【高考前三個月復習數(shù)學理科 數(shù)列】專題5 第22練
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第22練 基本量——破解等差、等比數(shù)列的法寶 [題型分析高考展望] 等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點,經(jīng)常以一個選擇題或一個填空題,再加一個解答題的形式考查,題目難度可大可小,有時為中檔題,有時解答題難度較大.解決這類問題的關鍵是熟練掌握基本量,即通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì). ??碱}型精析 題型一 等差、等比數(shù)列的基本運算 例1 已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105,且a10=2a5. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)對任意m∈N*,將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm. 點評 等差(比)數(shù)列基本運算的關注點 (1)基本量:在等差(比)數(shù)列中,首項a1和公差d(公比q)是兩個基本的元素. (2)解題思路:①設基本量a1和公差d(公比q); ②列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關于a1和d(q)的方程(組),然后求解,注意整體計算,以減少計算量. 變式訓練1 (1)(2014安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數(shù)列,則q=________. (2)(2015課標全國Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7等于( ) A.21 B.42 C.63 D.84 題型二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 例2 (1)(2015廣東)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________. (2)設各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},Sn為前n項和,且S10=10,S30=70,那么S40等于( ) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 點評 等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點 類型 等差數(shù)列 等比數(shù)列 項的 性質(zhì) 2ak=am+al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差數(shù)列) a=amal(m,k,l∈N*且m,k,l成等差數(shù)列) am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q) aman=apaq(m,n,p,q∈N*且m+n=p+q) 和的 性質(zhì) 當n為奇數(shù)時:Sn=n 當n為偶數(shù)時:=q(公比) 依次每k項的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構成等差數(shù)列 依次每k項的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠-1) 變式訓練2 (1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an},前20項和為100,則a7a14的最大值是________. (2)在等差數(shù)列{an}中,a1=-2 016,其前n項和為Sn,若-=2,則S2 016的值為________. 題型三 等差、等比數(shù)列的綜合應用 例3 (2015陜西)設fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,…,xn的各項和,其中x>0,n∈N,n≥2. (1)證明:函數(shù)Fn(x)=fn(x)-2在內(nèi)有且僅有一個零點(記為xn),且xn=+x; (2)設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項和為gn(x),比較fn(x)與gn(x)的大小,并加以證明. 點評 (1)對數(shù)列{an},首先弄清是等差還是等比,然后利用相應的公式列方程組求相關基本量,從而確定an、Sn. (2)熟練掌握并能靈活應用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),也是解決此類題目的主要方法. 變式訓練3 (2015北京)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通項公式; (2)設等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7,問:b6與數(shù)列{an}的第幾項相等? 高考題型精練 1.(2014重慶)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是( ) A.a1,a3,a9成等比數(shù)列 B.a2,a3,a6成等比數(shù)列 C.a2,a4,a8成等比數(shù)列 D.a3,a6,a9成等比數(shù)列 2.(2014天津)設{an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1等于( ) A.2 B.-2 C. D.- 3.已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為{an}的前n項和,n∈N*,則S10的值為( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 4.(2014大綱全國)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.(2015北京)設{an}是等差數(shù)列,下列結論中正確的是( ) A.若a1+a2>0,則a2+a3>0 B.若a1+a3<0,則a1+a2<0 C.若0<a1<a2,則a2> D.若a1<0,則(a2-a1)(a2-a3)>0 6.(2015臨沂模擬)已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2015北京東城區(qū)模擬)設{an}是公比為q的等比數(shù)列,|q|>1,令bn=an+1 (n=1,2,…),若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{-53,-23,19,37,82}中,則6q=________. 8.(2014北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當n=________時,{an}的前n項和最大. 9.(2015浙江)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=________,d=________. 10.(2015蘇州模擬)公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項ak1,ak2,ak3,…構成等比數(shù)列,且k1=1,k2=2,k3=6,則k4=________. 11.已知數(shù)列{an}滿足a1=且an+1=an-a(n∈N*). (1) 證明:1≤≤2(n∈N*); (2)設數(shù)列{a}的前n項和為Sn,證明:≤≤(n∈N*). 12.(2015廣東)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且當n≥2時,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)證明:為等比數(shù)列; (3)求數(shù)列{an}的通項公式. 答案精析 專題5 數(shù)列 第22練 基本量——破解等差、等比數(shù)列的法寶 常考題型精析 例1 解 (1)設數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Tn, 由T5=105,a10=2a5, 得 解得a1=7,d=7. 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*). (2)對m∈N*,若an=7n≤72m,則n≤72m-1. 因此bm=72m-1. 所以數(shù)列{bm}是首項為7,公比為49的等比數(shù)列, 故Sm=== =. 變式訓練1 (1)1 (2)B 解析 (1)設等差數(shù)列的公差為d,則a3=a1+2d, a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1, ∴q===1. (2)設等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=221=42,故選B. 例2 (1)10 (2)A 解析 (1)因為{an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10. (2)依題意,數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20), 即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,則S40=S30+=70+=150. 變式訓練2 (1)25 (2)-2 016 解析 (1)∵S20=20=100,∴a1+a20=10. ∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10. ∵an>0,∴a7a14≤2=25. 當且僅當a7=a14時取等號. 故a7a14的最大值為25. (2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得數(shù)列也是等差數(shù)列,根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項=a1=-2 016,公差d=1,故=-2 016+(2 016-1)1=-1, 所以S2 016=-2 016. 例3 (1)證明 Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2, 則Fn(1)=n-1>0, Fn=1++2+…+n-2 =-2=-<0, 所以Fn(x)在內(nèi)至少存在一個零點. 又F′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0(x>0), 故Fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增, 所以Fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點xn, 因為xn是Fn(x)的零點,所以Fn(xn)=0, 即-2=0,故xn=+x. (2)解 方法一 由題設,gn(x)=, 設h(x)=fn(x)-gn(x) =1+x+x2+…+xn-,x>0. 當x=1時,fn(x)=gn(x); 當x≠1時,h′(x)=1+2x+…+nxn-1-, 若0<x<1,h′(x)>xn-1+2xn-1+…+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0, 若x>1,h′(x)<xn-1+2xn-1+…+nxn-1-xn-1 =xn-1-xn-1=0, 所以h(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減, 所以h(x)<h(1)=0,即fn(x)<gn(x), 綜上所述,當x=1時,fn(x)=gn(x); 當x≠1時,fn(x)<gn(x). 方法二 由已知,記等差數(shù)列為{ak},等比數(shù)列為{bk},k=1,2,…,n+1, 則a1=b1=1,an+1=bn+1=xn, 所以ak=1+(k-1)(2≤k≤n), bk=xk-1(2≤k≤n), 令mk(x)=ak-bk=1+-xk-1,x>0(2≤k≤n), 當x=1時,ak=bk,所以fn(x)=gn(x), 當x≠1時,m′k(x)=nxn-1-(k-1)xk-2 =(k-1)xk-2(xx-k+1-1), 而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1, 若0<x<1,xx-k+1<1,m′k(x)<0; 若x>1,xx-k+1>1,m′k(x)>0, 從而mk(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增, 所以mk(x)>mk(1)=0, 所以當x>0且x≠1時,ak>bk(2≤k≤n), 又a1=b1,an+1=bn+1, 故fn(x)<gn(x), 綜上所述,當x=1時,fn(x)=gn(x);當x≠1時,fn(x)<gn(x). 變式訓練3 解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a4-a3=2,所以d=2. 又因為a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…). (2)設等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因為b2=a3=8,b3=a7=16, 所以q=2,b1=4. 所以b6=426-1=128. 由128=2n+2,得n=63, 所以b6與數(shù)列{an}的第63項相等. 高考題型精練 1.D [設等比數(shù)列的公比為q,因為==q3,即a=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.故選D.] 2.D [因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=na1+d,所以S1,S2,S4分別為a1,2a1-1,4a1-6. 因為S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6).解得a1=-.] 3.D [∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16, 又∵a7是a3與a9的等比中項, ∴(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20. ∴S10=1020+109(-2)=110.] 4.C [數(shù)列{lg an}的前8項和S8=lg a1+lg a2+…+lg a8 =lg(a1a2…a8)=lg(a1a8)4 =lg(a4a5)4=lg(25)4=4.] 5.C [設等差數(shù)列{an}的公差為d,若a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于d正負不確定,因而a2+a3符號不確定,故選項A錯;若a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于d正負不確定,因而a1+a2符號不確定,故選項B錯;若0- 配套講稿:
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