《二次根式及其性質》PPT課件.ppt

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平方根和立方根,,情境與新知,學校要舉行美術作品比賽，曉鷗很高興，他想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊畫布的邊長應取多少？,5,畫布的邊長是5dm,算一算、想一想,練習1:計算:(1)42(2)0.92(3)(-5)2(4)(5)(6)02,練習2:(1).()2=16(2)()2=0.81(3)()2=25(4)()2=(5)()2=0.,歸納概念,如果一個數(shù)x的平方等于a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根.數(shù)學語言表示:若x2=a(a≥0),則x叫a(a≥0)的平方根.求一個非負數(shù)的平方根的運算,叫做開平方運算。,到目前為止，我們共學習了哪幾種運算？,嘗試應用、提高表達能力,∵4的平方等于16,∴16的平方根是4.另外的說法：4是16的平方根。,歸納平方根的性質,求x并嘗試表達：⑴x2=81;⑵x2=0.⑶x2=-4.⑷x2=0.36⑸x2=-49⑹x2=121.想一想：1、通過什么運算求一個正數(shù)的平方根？2、我們所學過的數(shù)都有平方根嗎？有幾個?,平方根的性質:一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0有一個平方根,它是0本身.負數(shù)沒有平方根.,小結,今天獲得的新知；獲得的新方法；和以前學過的五種運算不同，開平方運算不是總可以進行；運算結果不唯一.,溫故知新,1、什么叫平方根？數(shù)學語言呢？2、求下列各數(shù)的平方根：⑴81;⑵0.⑶-4.⑷0.36⑸49⑹121.,解：因為92=81，（-9）2=81,所以81的平方根是9和-9，也可以說成81的平方根是9。,=9,平方根的符號表示,一般的，a(a≥0)的平方根記作:,,正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)。,,,二次根號,被開方數(shù)，a≥0,用符號表示下列各數(shù)的平方根：,81，16，0.25，0，625,,說出下列符號的意義,,什么叫算術平方根？,歸納總結及符號表示,1、正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根。2、規(guī)定：0的算術平方根是0。,,正數(shù)a的算術平方根,正數(shù)a的平方根,正數(shù)a的負的平方根（算術平方根的相反數(shù)）,,,,動手實踐,例1：（1）求49的正的平方根；（2）求的負的平方根；（3）求169的算術平方根；（4）求121的平方根；（5）求(-5)2的平方根；（6）求m的平方根；,根據定義，你能得出的取值范圍嗎？,平方根和算術平方根有什么區(qū)別和聯(lián)系？,,下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，寫出它的平方根和算術平方根，如果沒有說明理由。①625②③0④-9⑤(-2)2⑥-52⑦10-2,綜合應用,判斷下列結論是否正確①-4的平方是16.①25的平方根是5②2是4的平方根.③4的平方根是2.④的算術平方根是16.,小結,獲得的知識；到目前為止，我們共學習了哪幾個結果非負的數(shù)量？,,類比探究、獲得新知,(1)什么叫一個數(shù)a的平方根?如何用符號表示數(shù)a(≥0)的平方根?(2)正數(shù)有幾個平方根?它們之間的關系是什么?負數(shù)有沒有平方根?0平方根是什么?(3)當a≥0時，下列各式的意義各是什么?,想一想（一）,1、你能類比比平方根得到立方根定義嗎？2、你能類比開平方的定義得到開立方的定義嗎？3、你能類比平方根的表示方法得到立方根的表示法嗎？,想一想（二）：,1、你能類比平方根的求法求一個數(shù)的立方根嗎？2、你能類比平方根的性質說出立方根的性質嗎？,議一議：,1、一個正數(shù)有兩個平方根，那么一個正數(shù)有幾個立方根？2、負數(shù)沒有平方根，那么負數(shù)有立方根嗎？強調：立方根的個數(shù)的性質可以概括為立方根的唯一性.即一個數(shù)的立方根是唯一的.,先說式子的意義再計算,,,,,,,,整理舊知識,我們都學過了哪些數(shù)？這些數(shù)可以怎樣分類？,整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。,結合數(shù)軸認識新數(shù),獨立思考,把兩個薄厚相同，面積是1的正方形鐵片融化，制成與原來薄厚相同的正方形鐵片，現(xiàn)在這個鐵片的邊長是多少？,,2,合作、動手完成：,把兩個邊長為1個單位長度的正方形紙片，剪一剪，拼一拼，得到一個面積為2的正方形。,合作探究,利用手上的刻度尺、計算器探究：（1）大概是多少？（2）你知道它的精確取值嗎？,集體交流,(1)利用計算器（2）1.4142135622=______________,,試一試:,你有什么發(fā)現(xiàn)？,1.414213562,1.999999999,,,實際上：,無限不循環(huán)小數(shù),聯(lián)系對比、獨立完成,（1）使用計算器計算：把有理數(shù)寫成小數(shù)的形式后，觀察它們的小數(shù)部分有什么特點？,,有限小數(shù),無限循環(huán)小數(shù),,有理數(shù),（2）判斷是不是有理數(shù)？如果不是，那它是什么樣的數(shù)？,,有理數(shù),應用概念,判斷：1、形如都是無理數(shù)，這個說法對嗎？2、如果兩個數(shù)相除，不管添多少位小數(shù)，永遠都除不盡，那么結果一定是個無理數(shù)；自己舉出幾個無理數(shù)。,開方開不盡的數(shù),1.010010001…,,觀察運動、數(shù)形結合,（1）一個單位圓沿數(shù)軸從原點開始滾動一周，此時起點所對應的數(shù)為？,（2）你能在數(shù)軸上找到表示的點嗎？,小結、鞏固練習,1、無限小數(shù)都是無理數(shù)；2、無理數(shù)都是無限小數(shù)；3、帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；4、所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上的所有點都表示有理數(shù)；5、所有的實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，反過來，數(shù)軸上所有點都表示實數(shù)。,自我小結,你今天認識了哪些數(shù)？數(shù)軸在學習的過程中起了什么作用？,客觀世界中長度為正無數(shù)的線段本身不能被刻度尺度量，但只要借助于數(shù)軸和一些幾何知識，就能夠被直觀的表示出來。,有時候，數(shù)軸也被稱為實數(shù)軸。,,可以用數(shù)學知識來證明不是有理數(shù)。,,,6,10,1/2,X+2,什么是二次根式,語言敘述：一般地，式子（a≥0)叫做二次根式,a,,注意：（1）被開方數(shù)一定是非負數(shù)，即正數(shù)或零：（2）在實數(shù)范圍內，負數(shù)沒有平方根，所以式子（a<0）無意義,a,,,,求實下列各式有意義的x的取值范圍,例1,（1）,,,,,,(2),解：（1）若有意義，則≥0，∵x≥-3/2，∴當x≥-3/2時，有意義,（2）若有意義，則x+5≥0∴x≥-51-5x≥0 x≤1/5∴-5≤x≤1/5∴當-5≤x≤1/5時，有意義,,,二次根式,及性質,a,-a,|a|,0,2,2,3,3,當a≥0時，=；當a＜0時，=。,=,牛刀小試,（1）化簡（x0∴a>b∴b-a<0∴=a-b+a-b=2a-2b,=|4x|,∵x0,y0，y<0∴xy0）,練習：當x取何值時，此等式成立？,挑出下面的最簡二次根式,,A．a≠1B．a≥3且a≠1C．a＞1D．a≥3,,,,a,b同號，且b≠0,a≥0,b≥0,a＞0,b≥0,D,公式的逆用,將乘法法則看成公式，公式一般可逆用。,應用于兩個二次根式求積。,經常應用于二次根式化簡。,返回,,例2.化簡下列二次根式,一定要注意隱含條件！！,返回,,例3.計算,注意：被開方數(shù)不含有能開得盡方的因數(shù)！,做一做,,二次根式的除法,類比得出法則分母有理化是一種最簡二次根式的化簡方式,二次根式的加減法,,引入,（1）,在不取近似值的情況下，如何計算？,同類項,同類項,,（２）,例題,有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個面積分別為8dm2和18dm2的正方形木板，則這兩個正方形的邊長之和是多少？,,,,把化為最簡二次根式分別得，這兩個根式的被開方數(shù)相同，我們稱他們?yōu)橥惗胃健?一般的，幾個二次根式分別為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。,引出新的概念,（1）（2）,為同類二次根式,找出同類二次根式,為同類二次根式,為同類二次根式,同類二次根式概念應用,1.若最簡二次根式與是同類二次根式，求a,b的值。2.最簡二次根式和是同類二次根式，則a=_____。,小結,我們應該注意什么？,一定化簡到最簡二次根式,一定要動筆算,計算,（1）（2）,二次根式的加減運算實際上就是先把每個二次根式化成最簡二次根式，再合并同類項。,例題,（1）（3）（2）,和多項式加減法類似,例題,（1）,乘法運算法則在這里還適用嗎？,運用了什么法則？,例題,（2）,和多項式乘法類似,你準備怎樣做？,練習,（1）（2）,既然乘法的運算法則適用于二次根式的計算，那么我們在上個學期學習多項式乘法時，所學的乘法公式是否也適用？,猜想,例題,（1）22,運用了什么乘法公式？,你準備用什么方法解這道題？,例題,（2）222,運用了什么乘法公式？,還應該注意什么？,你準備用什么方法解這道題？,小結,從以上的幾道例題可以看出，以前學習的乘法運算律、乘法公式等在無理數(shù)范圍均可以應用。下面我們來實踐幾道題。,練習,（1）（2）（3）2（4）分母有理化（5）計算,總結,通過今天的學習，我們已經基本上掌握了二次根式加減法的運算。從曾經的合并同類項開始引入了一個新的概念同類二次根式，之后我們又通過例題發(fā)現(xiàn)二次根式的加減和多項式的加減法類似。我們又引入了乘法，發(fā)現(xiàn)曾經學過的運算定律以及乘法公式在無理數(shù)范圍依然適用。希望大家通過今天的學習能更好地應用二次根式的加減法！,,課本和講義上的題目,謝謝！,