但α內(nèi)能找出平行于β的直線,如α中平行于α,β交線的直線平行于β,故C錯(cuò);對(duì)于D,若假設(shè)m,n垂直于同一平面,則m∥n,其逆否命題即為D選項(xiàng),故D正確. (2)當(dāng)x>y時(shí),-x<-y,故命題p為真命題,從而綈p為假命題. 當(dāng)x>y時(shí),x2>y2不一定成立,故命題q為假命題,從而綈q為真命題. 由真值表知,①p∧q為假命題;②p∨q為真命題;③p∧(綈q)為真命題;④(綈p)∨q為假命題.故選C. 點(diǎn)評(píng) 利用等價(jià)命題判斷命題的真假,是判斷命題真假快捷有效的方法.在解答時(shí)要有意識(shí)地去練習(xí). 變式訓(xùn)練1 (2014重慶)已知命題: p:對(duì)任意x∈R,總有2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要條件. 則下列命題為真命題的是( ) A.p∧q B.(綈p)∧(綈q) C.(綈p)∧q D.p∧(綈q) 答案 D 解析 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞),所以對(duì)任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p為真命題;因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí),x>2不一定成立,反之當(dāng)x>2時(shí),一定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分條件,故q為假命題,則p∧q、綈p為假命題,綈q為真命題,(綈p)∧(綈q)、(綈p)∧q為假命題,p∧(綈q)為真命題,故選D. 題型二 充分條件與必要條件 例2 (1)(2015北京)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m是直線且m?α.則“m∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 B 解析 m?α,m∥β?/ α∥β,但m?α,α∥β?m∥β, 所以m∥β是α∥β的必要而不充分條件. (2)給出下列命題: ①若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; ②a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b; ③在△ABC中,sin A>sin B的充要條件為A>B; ④在△ABC中,設(shè)命題p:△ABC是等邊三角形,命題q:a∶b∶c=sin B∶sin C∶sin A,那么命題p是命題q的充分不必要條件. 其中正確的命題為________.(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上) 答案?、佗? 解析?、僬_.因?yàn)椋剑? 所以||=||且∥, 又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),所以四邊形ABCD為平行四邊形;反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則∥且||=||,因此=. ②不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件. ③正確.由正弦定理知sin A=,sin B=,當(dāng)sin A>sin B成立時(shí),得a>b,則A>B;當(dāng)A>B時(shí),則有a>b,則sin A>sin B,故命題正確. ④不正確.若△ABC是等邊三角形,則a=b=c,sin B=sin C=sin A,即命題p是命題q的充分條件;若a∶b∶c=sin B∶sin C∶sin A,則=,又由正弦定理得=,即=,所以=,即c2=ab,同理得a2=bc,b2=ac,所以c=a=b,所以△ABC是等邊三角形.因此命題p是命題q的充要條件. 綜上所述,正確命題的序號(hào)是①③. 點(diǎn)評(píng) 判斷充分、必要條件時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)先后順序:“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B,且B不能推出A. (2)舉出反例:如果從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí),可以通過(guò)舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明. (3)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:若綈p是綈q的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件;若綈p是綈q的充要條件,那么p是q的充要條件. 變式訓(xùn)練2 (2015湖北)設(shè)a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比數(shù)列;q:(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,則( ) A.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件 答案 B 解析 若p成立,設(shè)a1,a2,…,an的公比為q,則(a+a+…+a)(a+a+…+a)=a(1+q2+…+q2n-4)a(1+q2+…+q2n-4)=aa(1+q2+…+q2n-4)2,(a1a2+a2a3+…+an-1an)2=(a1a2)2(1+q2+…+q2n-4)2,故q成立,故p是q的充分條件.取a1=a2=…=an=0,則q成立,而p不成立,故p不是q的必要條件,故選B. 題型三 與命題有關(guān)的綜合問(wèn)題 例3 下列敘述正確的是( ) A.命題:?x∈R,使x3+sin x+2<0的否定為:?x∈R,均有x3+sin x+2<0 B.命題:“若x2=1,則x=1或x=-1”的逆否命題為:若x≠1或x≠-1,則x2≠1 C.已知n∈N,則冪函數(shù)y=x3n-7為偶函數(shù),且在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n=1 D.函數(shù)y=log2的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱的充分必要條件為m=1 答案 C 解析 A:命題:?x∈R,使x3+sin x+2<0的否定為:?x∈R,均有x3+sin x+2≥0,故A錯(cuò)誤; B:命題:若x2=1,則x=1或x=-1的逆否命題為:若x≠1且x≠-1,則x2≠1,故B錯(cuò)誤; C:因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3n-7在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減, 所以3n-7<0,解得n<,又n∈N, 所以n=0,1或2;又y=x3n-7為偶函數(shù), 所以,n=1,即冪函數(shù)y=x3n-7為偶函數(shù),且在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減的充分必要條件為n=1,C正確; D:令y=f(x)=log2,由其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,得f(x)+f(2-x)=0, 即log2+log2 =log2=0, =1. 整理得:m2+2m-3=0,解得m=1或m=-3, 當(dāng)m=-3時(shí),=-1<0,y=log2無(wú)意義, 故m=1. 所以,函數(shù)y=log2圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱的充分必要條件為m=1,D錯(cuò)誤. 點(diǎn)評(píng) 解決此類問(wèn)題需要對(duì)每一個(gè)命題逐一作出判斷,需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),這是破解此類問(wèn)題的前提條件.若需證明某命題為真,需要根據(jù)有關(guān)知識(shí)作出邏輯證明,但若需要證明某命題為假,只要舉出一個(gè)反例即可,因此,“找反例”是破解此類問(wèn)題的重要方法之一. 變式訓(xùn)練3 (2014江西)下列敘述中正確的是( ) A.若a,b,c∈R,則“ax2+bx+c≥0”的充分條件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,則“ab2≥cb2”的充要條件是“a>c” C.命題“對(duì)任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0” D.l是一條直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,若l⊥α,l⊥β,則α∥β 答案 D 解析 由于“若b2-4ac≤0,則ax2+bx+c≥0”是假命題,所以“ax2+bx+c≥0”的充分條件不是“b2-4ac≤0”,A錯(cuò);∵ab2>cb2,且b2>0,∴a>c.而a>c時(shí),若b2=0,則ab2>cb2不成立,由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要條件,B錯(cuò);“對(duì)任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2<0”,C錯(cuò);由l⊥α,l⊥β,可得α∥β,理由是:垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,D正確. 高考題型精練 1.(2015課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則綈p為( ) A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 2.(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則( ) A.p是q是充分必要條件 B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件 3.下列命題中,真命題是( ) A.?x∈R,x2>0 B.?x∈R,-1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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