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1、總體特征數(shù)的估計(jì)（二）
【目標(biāo)引領(lǐng)】
1． 學(xué)習(xí)目標(biāo)：
理解樣本數(shù)據(jù)的方差，標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并使學(xué)生領(lǐng)會(huì)通過合理的抽樣對(duì)總體的穩(wěn)定性水平作出科學(xué)的估計(jì)的思想。掌握從實(shí)際問題中提取數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算方差，標(biāo)準(zhǔn)差，并對(duì)總體穩(wěn)定性水平估計(jì)的方法。
2． 學(xué)法指導(dǎo)：
①．方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：
設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則
樣本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s=
②．方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大。
【教師在線】
1． 解析視屏：
①若給定一組
2、數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為
②若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；特別地，當(dāng)時(shí)，則有的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去相同的一個(gè)常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性；
③方差刻畫了數(shù)據(jù)相對(duì)于均值的平均偏離程度；對(duì)于不同的數(shù)據(jù)集，當(dāng)離散程度越大時(shí)，方差越大；
④方差的單位是原始測(cè)量數(shù)據(jù)單位的平方，對(duì)數(shù)據(jù)中的極值較為敏感，標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始測(cè)量數(shù)據(jù)單位相同，可以減弱極值的影響。
2． 經(jīng)典回放：
例1： 要從甲乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中選拔一名去參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)是：先看他們的平均成績(jī)，如果兩人的平均成績(jī)相差無(wú)幾，就要再看他們成績(jī)的穩(wěn)定程度。為此對(duì)兩人進(jìn)行了15
3、次比賽，得到如下數(shù)據(jù)：（單位：cm）：
甲
755
752
757
744
743
729
721
731
778
768
761
773
764
736
741
乙
729
767
744
750
745
753
745
752
769
743
760
755
748
752
747
如何通過對(duì)上述數(shù)據(jù)的處理，來作出選人的決定呢？
解：甲≈750.2
乙≈750.6
s甲≈16.4
s乙≈9.6
甲乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)相差無(wú)幾，乙的成績(jī)較穩(wěn)定，所以選拔乙去參加運(yùn)動(dòng)會(huì)比較合適。
點(diǎn)評(píng)：總體平均數(shù)描述一總體的平均
4、水平，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況或者叫穩(wěn)定程度。
例2：證明方差的兩個(gè)性質(zhì)
①．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為
②．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；
解：設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為=，則
樣本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
另一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為=a,則
樣本方差=〔（ax1—a）２+（ax2—a）2+…+（axn—a）2〕
=a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
=.
同樣：另一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為
=a+b,
樣本方差=〔（ax1+b—a-b）２+（ax2+b—a-b）2+…+（axn+b—
5、a-b）2〕
= a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕
=.
點(diǎn)評(píng)：特別地，當(dāng)時(shí)，則有的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去相同的一個(gè)常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性。
【同步訓(xùn)練】
1．若的方差為3，則的方差為.
2．在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 （ ）
A． B． C． D．
3. 從甲乙兩個(gè)總體中各抽取了一個(gè)樣本：
甲
6
5
8
4
9
6
乙
8
7
6
5
8
6、
2
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，說明哪個(gè)波動(dòng)小？
4.甲乙兩人在相同條件下個(gè)射擊20次，命中的環(huán)數(shù)如下：
甲
7
8
6
8
6
5
9
10
7
4
5
6
6
7
8
7
9
10
9
6
乙
9
5
7
8
7
6
8
6
7
7
9
6
5
8
6
9
6
8
7
7
問誰(shuí)射擊的情況比較穩(wěn)定？
5．為了考察甲乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì)，分別從中抽取10株苗，測(cè)得苗高如下：
甲
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11
乙
11
16
17
14
13
19
6
7、
8
10
16
哪種小麥長(zhǎng)得比較整齊？
6．從A、B兩種棉花中各抽10株，測(cè)得它們的株高如下：(CM)
A、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
B、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40
(1) 哪種棉花的苗長(zhǎng)得高？
(2) 哪種棉花的苗長(zhǎng)得整齊？
【拓展嘗新】
7．“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓挘珨?shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤導(dǎo)。例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬(wàn)元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達(dá)到幾十萬(wàn)元。這時(shí)年收入的平均數(shù)會(huì)比中位數(shù)大得多。盡管這時(shí)中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的老板到人力市場(chǎng)去招聘工人時(shí)，也許更可能用平均數(shù)來回答有關(guān)工資待遇方面的提問。你認(rèn)為“我們單位的收入比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎么理解？
【解答】
1．12 2．D
3．甲波動(dòng)小 4．乙情況比較穩(wěn)定 5．甲種小麥長(zhǎng)得比較整齊
6．乙種棉花的苗長(zhǎng)得高，甲種棉花的苗長(zhǎng)得整齊。
7．從收入的平均數(shù)及數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度（兩極分化的程度）來分析。
高中數(shù)學(xué)《總體特征數(shù)之方差》學(xué)案1 北師大版必修3
