2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 習(xí)題課（二）一元二次函數(shù)、方程和不等式 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、習(xí)題課（二） 一元二次函數(shù)、方程和不等式 一、選擇題 1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≤B　　　　　　　　 　B．A≥B C．AB D．A>B 解析：選B　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，∴A≥B. 2．設(shè)集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1

2、 3．設(shè)m>1，P＝m＋，Q＝5，則P，Q的大小關(guān)系為(　　) A．P1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5＝Q.當(dāng)且僅當(dāng)m－1＝，即m＝3時(shí)等號(hào)成立，故選C. 4．若不等式ax2＋bx－2>0的解集為，則a＋b等于(　　) A．－18 B．8 C．－13 D．1 解析：選C　∵－2和－是方程ax2＋bx－2＝0的兩根． ∴∴∴a＋b＝－13. 5．當(dāng)x>1時(shí)，不等式x＋≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤3 解析： 選D　因?yàn)閤

3、>1，所以x－1>0，則x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，由x＋≥a恒成立得a≤3. 6.《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB.設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤ (a>0，b>0) 解析：選D　由圖形可知OF＝AB＝，OC＝.在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF

4、＝＝.∵CF≥OF，∴≤(a>0，b>0)． 7．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．{a|－22} D．{a|a≤－2或a>2} 解析：選A　由已知得 即解得－2

5、同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定 解析：選B　設(shè)甲用時(shí)間T，乙用時(shí)間2t，步行速度為a，跑步速度為b，距離為s，則T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s?2t＝，∴T－2t＝－＝s×＝>0，故選B. 二、填空題 9．若a＜b＜0，則與的大小關(guān)系為________． 解析：∵－＝，a＜b＜0.∴a－b＜0，∴－＜0.∴＜. 答案：＜ 10．已知x＋(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為________． 解析：∵x>2，m>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，當(dāng)x＝2＋時(shí)取等號(hào)，又x＋(x>2)的最小值為6，∴2＋2＝6，解得m＝4. 答案：4 11．關(guān)于x的不

6、等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集是________． 解析：∵關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集為{x|x>1}，∴a>0，＝1，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0可化為(x＋1)(x－2)>0，解得x>2或x<－1. ∴所求不等式的解集為{x|x<－1或x>2}． 答案：{x|x<－1或x>2} 12．若＜0(m≠0)對(duì)一切x≥4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：依題意，對(duì)任意的x≥4，有y＝(mx＋1)·(m2x－1)＜0恒成立，結(jié)合圖象分析可知由此解得m＜－，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 答案： 三

7、、解答題 13. 當(dāng)x>3時(shí)，求的取值范圍． 解：∵x>3，∴x－3>0. ∴＝ ＝2(x－3)＋＋12≥2 ＋12＝24. 當(dāng)且僅當(dāng)2(x－3)＝，即x＝6時(shí)，上式等號(hào)成立． 14．解關(guān)于x的不等式56x2＋ax－a2<0. 解：原不等式可化為(7x＋a)(8x－a)<0， 即<0. ①當(dāng)－<，即a>0時(shí)，－，即a<0時(shí)，0時(shí)，原不等式的解集為； 當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為?； 當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為. 15．已知a>0，b>0，＋＝1，求＋的最小值． 解：∵正數(shù)a，

8、b滿足＋＝1， ∴a>1，且b>1，＋＝1變形為＝1， ∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0， ∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝， ∵a－1>0，∴＋＝＋9(a－1)≥2＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝9(a－1)，即a＝1±時(shí)取“＝”， 由于a>1，故取a＝， ∴＋的最小值為6. 16. 國際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉．已知某種鉆石的價(jià)值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價(jià)值為54 000美元． (1)寫出鉆石的價(jià)值y關(guān)于鉆石重量x的關(guān)系式； (2)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉， 試證明：當(dāng)m＝n時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大． (注：價(jià)值損失的百分率＝×100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計(jì)) 解：(1)由題意可設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為：y＝kx2， ∵3克拉的價(jià)值是54 000美元， ∴54 000＝k·32，解得k＝6 000， ∴y＝6 000x2， ∴此鉆石的價(jià)值與重量的關(guān)系式為y＝6 000x2. (2)證明：若兩顆鉆石的重量為m，n克拉，則原有價(jià)值是6 000(m＋n)2， 現(xiàn)有價(jià)值是6 000m2＋6 000n2，價(jià)值損失的百分率： ×100%＝×100%≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時(shí)取等號(hào)． ∴當(dāng)m＝n時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大． - 5 -