2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步課堂幫幫幫（人教A版2019必修第一冊）

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1、 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.3 二次函數(shù)與一元二次方程不等式 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有 未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的不等式,稱為一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解與解集 使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值,叫做這個一元二次不等式的解,其解的集合,稱為這個一元二次不等式的 ． 二、二次函數(shù)圖象、方程及不等式的關(guān)

2、系 設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac 判別式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟 求方程y＝0的解 有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2(x1＜x2) 有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－ 沒有 實數(shù)根 畫函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象 得等的集不式解 y＞0 y＜0 三、常用數(shù)集及表示符號 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？ 2.類比“方程x2＝1的解集是{1,－1},解集中的每一個元素均可使等式成立”．

3、不等式x2>1的解集及其含義是什么？ 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R,則實數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？ 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式 類型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a,b,c,d為常數(shù)) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k為非零實數(shù)) 先移項通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式 2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0,c>0 b＝0,c<0 a≠0 (2)

4、有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法 設(shè)二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k 一、1．一個 2 3.解集 二、 {x|x＜x1_或x＞x2} R {x|x1＜x＜x2} ? ? 三、1.此不等式含有兩個變量,根據(jù)一元二次不等式的定義,可知不是一元二次不等式． 2.不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1},該集合中每一個元素都是不等式的解,即不等式的每一個解均使不等式成立． 3.結(jié)合二次函數(shù)圖象可知,若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R,則

5、解得,所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R. 幫—重點 1．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集 2．借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系 幫—難點 1．能夠從實際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解決 2．分式不等式的解法及不等式的恒成立問題 幫—易錯 1．忽略分式不等式的解法 2.對于不等式恒成立問題忽略討論 1．一元二次不等式的解法 一元二次不等式的求解可以通過函數(shù)圖象,方程的解等結(jié)合求解.通過開口向上,大于零取兩邊,小于零取中間；開口向下,大于零取中間,小于零取

6、兩邊 例 1 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 【解析】(1)方程2x2＋5x－3＝0的兩實根為x1＝－3,x2＝,作出函數(shù)y＝2x2＋5x－3的圖象,如圖①.由圖可得原不等式的解集為. (2)原不等式等價于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0,解方程3x2－6x＋2＝0,得x1＝,x2＝.作出函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖象, 如圖②,由圖可得原不等式的解集為. (3)∵方程4x2－4x＋1＝0有兩個相等的實根x1＝x2＝.作出函數(shù)y＝4x2－4x＋1的圖象如圖

7、③.由圖可得原不等式的解集為. ③ (4)原不等式可化為x2－6x＋10<0,∵Δ＝36－40＝－4<0, ∴方程x2－6x＋10＝0無實根,∴原不等式的解集為. 【名師指點】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 （1）化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正. （2）判別式.對不等式左側(cè)因式分解,若不易分解,則計算對應(yīng)方程的判別式. （3）求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根. （4）畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖. （5）寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集. 【跟蹤訓(xùn)練】解下列不等式： (1)

8、2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0. 【解】 (1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0,所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3,x2＝－.又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上,所以原不等式的解集為. (2)原不等式可化為≤0,所以原不等式的解集為. (3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0,因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0,所以方程2x2－3x＋2＝0無實根,又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上,所以原不等式的解集為R. 2．含有參數(shù)的一元二次不等式的解法 含有參數(shù)的一元二次不等式解法,關(guān)鍵為題在于討論含有參

9、數(shù)的解得大小問題. 例 2 (1) 設(shè)a∈R,解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2>0； （2）設(shè)m∈R,解關(guān)于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 【解】（1）Δ＝a2－16,下面分情況討論： ①當(dāng)Δ<0,即－44或a<－4時,原不等式的解集為 ； 當(dāng)a＝4時,原不等式的解集為{x|x∈R,且x≠－1}. （2）①m＝0時,－3<0恒

10、成立,所以x∈R. ②當(dāng)m>0時,不等式變?yōu)?mx＋3)(mx－1)<0,即<0,解得－0時,解集為； m<0時,解集為. 【名師指點】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 特別提醒：對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定,分解不開時再求判別式Δ,用求根公式計算． 【跟蹤訓(xùn)練】 解關(guān)于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0. 【解】方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1,x2＝a,函數(shù)y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開口向上, 則當(dāng)a＜－1時,原不等式的解集為{x|a＜x＜－1}；

11、 當(dāng)a＝－1時,原不等式的解集為； 當(dāng)a＞－1時,原不等式的解集為{x|－1＜x＜a}． 3．三個“二次”之間的關(guān)系及應(yīng)用 可以通過三個之間的關(guān)系簡化計算. 例 3 若不等式的解集是,求不等式的解集． 【解析】方法一：由的解集為知． 又,為方程的兩個根,∴,． ∴,． ∴不等式變?yōu)?即, 又,∴．∴所求不等式的解集為． 方法二：由已知得且,,知． 設(shè)方程的兩根分別為x1,x2,, 則,,其中,, ∴,．∴不等式的解集為． 【名師指點】 三個“二次”之間的關(guān)系 (1)三個“二次”中,二次函數(shù)是主體,討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式

12、來研究． (2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系,通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題,關(guān)系如下： 特別提醒：由于忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的開口易寫錯不等式的解集形式． 【跟蹤訓(xùn)練】已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|10的解集. 【解析】∵x2＋ax＋b<0的解集為{x|10. 解得x<或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集為{x|x<或x>1}. 4．分式不等式的解法 （

13、1）對于比較簡單的分式不等式,可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解,但要注意分母不為零． （2）對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零,然后再用上述方法求解． 例 4 解下列不等式：(1) <0；(2)≤2. 【解析】 (1)由<0得>0,此不等式等價于(x＋2)(x－1)>0, ∴原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}． (2)法一：移項得－2≤0,左邊通分并化簡有≤0,即≥0, 它的同解不等式為∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}． 法二：原不等式可化為≥0,此不等式等價于①或②

14、 解①得x≥5,解②得x<2,∴原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}． 5．一元二次不等式的實際應(yīng)用 一元二次不等式通常與利潤收益等最大值最小值問題結(jié)合,需要通過建立模型,進行求解. 例 5 北京、張家口2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會,某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言,決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件． (1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2 000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元？ (2)為了抓住申奧契機,擴大該商品的影響力,提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革

15、新和營銷策略改革,并提高定價到x元．公司擬投入(x2－600)萬元作為技改費用,投入50萬元作為固定宣傳費用,投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？此時該商品每件定價多少元？ 【解析】(1)設(shè)每件定價為t元,依題意得t≥25×8, 整理得t2－65t＋1 000≤0,解得25≤t≤40. 所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價最多為40元． (2)依題意得當(dāng)x>25時,不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解, 等價于當(dāng)x>25時,a≥有解． 由于≥2＝10,當(dāng)且僅當(dāng),即x＝30

16、時等號成立, 所以a≥10.2. 故當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時該商品的每件定價為30元． 【名師指點】解不等式應(yīng)用題的步驟 【跟蹤訓(xùn)練】 某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為12萬元/輛,年銷售量為10 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0

17、x的關(guān)系式； (2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 【解析】(1)由題意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(00的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0時,b＝0,c>0；當(dāng)a≠0時, 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成

18、立)的條件是：當(dāng)a＝0時,b＝0,c<0； 當(dāng)a≠0時, 3．解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù)．一般地,知道誰的范圍,誰就是主元,求誰的范圍,誰就是參數(shù)． 例 6 已知y＝x2＋ax＋3－a,若－2≤x≤2,x2＋ax＋3－a≥0恒成立,求a的取值范圍． 【解析】設(shè)函數(shù)y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2時的最小值為關(guān)于a的一次函數(shù),設(shè)為g(a),則 (1)當(dāng)對稱軸x＝－<－2,即a>4時,g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0,解得a≤,與a>4矛盾,不符合題意． (2)當(dāng)－2≤－≤2,即－4≤a≤4時,g(a)＝3－a－≥0,解得－6≤a≤2,此時－

19、4≤a≤2. (3)當(dāng)－>2,即a<－4時,g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0,解得a≥－7,此時－7≤a<－4. 綜上,a的取值范圍為－7≤a≤2. 【跟蹤訓(xùn)練】（變條件）將例題中的條件“y＝x2＋ax＋3－a,－2≤x≤2,y≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3>0的解集為R”,求a的取值范圍。 【解析】法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R, ∴函數(shù)y＝x2＋2x＋a2－3的圖象應(yīng)在x軸上方,∴Δ＝4－4(a2－3)<0, 解得a>2或a<－2 法二：令y＝x2＋2x＋a2－3,要使x2＋2x＋a2－3>0的解集為R,則a滿足ymin＝a2－4>0,

20、解得a>2或a<－2。 法三：由x2＋2x＋a2－3>0,得a2>－x2－2x＋3, 即a2>－(x＋1)2＋4,要使該不等式在R上恒成立,必須使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值,即a2>4,故a>2或a<－2 1．已知集合,,則（ ） A． B． C． D． 2．一元二次不等式的解集是,則的值是（ ） A．10 B．-10 C．14 D．-14 3．若不等式對于一切實數(shù)x都恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 4．在R上定義運算?：x?y＝x(1﹣y）.若不等式(x﹣a)?(x+1)＜1對任意實數(shù)x成立,則（ ）

21、 A．﹣1＜a＜1 B．﹣2＜a＜0 C．0＜a＜2 D．﹣2＜a＜2 5．要使關(guān)于的方程的一根比1大且另一根比1小,則的取值范圍是　　 A． B．或 C．或 D． 6．關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－10的解集為(　　) A．{x|－21或x<－2} C．{x|x>2或x<－1} D．{x|x<－1或x>1} 7．若函數(shù)y＝的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A．（0,] B．（0,） C．[0,] D．[0,） 8．不等式的解集為（ ） A． B． C． D．

22、 9．設(shè)全集,集合,,則（ ） A．或 B． C． D． 10．設(shè)一元二次不等式的解集為則的值為（ ） A．1 B． C．4 D． 11．若不等式的解集為,則實數(shù)的取值范圍是_____. 12．已知命題“,”是假命題,則實數(shù)m的取值范圍是_________. 13．已知全集,集合,若,則等于________. 14．解關(guān)于x的不等式ax2-（2a+3）x+6＞0（a∈R）. 15．已知,,若是的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍. 16．解下列關(guān)于x的不等式： （1）； （2）. 10．集合A中含有三個元素2,4,6,若a∈A,且6－a∈A,那么a為(　　)

23、 A．2 B．2或4 C．4 D．0 11．已知x,y為非零實數(shù),代數(shù)式的值所組成的集合是M,則下列判斷正確的是(　　) A．－1∈M B．1∈M C．2∈M D．3?M 12．已知集合A＝{－1,0,1},集合B＝{y|y＝|x|,x∈A},則B＝________. 13．若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中,則稱該數(shù)集為可倒數(shù)集,則集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒數(shù)集．試寫出一個含三個元素的可倒數(shù)集________．(參考答案不唯一) 14．設(shè)集合B＝. (1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)系； (2)用列舉法表示集合B. 15

24、．設(shè)集合A中的元素均為實數(shù),且滿足條件：若a∈A,則∈A(a≠1)． 求證：(1)若2∈A,則A中必還有另外兩個元素； (2)集合A不可能是單元素集． 1．【參考答案】C 【解析】,, 則,故選：C 2．【參考答案】D 【解析】根據(jù)題意,一元二次不等式的解集是, 則方程的兩根為和, 則有, 解可得,,則,故選：． 3．【參考答案】C 【解析】當(dāng)時,不等式化為恒成立； 當(dāng)時,一元二次不等式對于一切實數(shù)x都恒成立,等價于,解得,綜上可得實數(shù)a的取值范圍是.故選：C. 4．【參考答案】D 【解析】不等式(x﹣a)?(x+1)＜1對任意實數(shù)x成立, 即對

25、任意實數(shù)恒成立, 即可,恒成立, 故,解得.故選：. 5．【參考答案】D 【解析】方程對應(yīng)的二次函數(shù)為, 其圖象是開口向上的拋物線,要使方程的一根比1大且另一根比1小, 則拋物線與軸的兩個交點在的兩邊, ,即,解得．故選：． 6．【參考答案】B 【解析】∵關(guān)于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集為（﹣1,2）, ∴﹣1,2是ax2+bx+2=0（a＜0）的兩根 ∴ ∴a=﹣1,b=1 ∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0為x2+x﹣2＞0, ∴x＜﹣2或x＞1故選B． 7．【參考答案】D 【解析】要滿足題意,只需在上恒成立即可. 當(dāng)時,顯然滿足題意.當(dāng)時,只需,解得.

26、 綜上所述,.故選：. 8．【參考答案】C 【解析】一元二次方程的根為, 據(jù)此可得：不等式的解集為.本題選擇C選項. 9．【參考答案】D 【解析】,所以或, 因為,所以.故選：D 10．【參考答案】B 【解析】由題意可知方程的根為, 所以有 11．【參考答案】； 【解析】（1）當(dāng)時,得到,顯然不等式的解集為； （2）當(dāng)時,二次函數(shù)開口向上,函數(shù)值不恒小于0,故解集為不可能． （3）當(dāng)時,二次函數(shù)開口向下,由不等式的解集為, 得到二次函數(shù)與軸沒有交點,即△,即,解得； 綜上,的取值范圍為．故參考答案為：． 12．【參考答案】 【解析】若命題“,”是假命題,則“

27、,”為真命題, 則只需滿足,解得.故參考答案為：. 13．【參考答案】或 【解析】由,解得,由,得, ,且,所以或,故參考答案為：或. 14．【解析】原不等式可化為：（ax﹣3）（x﹣2）＞0； 當(dāng)a＝0時,化為：x＜2； 當(dāng)a＞0時,化為：（x）（x﹣2）＞0, ①當(dāng)2,即0＜a時,解為：x或x＜2； ②當(dāng)2,即a時,解為：x≠2； ③當(dāng)2,即a時,解為：x＞2或x, 當(dāng)a＜0時,化為：（x）（x﹣2）＜0,解為：x＜2． 綜上所述：當(dāng)a＜0時,原不等式的解集為：（,2）； 當(dāng)a＝0時,原不等式的解集為：（﹣∞,2）； 當(dāng)0＜a時,原不等式的解集為：（﹣∞,2）∪（,+∞）； 當(dāng)a時,原不等式的解集為：（﹣∞,2）∪（2,+∞）； 當(dāng)a時,原不等式的解集為：（﹣∞,）∪（2,+∞） 15．【參考答案】. 【解析】由題得命題: ,或, 因為是的必要不充分條件,所以或,即或, 故實數(shù)a的取值范圍為. 16．【參考答案】（1）；（2）. 【解析】（1）原不等式可化為,即, 解得或, 所以原不等式的解集為. （2）原不等式可化為,整理得, 由于 其恒為負值,故只要, 即,解之得. 所以原不等式的解集為. 知識改變命運 13