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第9練 顧全局——函數(shù)零點問題
[題型分析高考展望] 函數(shù)零點問題是高考常考題型，一般以選擇題、填空題的形式考查，難度為中檔.其考查點有兩個方面：一是函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)；二是由函數(shù)零點的個數(shù)或取值范圍求解參數(shù)的取值范圍.
?？碱}型精析
題型一 零點個數(shù)與零點區(qū)間問題
例1 (1)(2014湖北)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為( )
A.{1,3} B.{－3，－1,1,3}
C.{2－，1,3} D.{－2－，1,3}
(2)(2015北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝
①若a＝1，則f(x)的最小值為________；
②若f(x)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.
點評 確定函數(shù)零點的常用方法：
(1)若方程易求解時，用解方程判定法；
(2)數(shù)形結(jié)合法，在研究函數(shù)零點、方程的根及圖象交點的問題時，當(dāng)從正面求解難以入手時，可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價問題求解，如求解含有絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)零點問題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點問題求解.
變式訓(xùn)練1 (2015東營模擬)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
題型二 由函數(shù)零點求參數(shù)范圍問題
例2 (2014天津)已知函數(shù)f(x)＝ 若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為________.
點評 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：
(1)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.
(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
變式訓(xùn)練2 (2015北京東城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x).當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x.若在區(qū)間[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是______.
高考題型精練
1.已知x1，x2是函數(shù)f(x)＝e-x－|ln x|的兩個零點，則( )
A.
0，則a的取值范圍是( )
A.(2，＋∞) B.(－∞，－2)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)
7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(00，且a≠1)，當(dāng)20，
所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.
因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x).
所以當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2－3x.
所以當(dāng)x≥0時，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.當(dāng)x<0時，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－2－.所以函數(shù)g(x)有三個零點，故其集合為{－2－，1,3}.
(2)①當(dāng)a＝1時，f(x)＝
當(dāng)x<1時，f(x)＝2x－1∈(－1,1)，
當(dāng)x≥1時，f(x)＝4(x2－3x＋2)
＝4≥－1，
∴f(x)min＝－1.
②由于f(x)恰有2個零點，分兩種情況討論：
當(dāng)f(x)＝2x－a，x<1沒有零點時，a≥2或a≤0.
當(dāng)a≥2時，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1時，有2個零點；
當(dāng)a≤0時，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1時無零點.
因此a≥2滿足題意.
當(dāng)f(x)＝2x－a，x<1有一個零點時， 00).
當(dāng)a＝2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1＝a|x|的圖象有3個交點.故a<2.
當(dāng)y＝a|x|(x≤0)與y＝|x2＋5x＋4|相切時，在整個定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1＝a|x|的圖象有5個交點，
此時，由得x2＋(5－a)x＋4＝0.
由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，
則當(dāng)12時，g(x)＝x＋b－4，f(x)＝(x－2)2；
當(dāng)0≤x≤2時，g(x)＝b－x，f(x)＝2－x；
當(dāng)x<0時，g(x)＝b－x2，f(x)＝2＋x.
由于函數(shù)y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，
所以方程f(x)－g(x)＝0恰有4個根.
當(dāng)b＝0時，當(dāng)x>2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2－5x＋8＝0，無解；
當(dāng)0≤x≤2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為2－x－(－x)＝0，無解；
當(dāng)x<0時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2＋x＋2＝0，無解.
所以b≠0，排除答案B.
當(dāng)b＝2時，當(dāng)x>2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為(x－2)2＝x－2，得x＝2(舍去)或x＝3，有1解；
當(dāng)0≤x≤2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為2－x＝2－x，有無數(shù)個解；
當(dāng)x<0時，方程f(x)－g(x)＝0可化為2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1，有1解.
所以b≠2，排除答案A.
當(dāng)b＝1時，當(dāng)x>2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2－5x＋7＝0，無解；
當(dāng)0≤x≤2時，方程f(x)－g(x)＝0可化為1－x＝2－x，無解；
當(dāng)x<0時，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2＋x＋1＝0，無解.
所以b≠1，排除答案C.因此答案選D.
方法二 記h(x)＝－f(2－x)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：y＝x－4，當(dāng)直線l∥AB且與f(x)的圖象相切時，由
解得b′＝－，－－(－4)＝，
所以曲線h(x)向上平移個單位后，所得圖象與f(x)的圖象有兩個公共點，平移2個單位后，兩圖象有無數(shù)個公共點，因此，當(dāng)＜b＜2時，f(x)與g(x)的圖象有4個不同的交點，即y＝f(x)－g(x)恰有4個零點.選D.]
3.D [當(dāng)x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x>1時，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因為x>1，所以此時方程無解.綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0.]
4.B [∵2sin πx－x＋1＝0，∴2sin πx＝x－1，圖象如圖所示，由圖象看出y＝2sin πx與y＝x－1有5個交點，
∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為5.]
5.A [f(0)＝4sin 1>0，f(2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，
所以sin 5<0，故f(2)<0，則函數(shù)在[0,2]上存在零點；
由于f(－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函數(shù)在[－1,0]上存在零點，也在[－2,0]上存在零點；
令x＝∈[2,4]，
則f()＝4sin －＝4－＝>0，
而f(2)<0，所以函數(shù)在[2,4]上存在零點.選A.]
6.B [f′(x)＝3ax2－6x，
當(dāng)a＝3時，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
則當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)>0；x∈(0，)時，f′(x)<0；x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f()＝>0，則f(x)的大致圖象如圖1所示.
圖1
不符合題意，排除A、C.
當(dāng)a＝－時，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，則當(dāng)x∈(－∞，－)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(－，0)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f(－)＝－，則f(x)的大致圖象如圖2所示.
圖2
不符合題意，排除D.]
7.A [當(dāng)0≤x<1時，f(x)≤0.
由F(x)＝f(x)－a＝0，畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝a的圖象如圖.
函數(shù)F(x)＝f(x)－a有5個零點.
當(dāng)－10，
因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點，故n＝2.
10.2
解析 方程變形為3－x2＝2－x＝()x，
令y1＝3－x2，y2＝()x.
如圖所示，由圖象可知有2個交點.
11.4
解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，
則h(x)＝
當(dāng)1＜x＜2時，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故當(dāng)1＜x＜2時h(x)單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝|h(x)|和y＝1的圖象如圖所示.
由圖象可知|f(x)＋g(x)|＝1的實根個數(shù)為4.
12.
解析 由題意作出f(x)在[－1,3]上的圖象如圖，記y＝k(x＋1)＋1，
∴函數(shù)y＝k(x＋1)＋1的圖象過定點A(－1,1).記B(2,0)，由圖象知，方程有四個根，
即函數(shù)y＝f(x)與y＝kx＋k＋1的圖象有四個交點，
故kAB
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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3
第9練
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